Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo
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Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo


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com 
amplitude proporcional à entrada (de acordo com os parâmetros do processo) e defasada no 
tempo. 
 
t=linspace(0,100,1000); 
a=5; k=1; tau=10; w=.5; 
u=a*sin(w*t); 
y=(k*a/(w^2*tau^2+1))*(w*tau*exp(-t/tau)-w*tau*cos(w*t)+sin(w*t)); 
plot(t,y,t,u,t,zeros(size(u))) 
axis([0 100 -6 6]) 
xlabel('tempo') 
 
concluindo que a amplitude da resposta do processo é função da freqüência, quando 
perturbado por uma senoide de entrada. Também pode ser observado que há uma 
defasagem entre a senoide de entrada e a senoide de saída. Duas grandezas podem ser 
definidas para relacionar entradas e saidas de um processo perturbado por senoides, como 
função da freqüência da perturbação. Estas grandezas são: a relação ou razão de amplitudes 
(RA) e a defasagem (\u3c6). Por razão de amplitudes entende-se o quociênte RA AS
AE
= , onde 
AS é a amplitude da senoide de saída e AE é a amplitude da senoide de entrada, e 
defasagem \u3c6 = \u3c6S - \u3c6E, onde \u3c6S é a fase da senoide de saída e \u3c6E é a fase da senoide de 
entrada. O cálculo destas grandezas será apresentado no capítulo de resposta em freqüência. 
 
5.2 Resposta Dinâmica de Processos de 2ª Ordem 
 
Um sistema de 2ª ordem pode ser descrito pela equação diferencial ordinária: 
 
a
d y
dt
a
dy
dt
a y b u t2
2
2 1 0+ + = ( ) 
 
Definindo-se para a0 0\u2260 
 
0a
b
pK = (ganho estático) 
\u3c4 = a a 2 0 (período natural de oscilação do sistema) 
2 = a a
1
0
\u3be\u3c4 (onde \u3be é o fator de amortecimento) 
 
tem-se: 
 
)(tupKydt
dy
dt
yd =++ \u3be\u3c4\u3c4 22
22 
 
Que corresponde à função de transferência: 
 41
 
1222 ++
==
ss
pK
sX
sYsG
\u3be\u3c4\u3c4)(
)()( (5.12) 
 
Um sistema de 2ª ordem decorre de: 
 
1. Processos multicapacitivos (dois sistemas de 1ª ordem em série); 
2. Processos inerentemente de 2ª ordem (processo com inércia e submetido a aceleração 
(e.g. manômetro em U) 
3. Processo de 1ª ordem e seu controlador. 
 
5.2.1 Resposta a uma Perturbação Degrau 
 
Perturbando-se o sistema de segunda ordem (Equação 5.12) com um degrau, a resposta do 
sistema será: 
s
M
ss
K
sY p
1222 ++= \u3be\u3c4\u3c4)( 
 
Calculando as duas raízes do denominador da função de transferência tem-se: 
 
\u3c4
\u3be
\u3c4
\u3be
\u3c4
\u3be
\u3c4
\u3be 12
2
12
1
\u2212\u2212\u2212=\u2212+\u2212= pp e (5.13) 
 
No MATLAB: 
 
% Dados os parâmetros do sistema de segunda ordem, desenhar 
% as raízes no Plano s: 
hold on 
tau = 0.5; 
for xsi = 0 :0.2 :10 
% Escreve-se a equação característica como: tau^2 + 2*xsi*tau +1 
Raizes = roots([tau^2 + 2*xsi*tau +1]) ; 
plot (real(Raizes), imag(Raizes), '*') 
end 
 
 
Estas raízes, também chamadas polos da função de transferência, permitem escrever a 
saída do processo, fatorando o polinômio, como: 
 
spsps
pKsY
))((
)(
21 \u2212\u2212
= 
 
De acordo com as raízes da equação característica (os polos da função de transferência), a 
resposta pode ser superamortecida (\u3be > 1 , raízes são reais e distintas), criticamente 
 42
amortecida (\u3be = 1 ), raízes reais e repetidas) ou subamortecida (\u3be < 1 , raízes complexas 
conjugadas). 
 
As saídas do processo para os três casos são: 
 
\u2022 \u3be > 1 (raízes são distintas), a saída do processo no domínio do tempo é: 
 
)
//
()(
21
2
2
1
11 \u3c4\u3c4
\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4
\u2212
\u2212\u2212\u2212\u2212=
t
e
t
e
MpKty (5.14) 
onde 
2
2
1
1
11
pp
\u2212=\u2212= \u3c4\u3c4 , 
 
\u2022 1<\u3be (raízes imaginárias) 
 
\u23aa\u23ad
\u23aa\u23ac
\u23ab
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
\u23a5\u23a5
\u23a5
\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2
\u23a2
\u23a3
\u23a1
\u239f\u239f
\u239f
\u23a0
\u239e
\u239c\u239c
\u239c
\u239d
\u239b \u2212
\u2212
+\u239f\u239f
\u239f
\u23a0
\u239e
\u239c\u239c
\u239c
\u239d
\u239b \u2212\u2212\u2212= ttteMpKty \u3c4
\u3be
\u3be
\u3be
\u3c4
\u3be\u3c4\u3be 21
21
21
1 sincos/)( (5.15) 
 
\u2022 1=\u3be (raízes reais e repetidas) 
 
Seja p a raiz repetida, 
p
1\u2212=\u3c4 
 
\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +\u2212= \u3c4\u3c4
/)( tetMpKty 11 (5.16) 
 
Processos multi-capacitivos (tanques em série, por exemplo) são processos 
superamortecidos. O efeito do fator de amortecimento na resposta ao degrau de sistemas de 
segunda ordem representados pela Equação 5.12 está mostrado na Figura 5.4, construída 
com o código MATLAB apresentado a seguir. 
 
 
t=linspace(0,10,50); 
M=5; k=1; tau=.5; 
figure(1) 
hold on 
for xsi=0.2:0.2:1.4 
xsi 
 if xsi == 1 
 cor ='k'; 
 % Equação 5.16 
 p=roots([tau^2 2*xsi*tau 1]); 
 taur=-1/p(1) 
 y=k*M*(1-(1+t/taur).*exp(-t/taur)); 
 43
 plot(t,y,cor) 
elseif xsi > 1 
 cor ='b'; 
 % Equação 5.14 
 p1=-xsi/tau+sqrt(xsi^2-1)/tau; 
 p2=-xsi/tau-sqrt(xsi^2-1)/tau; 
 T1=-1/p1; 
 T2=-1/p2; 
y=k*M*(1-(T1.*exp(-t/T1)-T2.*exp(-t/T2))/(T1-T2)); 
 plot(t,y,cor) 
 else 
 cor ='g'; 
 % Equação 5.15 
 y=k*M*(1-exp(-t*xsi/tau).*(cos(sqrt(1-xsi^2)*t/tau)+ ... 
 xsi/sqrt(1-xsi^2).*sin(sqrt(1-xsi^2)*t/tau))); 
 plot(t,y,cor) 
 end 
end 
xlabel('tempo'), ylabel('y(t)') 
 
 
Figura 5.4: Impacto do Fator de Amortecimento na Resposta de Sistema de 2a Ordem 
a Perturbação Degrau 
 
Observe-se que quanto maior o fator de amortecimento mais lenta a resposta. Para 
processos sub-amortecidos (\u3be < 1), a resposta apresenta característica oscilatória. Quanto 
menor o fator de amortecimento, mais suave é o amortecimento da oscilação, isto é, a 
oscilação permanece durante muito tempo. A resposta sub-amortecida, por sua importância 
em controle, é descrita por termos especiais: 
 
t=linspace(0,9,50); 
M=5; 
k=1; 
tau=.5; 
xsi=0.2; 
p1=-xsi/tau+sqrt(xsi^2-1)/tau; 
p2=-xsi/tau-sqrt(xsi^2-1)/tau; 
 44
y=k*M*(1-(exp(p2*t)*p1-exp(p1*t)*p2)/(p1-p2))/(p1*p2); 
plot(t,y,'g') 
hold on 
ee=1.25*ones(size(t)); 
plot(t,ee,'k') 
xlabel('tempo'), ylabel('y(t)') 
% Tempo de subida 
line([0.9,0.9],[0,1.25]); text(1,.1,'t_s') 
%Tempo de pico 
line([1.6,1.6],[0,1.9]); text(1.7,.1,'t_p') 
% Tempo de resposta 
plot(t,[ee+.05*ee],'b',t,[ee-.05*ee],'b'); line([7,7],[0,1.2]); 
text(7.1,.1,'t_r') 
% Overshoot 
line([1.6,3],[1.25,1.5]); line([1.6,3],[1.9,2.15]); 
line([3,3],[1.5,2.15]); text(3.1,1.8,'a'); text(1,.7,'b') 
%Razão de Decaimento 
line([1.6,1.6],[1.25,1.9]); line([3.2,3.2],[1.25,.92]); text(3.3,1.1,'c') 
% Período de oscilação 
line([4.8,4.8],[1.25,1.9]); line([1.6,4.8],[1.9,1.9]); text(3.2,2,'P') 
 
Figura 5.5: Características de Resposta de Sistema de 2a Ordem Sub-amortecido a 
Perturbação Degrau 
 
 
tempo de subida (ts): é o tempo para que a saída atinja o novo valor estacionário pela 
primeira vez. Caracteriza a velocidade do sistema subamortecido. Quanto menor o fator de 
amortecimento, menor será o ts. 
 
 45
tempo para o primeiro pico (tp): é o tempo para o processo alcançar seu primeiro valor 
máximo. 
 
tempo de respota (tr): é o tempo para o processo atingir e permanecer na faixa definida por 
±5% da resposta final (y(\u221e)). 
 
sobrepasso (OS=&quot;overshoot&quot;): é a relação &quot;a/b&quot;, onde &quot;b&quot; é o valor final da resposta e &quot;a&quot; 
é o valor máximo do desvio. 
 
OS = \u2212
\u2212
exp( )\u3c0\u3be
\u3be1 2
 (5.17) 
 
razão de decaimento (DR=&quot;decay ratio&quot;): é a relação entre as duas primeiras amplitudes 
(&quot;c/a&quot;). 
 
DR OS= \u2212
\u2212
=exp( )2
1 2
2\u3c0\u3be
\u3be
 (5.18) 
 
 
perído de oscilação (P): é o tempo decorrido entre dois picos sucessivos. Seja w é a 
freqüência do ciclo, tem-se: 
 
P =
\u2212
=2
1 2 2
\u3c0\u3c4
\u3be
\u3c9
\u3c0 (5.19) 
 
período natural de oscilação (Pn): se \u3be=1, não há amortecimento e o sistema oscilará com 
amplitude &quot;sustentada&quot;, em um freqüência \u3c9 \u3c4n = 1 ., e Pn = 2\u3c0\u3c4 É esta propriedade do 
parâmetro \u3be que deu origem ao seu nome. 
 
 
5.2.2 Resposta de um Sistema de 2ª ordem a uma Perturbação Senoidal 
 
A resposta de um sistema de segunda ordem (Equação 5.12) a uma perturbação senoidal é: 
 
Y s
A K p
s s s
( )
( )( )
= + + +
\u3c9
\u3c9 \u3c4 \u3be\u3c42 2 2 2 2 1 
 
Obtém-se sob inversão da transformada de Laplace: 
 
)(
)()(
)( \u3c6\u3c9
\u3be\u3c4\u3c4\u3c9
+
+\u2212
= tsenApKty
222221
 (5.20) 
 46