Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo
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 (4.19) 
 
 
 
 
 
Kss
K
sC
sC
sG \u3b1\u3c4\u3c4 \u2212++== ))(()(\u2c6
)(\u2c6
)(
12110
2 
 34
5 RESPOSTAS DINÂMICAS 
 
A resposta dinâmica de um processo é o comportamento da variável de saída, para uma 
perturbação na variável de entrada. Os valores numéricos da resposta dinâmica (saída-y(t)) 
são obtidos resolvendo-se as equações diferenciais e algébricas que descrevem o processo, 
quando perturbado por um sinal externo (entrada-u(t))). 
Em geral, os processos reais consistem na combinação, mais ou menos complexa de 
sistemas básicos elementares. Assim é fundamental, para o conhecimento desses processos, 
ter uma noção exata do comportamento dos sistemas elementares. Assim, apresenta-se 
neste capítulo sistemas básicos e para, posteriormente, aplicá-los a sistemas de E&P. 
 
5.1 Resposta Dinâmica de Processos Lineares de 1ª Ordem 
 
5.1.1 Resposta a uma Perturbação Degrau 
 
Um sistema de 1ª ordem é representado (modelado) por uma EDO de 1ª ordem. Se o 
sistema é linear (ou linearizado), a equação que relaciona a saída y(t) com entradas u(t) para 
todo t é: 
 
a
dy t
dt
a y t b u t1 0
( )
( ) ( )+ = (5.1) 
 
A função u(t) é chamada de "perturbação de entrada", que corresponde ao termo de 
excitação da equação diferencial não homogênea (Equação 5.1). Este modelo representa 
dois tipos de processos com características de resposta dinâmica muito diferentes. 
 
 
a) Para a0 0\u2260 , define-se: 
 
0
1
a
a
P =\u3c4 (constante de tempo) 
 
0a
bK P = (ganho estático) 
 
e a equação diferencial é: 
 
)()()( tuPKtydt
tdy
P =+\u3c4 (5.2) 
 
A constante de tempo é uma medida da velocidade do processo em resposta a uma 
perturbação. KP, ganho estático, é uma medida da amplificação (ou redução) que o processo 
provoca sobre o sinal da entrada. 
 
Aplicando-se a transformada de Laplace, a função de transferência correspondente será: 
 
 35
1+== s
K
sU
sYsG
P
P
\u3c4)(
)()( (5.3) 
 
A resposta deste modelo a uma perturbação degrau de magnitude "M" pode ser calculada 
multiplicando-se a função de transferência pela transformada de Laplace da função degrau 
 
(U s
M
s
( ) = ), obtendo-se: 
 
( ) s
M
s
KsY
P
P
1+= \u3c4)( (5.4) 
 
Com a transformada inversa da Equação 5.4, obtém-se a resposta do modelo para uma 
perturbação degrau no domínio do tempo: 
 
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2212= )exp()(
P
P
tMKty \u3c41 (5.5) 
 
Existem alguns pontos da curva de resposta que têm relevância na análise do 
comportamento dinâmico do processo e, eventualmente, são utilizados como 
especificações no projeto de sistemas de controle. Um ponto importante é quando a variável 
independente t atinge a constante de tempo do modelo. 
 
632011 .))exp(()( PP MKMKty =\u2212\u2212= (5.5) 
 
Neste ponto, a saída atinge 63,2% do valor em estado estacionário. 
 
k=10; M=2; tau=1; 
t=linspace(0,10,20) ; 
plot(t, M*k.*(1-exp(-t/tau))) ; 
line([1,1],[0,M*k*(1-exp(-1))]) 
line([0,1],[ M*k*(1-exp(-1)),M*k*(1-exp(-1))]) 
text(2,M*k*(1-exp(-1)), '63.2% do valor do estado estacionário') 
text(1.5,0.5,'t = Constante de tempo') 
xlabel('Tempo'); ylabel('y(t)') 
 36
 
 
Figura 5.1: Resposta de Sistema de 1ª. Ordem a Perturbação Degrau de Amplitude M. 
 
Um outro ponto importante é quando a saída atinge 99% do valor em estado estacionário. 
Neste caso: 
 
P
P
PP t
tMKMK \u3c4\u3c4 51990 \u2245\u21d2\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2212= )exp(, 
 
O ganho KP é uma medida de QUANTO e \u3c4P é uma medida de COMO varia a saída do 
modelo em função da perturbação de entrada. 
 
Note-se que, aplicando o teorema do valor final na Equação 5.4 fornece o valor do 
GANHO. 
P
P
P
s
MKs
s
M
s
Ksy =\u22c5\u22c5+=\u2192 10 \u3c4)(lim 
 
Vê-se que, no infinito y é igual à amplitude da entrada, amplificada pelo KP, o ganho do 
processo no estado estacionário. 
 
Exemplo 5.1 
 
Analisemos agora o vaso horizontal do Exemplo 2.3. 
 
)()()( tuKty
dt
tdy
pp =+\u3c4 
 37
 
onde 
hCvvDCp \u3b3\u3c1\u3c4 0690.
\u22c5\u22c5\u22c5= e 
Cvv
h
K p \u22c5=
\u3b3\u3c1 069.0
 
Um aumento na área do tanque (aumento de C ou D) determina um aumento na constante 
de tempo. O sistema fica mais lento, o que é de se esperar pois o aumento de área implica 
num aumento de volume (capacidade), atrasando a resposta do nível à vazão da entrada. 
Um aumento no nível de estado estacionário h , aumenta \u3c4p e Kp, enquanto um aumento do 
coeficiente de descarga os diminui. 
 
b) Para a0 0= , define-se ganho estático como 
0a
bK P = , e, portanto, a função de 
transferência é: 
 
s
K
sU
sYsG P==
)(
)()( (sistema puramente capacitivo) (5.9) 
 
Para observar o comportamento deste modelo procede-se de forma semelhante ao caso 
anterior. Utilizando a transformada de Laplace da função degrau, a saída do modelo é: 
 
s
M
s
KsY P=)( (5.10) 
 
Calculando-se a transformada inversa da Equação (5.10), obtém-se a resposta do modelo 
para uma perturbação degrau no dominio do tempo. Ou seja, uma reta com inclinação dada 
pelo ganho KP e pela magnitude M da perturbação de entrada. Esta resposta pode ser 
interpretada como a integral da perturbação de entrada multiplicada pelo ganho KP, e por 
isto o processo de primeira ordem cujo modelo tem a0 0= é conhecido como integrador. 
 
Na prática, tendo em vista que o tanque está fisicamente limitado, a altura atinge o valor 
máximo de projeto, transbordando. Isto corresponde a um comportamento não linear 
chamado "saturação". 
 
 
5.1.2 Resposta de um Sistema de 1ª. Ordem a uma Perturbação Rampa 
 
A resposta de um sistema de primeira ordem a uma perturbação rampa de forma análoga à 
de sistemas de primeira ordem apresentado.A transformada de Laplace da função rampa é: 
 
U s
a
s
( ) = 2 (5.11) 
 
e a saída do processo perturbado com esta entrada é: 
 38
 
 ( ) s
B
s
B
s
A
s
a
s
KsY
P
P
P 2
2
1
2 11
++
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b +
=+=
\u3c4
\u3c4)( 
 
Calculando a transformada inversa de Laplace da equação acima, obtém-se a resposta do 
modelo para uma perturbação rampa no domínio do tempo. 
 
atKtaKty P
P
P +\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2212= 1)exp()( \u3c4\u3c4 
( ) PP
P
P
s
ka
s
a
s
KA
P
\u3c4\u3c4
\u3c4\u3c4
=
\u239f\u239f
\u239f\u239f
\u23a0
\u239e
\u239c\u239c
\u239c\u239c
\u239d
\u239b
+
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +
=
\u2212\u2192 t
1slim 21 1
 
aKs
s
a
s
kB PP
P
s
=
\u239f\u239f
\u239f\u239f
\u23a0
\u239e
\u239c\u239c
\u239c\u239c
\u239d
\u239b
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +
=
\u2192
2
20
1
1
\u3c4
\u3c4
lim 
P
P
P
s
kas
s
a
s
k
sd
dB \u3c4\u3c4
\u3c4
\u2212=
\u239f\u239f
\u239f\u239f
\u23a0
\u239e
\u239c\u239c
\u239c\u239c
\u239d
\u239b
\u23a5\u23a5
\u23a5\u23a5
\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2
\u23a2\u23a2
\u23a3
\u23a1
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +
=
\u2192
2
20
2
1
lim 
 
t=linspace(0,100,100); 
a=5; k=1; tau=10; 
y=k*a*tau*(exp(-t/tau)-1)+k*a*t; 
plot(t,y) 
axis([0 40 0 150]) 
xlabel('tempo') 
ylabel('y(t)') 
 
Figura 5.2: Resposta de Sistema de 2ª. Orden a Perturbação Rampa. 
 
 
 39
5.1.3 Resposta de um Sistema de 1ª. Ordem a uma Perturbação Senoidal 
 
Dada a função: 
 
u t Asen wt( ) ( )= 
 
e a transformada de Laplace é: 
U s
Aw
s w
( ) = +2 2 
 
Utilizando-se esta função como perturbação ao sistema linear, a resposta deste no domínio 
de Laplace é: 
 
 
)21)(s+s(
=
2wP
AwPKY(s)
+\u3c4
 (5.3) 
 
e a sua transformada inversa: 
 
)cos
/
()( senwtwtPw
PtePw
PPw
APKty +\u2212\u2212
+
= \u3c4\u3c4\u3c4
\u3c4 122
 (5.4) 
 
t=linspace(0,100,1000); 
a=5; k=1; tau=10; w=1; 
y=(k*a/(w^2*tau^2+1))*(w*tau*exp(-t/tau)-w*tau*cos(w*t)+sin(w*t)); 
plot(t,y) 
axis([0 100 -1.5 1.5]) 
xlabel('tempo'); ylabel('y(t)') 
 
 
Figura 5.3: Resposta de Sistema de 2ª. Ordem a Senoidal. 
 
 
 40
A sobreposição dos sinais de entrada e saída permite observar que, após um intervalo de 
tempo inicial, a resposta do processo resume-se a uma senoide de igual freqüência,