Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo
212 pág.

Modelagem Dinâmica do Processamento Primário de Petróleo


DisciplinaControle de Processos252 materiais1.185 seguidores
Pré-visualização31 páginas
54
 
Aplicando-se a transformada de Laplace: 
 
)()1()(1 she
T
CDsQout
Ts
eQin Ts
Ts
estimado
\u2212\u2212 \u2212+\u2212= 
 
A função de transferência do tempo morto é uma função transcendental que, para uso 
prático, é aproximada por um cociente de polinômios. Utiliza-se freqüentemente as 
aproximações de Padé: 
 
Padé 1/1: e-
Padé 2 / 2: e-
D
D
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4 \u3c4
\u3c4 \u3c4
s s
s
s s
s
s s
D
D
D D
D D
\u2245
\u2212
+
\u2245
\u2212 +
+ +
1
2
1
2
1
2
2 2
12
1
2
2 2
12
 
 
Estas aproximações são adequadas para pequenos valores de tempo morto \u3c4D , como toda 
aproximação, à medida que se incorporam mais termos esta se torna mais precisa. 
 
 
5.3.3 Aproximação de Sistemas de Ordem Superior 
 
Vários processos podem ser descritos como um conjunto de processos conectados em série, 
por exemplo uma coluna de destilação pode ser descrita através de modelos para o tambor, 
o refervedor e os pratos. Decorre que, para fins de controle, uma coluna de destilação pode 
ser representada por duas constantes de tempo dominantes (tambor e refervedor, \u3c41 e \u3c42 ) e 
um tempo morto aparente que substitui a dinâmica dos modelos dos pratos. Este tempo 
morto pode ser aproximado considerando que cada prato introduz um tempo morto 
equivalente à sua constante de tempo. O modelo, enfim, pode ser representado por: 
 
))((
)(
1211 ++
\u2212
=
ss
sKesG \u3c4\u3c4
\u3b8
 
 
onde 
 
 \u2211=
=
NP
i i1
\u3c4\u3b8 (NP = número de pratos). 
 
 
 55
5.3.4 Sistemas com Resposta Inversa 
 
A resposta inversa é o resultado de dois efeitos opostos. 
Na Figura 5.13, se 1
2
1
2
1 >>
K
K
\u3c4
\u3c4 , a resposta a um degrau na entrada u assume o padrão 
dinâmico esquematizado na Figura 5.14. 
 
Figura 5.13: Diagrama de Blocos de Processo com Resposta Inversa 
 
Figura 5.14: Resposta Dinâmica de Processo com Resposta Inversa 
 
Exemplo 5.4 
Os sistemas que apresentam resposta inversa têm um número ímpar de zeros positivos. A 
resposta de um processo com zero no semi-plano direito descrito pela função de 
transferência 
 
 56
))((
)()(
1512
31
++
\u2212=
ss
ssG 
 
 apresenta a resposta inversa obtida com os comandos MATLAB a seguir: 
 
 
>> num=[-3 1];den=poly([-1/2 -1/5]); 
>> G=tf(num,den) 
 
Transfer function: 
 
 -3 s + 1 
----------------- 
s^2 + 0.7 s + 0.1 
 
» tfinal=50; 
» step(G,tfinal) 
 
 
Figura 5.15: Resposta Inversa: Simulação da Resposta ao Degrau (Exemplo 5.4) 
 
Como exemplo de resposta inversa em processos off-shore, cita-se o fall back de líquido no 
riser. 
 
 
5.4 Estabilidade 
 
Um sistema descrito pela função de transferência G(s) perturbado com um sinal u(s) tem 
como saída no domínio de Laplace y(s). 
 ( )( ) ( )
( )( ) ( ) nmsUpspsps
zszszs
sUsGsY
n
m \u2264\u2212\u2212\u2212
\u2212\u2212\u2212== );()()()( L
L
21
21 
 
 57
onde z\u2019s são ditos ZEROS e p\u2019s POLOS. A função de transferência sempre pode ser 
representada como soma de frações simples com denominadores da forma. 
 
( ) ( ) ( )y s G s u s
A
s p
A
s p
A
s p
u sn
n
( ) ( ) ( ) ( )= = \u2212 + \u2212 + + \u2212
\u239b
\u239d
\u239c
\u239e
\u23a0
\u239f1
1
2
2
L 
 
Analisando-se G(s) observa-se que, se a função de transferência tiver um polo com parte 
real positiva, a transformada inversa deste termo (entrada 5 da Tabela 3.1) é uma função 
exponencial crescenteC e p t1 1 . Dado que o sinal de saída é formado pela soma de 
exponenciais, e que um destes termos é continuamente crescente, a saída será ilimitada. 
Desta forma, defini-se que: 
 
Se a função de transferência de um sistema dinâmico apresentar um polo 
com parte real positiva, o sistema é INSTÁVEL. Logo, todos os polos de 
uma função de transferência devem estar localizar no semi-plano esquerdo 
(SPE) do plano complexo s para que o sistema seja estável. 
 
 Estável
Im
Re
 
 
Figura 5.16: Lugar Geométrico de Polos Estáveis 
 
Observe-se que o denominador da função de transferência de um sistema, quando igualado 
a zero, fornece a Equação Característica deste sistema: 
 ( )( ) ( ) 021 =\u2212\u2212\u2212 npspsps L 
 
E que as raízes desta equação são os polos da função de transferência, e definem a 
estabilidade do sistema. 
 
As raízes da equação característica são facilmente obtidas para sistemas racionais no 
MATLAB, conforme exemplificado a seguir. 
 
Exemplo 5.5 
 
Dada a malha feedback apresentada na Figura 5.13 
 
 58
 
Figura 5.17: Malha de Controle Feedback 
 
com 
 
CCMVLP KGGGs
GG ===+== 1)2(
8
3 
 
tem-se, por álgebra dos blocos, que 
 
MPVC
L
GGGG
G
sL
sC
+= 1)(
)( 
 
Logo, a Equação Característica da malha feedback é: 
 
01 =+ MPVC GGGG 
 
Substituindo-se os valores 
 
088126
082
0
2
81
23
3
3
=++++
=++
=++
C
C
Ksss
Ks
s
)(
)(
 
 
O valor atribuído por KC altera as raízes da equação característica. No MATLAB, é 
possível construir este cenário: 
 
KC=[2 4 6 7 8 9 ]; 
Texto=[]; 
simb = ['o', 's', '*', 'd', 'p', '>']; 
for i=1:length(KC) 
 P = [1 6 12 8+8*KC(i)]; 
 r = roots(P); 
 plot(real(r),imag(r), simb(i)) 
 hold on 
 59
 Texto=[Texto; ['K_C = ' num2str(KC(i))]]; 
end 
xlabel('Real') 
ylabel('Imaginário') 
legend(Texto) 
 
 
Figura 5.18: Raízes da Equação Característica em Função de KC 
 
Observa-se que valores de KC>8 tornam positiva a parte real de um par de raízes 
complexas, tornando a malha instável. O gráfico da Figura 5.18 é conhecido como o Lugar 
das Raízes (Root Locus). 
 
Uma definição de estabilidade muito utilizada é a de estabilidade BIBO (Bounded Input 
Bounded Output). O conceito baseia-se em que um sistema dinâmico estável, quando 
perturbado por uma entrada finita, produz uma saída finita, independente do seu estado 
inicial. Uma perturbação finita é aquela que sempre permanece entre um limite superior e 
um limite inferior (e.g. senoide e degrau). 
 
Note-se que, nos sistemas off-shore, é o escoamento multifásico a maior fonte de 
instabilidades no processamento offshore. O escoamento em golfada severa ocorre 
naturalmente em linhas com inclinação negativa. Outra fonte possível de instabilidades 
ocorre quando numa malha de controle os valores de sintonia ultrapassam certos limites. 
 
5.4.1 Critério de Estabilidade de Routh 
 
A estabilidade do processo pode ser testada sem que seja necessário resolver a equação 
característica para obtenção dos polos. O método de Routh indicará a existência de polos 
 60
positivos, e é aplicável tanto a malhas fechadas quanto abertas, bastando, apenas, utilizar a 
equação característica apropriada. 
 
Para um processo de ordem N, tem-se a seguinte equação característica: 
 
a s a s a s aN
N
N
N+ + + =\u2212 \u22121 1 1 0 0... (5.34) 
 
onde aN é positivo. Uma condição necessária (mas não suficiente) para estabilidade do 
processo é que todos os coeficientes na equação característica sejam positivos e não nulos. 
Caso esta condição seja obedecida, constrói-se a MATRIZ DE ROUTH ({n+1} linhas): 
 
a a a
a a a
b b b
c c
n n n
n n n
b
\u2212 \u2212
\u2212 \u2212 \u2212
2 4
1 3 5
1 2
1 2
...
...
...
... ...
... 
onde
 
 
1
2131
1
1
321
1 b
baabc
a
aaaab nn
n
nnnn \u2212\u2212
\u2212
\u2212\u2212\u2212 \u2212=\u2212= 
.
 
etc
b
baab
c
a
aaaa
b nn
n
nnnn
1
3151
2
1
541
2
\u2212\u2212
\u2212
\u2212\u2212\u2212 \u2212=\u2212=
 
 
 
O Critério de Estabilidade de Routh é uma condição necessária e suficiente para que todas 
as raízes da equação característica se encontrem no SPE. Esta condição é que todos os 
elementos da 1ª coluna da Matriz de Routh sejam positivos. 
 
Exemplo 5.6 
 
Para a malha feedback do Exemplo 5.5, deseja-se saber que valores de KC causam 
instabilidade. 
 
Avaliando-se