Prova2_CDI3_11_1

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2a Prova de Ca´lculo diferencial e integral 3 - 08.2338 - A
Sa˜o Carlos, 1 de julho de 2011
Professor: Dr. Ma´rcio J. Soares
DM/UFSCar
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Questa˜o 1 2 3 4 5 Total
Valor 21/2 2 11/2 2 2 10
V. Obtido
**** As respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas! ****
1. [21/2 pontos] Sejam 퐹 (푥, 푦, 푧) =
〈
− 푦
푥2 + 푦2
,
푥
푥2 + 푦2
, 푧
〉
um campo vetorial, e 퐶 uma curva plana sobre o plano 푧 = 0
que envolve a origem, ou seja, o interior da curva, no plano 푂푥푦, conte´m a origem. Calcule∫
퐶
퐹 ⋅ 푑훾.
2. [2 pontos] Sejam 퐹 (푥, 푦, 푧) =
〈
3푥푦,−3
2
푦2, 푧
〉
um campo vetorial, e 푆 a fronteira da regia˜o so´lida
퐸 = {(푥, 푦, 푧) ∈ R3;푥2 + 푦2 ≤ 푧 ≤ 5− 푥2 − 푦2}.
Calcule
∫∫
푆
퐹 ⋅ 푑푆.
3. [11/2 pontos] Calcule
∫
퐶
(푥2 + 푦2 + 푧2) 푑푠, em que 퐶 e´ a he´lice definida por 훾(푡) = (cos 푡, sen 푡, 푡), com 0 ≤ 푡 ≤ 2휋.
4. [2 pontos] Considere a curva 퐶 plana dada por 훾(푡) = (휋 cos 푡, 휋 sen 푡), com 0 ≤ 푡 ≤ 휋2 . Calcule∫
퐶
퐹 ⋅ 푑푟,
em que 퐹 (푥, 푦) = ⟨푒−푦 − 2푥,−푥푒−푦 − sen 푦).
5. [2 pontos] Suponha que 퐹 seja um campo vetorial conservativo, com func¸a˜o potencial 푓 , ou seja 퐹 = ∇푓 . Seja 푔 uma
func¸a˜o escalar tal que
푔(푥, 푦, 푧) =
∫ (푥,푦,푧)
(푥0,푦0,푧0)
퐹 ⋅ 푑푟,
sendo (푥0, 푦0, 푧0) um ponto do domı´nio de 푓 . Mostre que ∇푔 = 퐹 .
Boa Prova!