Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo
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Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo


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n m
m m
m m
n n
n n
( )
( )
= + + + ++ + + +
\u2265
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
0 1
1
1
0 1
1
1
L
L (4.3) 
 
Cada função de transferência pode ser representada graficamente por um bloco (que 
substitui o quociente de polinômios), uma entrada (representando à variável independente) 
e uma saída (representando à variável dependente). Sistemas complexos podem ser 
representados graficamente através de blocos interligados. Este tipo de representação é 
muito útil pois permite tratar sistemas complexos a partir de blocos simples com operações 
de soma e multiplicação. Para exemplificar suponhamos que um processo é descrito por 
duas equações diferenciais: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a y a y a y a y b u b u b u b u n mn n n n m m m m0 1 1 1 0 1 1 1+ + + + = + + + + \u2265\u2212 \u2212 \u2212 \u2212L L& & ; (4.4) 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )c u c u c u c u d x d x d x d x l pl l l l p p p p0 1 1 1 0 1 1 1+ + + + = + + + + \u2265\u2212 \u2212 \u2212 \u2212L L& & ; (4.5) 
 
Usando o conceito de função de transferência, obtém-se: 
 
( )mn
sG
asasasa
bsbsbsb
sU
sY
nn
nn
mm
mm
\u2265
=++++
++++=
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
)(
)(
)(
1
1
1
10
1
1
10
L
L
 (4.6) 
( )pl
sG
cscscsc
dsdsdsd
sX
sU
ll
ll
pp
pp
\u2265
=++++
++++=
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
)(
)(
)(
2
1
1
10
1
1
10
L
L
 (4.7) 
 
Neste sistema, a representação em blocos de entrada e saída resultaria em dois blocos com a 
saída do segundo coincidindo com a entrada do primeiro, conforme mostrado na Figura 4.2. 
 
 
 27
 
 
Figura 4.2: Representação Entrada-Saída em Diagrama de Blocos 
 
 
Pode-se operar a equação algébrica obtendo-se: 
 
( )
( )
Y s
X s
b s b s b s b
a s a s a s a
d s d s d s d
c s c s c s c
l p
n m
m m
m m
n n
n n
p p
p p
l l
l l
( )
( )
= + + + ++ + + +
+ + + +
+ + + +
\u2265
\u2265
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
0 1
1
1
0 1
1
1
0 1
1
1
0 1
1
1
L
L
L
L
 (4.8) 
Isto é: 
 
)()(
)(
)( sGsG
sX
sY
21= (4.9) 
 
A Equação 4.9 e a Figura 4.2 permitem concluir que a função de transferência entre a saída 
Y(s) e a entra U(s) coincide com o produto das funções de transferência que se apresentam 
no caminho entre as duas variáveis. A solução no domínio de Laplace consiste agora em, 
uma vez definida a função de perturbação x(t), calcular a transformada inversa de Laplace 
de: 
 
)()()()( sXsGsGsY 21= (4.10) 
 
ou seja 
 ( ))()( sYty -1L= (4.11) 
 
A seguir são apresentados alguns esquemas de diagramas de blocos e se descrevem as 
regras básicas de operações com blocos. 
 
 
4.2.1 Diagrama de blocos 
 
No item anterior, definiu-se a primeira operação em diagrama de blocos, dois blocos em 
série podem ser substituídos por um único bloco e a função de transferência que este 
representa é o produto das duas funções de transferência dos blocos individuais. 
 
Para um sistema representado por: 
 
)().()().()()()( sUsGsUsGsYsYsY 2121 +=+= (4.12) 
 
 28
tem-se o seguinte diagrama de blocos da Figura 4.3: 
 
 
 
Figura 4.3: Representação em Diagrama de Blocos da Equação 4.12 
 
onde se apresentam dois novos elementos, o ponto de ramificação, destacado na Figura 4.4 
 
 
 
Figura 4.4: Ponto de Ramificação 
 
e o ponto de soma, na Figura 4.5. 
 
Figura 4.5: Ponto de Soma 
 
Um diagrama de blocos muito utilizado em controle é o que representa um sistema com 
realimentação da saída (feedback), mostrado na Figura 4.6. 
 
Figura 4.6: Realimentação da Saída: Feedback 
 
A redução deste diagrama a um bloco único é obtida por manipulação algébrica: 
 
)()()( sXsGsY = 
)()()()( sYsHsUsX \u2212= 
 29
( ))()()()()( sYsHsUsGsY \u2212= 
)()()()()()( sYsHsgsUsGsY \u2212= 
)()()()()()( sUsGsYsHsGsY =+ 
 ( ) )()()()()( sUsGsYsHsG =+1 
 
ou 
 
)()(
)(
)(
)(
sHsG
sG
sU
sY
+= 1 (4.13) 
 
Conclui-se que qualquer diagrama de blocos pode ser reduzido a um único bloco. A 
resolução de um sistema dinâmico de uma entrada e uma saída, independente da sua 
complexidade inicial, pode ser transformado em um problema representado por um único 
bloco e resolvido de forma análoga à apresentada no item anterior (Equações 4.10 e 4.11). 
 
Para fins de análise do sistema dinâmico e controle, a função de transferência pode ser 
interpretada como um ganho entre o sinal de saída e o de entrada. Este ganho apresenta 
uma parte estática (ganho estático) e uma parte dinâmica (ganho dinâmico). O ganho 
estático é o valor do ganho quando o tempo tende a infinito (que pode ser obtido aplicando 
o teorema do valor final à função de transferência). O ganho dinâmico é a parte da função 
de transferência dependente da variável de Laplace s, definido pelas transformadas das 
equações diferenciais que descrevem o processo. 
 
Em resumo, o modelo de um processo obtido no domínio do tempo (t) pode ser 
representado no domínio complexo (s) como um modelo de Entrada-Saída (Input-Output), 
e o procedimento para desenvolver este modelo é representado de forma esquemática na 
Figura 4.7. 
 
 
Exemplo 4.1 
 
Considere dois tanques de mistura perfeita, com seus volumes constantes, V1e V2, vazão 
volumétrica é F e concentração molar é C. O modelo do processo pode ser obtido a partir 
de: 
 
a) Balanço de massa por componente para tanque 1: 
 
)()()()( tFCtFCtFC
dt
dC
V 1120
1
1 \u3b1\u3b1 +\u2212+= (4.14) 
 
-Balanço de massa por componente para o tanque 2: 
 
 30
))()(()( tCtCF
dt
dC
V 211
2
2 \u2212+= \u3b1 (4.15) 
 
 31
Modelo Dinâmico do Processo
EDO e Equações Algébricas
 Obter Modelo Estacionário
(zerando derivadas temporais)
Leis
Fundamentais
 Hipóteses
Simplificadoras
 Linearizar Termos Não-Lineares
Subtrair Equação Estacionária
da Equação Dinâmica
Definir Variáveis Desvio
Aplicar Transformada de
Laplace (Condições Iniciais 0)
Eliminar Todas as Saídas Exceto
a de Interesse
Eliminar Todas as Entradas Exceto
a de Interesse
Dividir Saída por Entrada
Funções
de
Transferência
Repetir para todas as 
Entradas
Repetir para todas as 
Saídas
 
 
Figura 4.7: Procedimento para Construção de Funções de Transferência 
 
 32
V 
1 
C 
1 
V 
2 
C 
2 
F 
C 0 (t) 
C 
1 (t) F 
C 
2 (t) 
\u3b1 F 
 
Figura 4.8: Exemplo 4.1 \u2013 Dois Tanques em Série com Reciclo 
 
 
Definindo-se: 
 
 
)(
 ,
)(
,
)( F
FK
F
V
F
V
\u3b1\u3b1\u3c4\u3b1\u3c4 +=+=+= 11
2
21
1
1 
 
tem-se: 
 
\u23aa\u23aa\u23a9
\u23aa\u23aa\u23a8
\u23a7
=+
+=+
)()(
)(
)()()(
)(
tCtC
dt
tdC
tKCtKCtC
dt
tdC
12
2
2
201
1
1
\u3c4
\u3b1\u3c4
 (4.16) 
 
Para serem consistentes com o modelo, as condições iniciais devem cumprir as seguintes 
relações: 
 
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
=
+=
)()(
)()()(
0102
020001
CC
KCKCC \u3b1
 
 
que são obtidas considerando que o processo está em repouso no instante t=0. Como as 
condições iniciais não são zero, devem-se transformar as variáveis originais para variáveis 
desvio. Assumindo que: 
 
C t C t C
C t C t C
C t C t C
desvio
desvio
desvio
0 0 0
1 1 1
2 2 2
0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= +
= +
= +
 
 
e, para simplificar a notação, retira-se a palavra desvio, obtendo-se: 
 
 33
)()(
)(
)()()()(
tCtC
dt
tdC
tKCtKCtC
dt
tdC
12
2
2
201
1
1
=+
+=+
\u3c4
\u3b1\u3c4
 
 
Aplicando a transformada de Laplace ao modelo anterior tem-se: 
 
)(\u2c6
)(
)(\u2c6
)(
)(\u2c6 sC
s
KsC
s
KsC 211
011
1 +++= \u3c4
\u3b1
\u3c4 (4.17) 
)(\u2c6
)2(
=(s)2C\u2c6 sCs 11
1
+\u3c4 (4.18) 
 
E a representação em diagrama de blocos é: 
 
 
 
Figura 4.9: Exemplo 4.1 \u2013Diagrama de Blocos 
 
Manipulando-se algebricamente (os blocos ou as equações), obtém-se:a função de 
transferência