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3a. Lista de exerc´ıcios da disciplina 08.9303 - AB/ Ca´lculo 3 Professor: Dr. Ma´rcio de Jesus Soares Dia de entrega: 14 de novembro de 2013 1. Associe os campos vetoriais F com os campos vetoriais ilustrados nas figuras de I a` IV . (a) F (x, y) = 〈y, x〉. (b) F (x, y) = 〈x− 2, x + 1〉. (c) F (x, y) = 〈1, sen y〉. (d) F (x, y) = 〈 y, 1 x 〉 . 2. A figura ilustra um campo vetorial F e duas curvas C1 e C2. As integrais de linha de F sobre C1 e C2 sa˜o positivas negativas ou nulas? Justifique! 3. Uma part´ıcula se move em um campo de velocidade V (x, y) = 〈xy − 2, y2 − 10〉. Se ela esta´ na posic¸a˜o (1, 3) no instante t = 1, estime sua posic¸a˜o no instante 1, 05. 4. Calcule as integrais de linha ∫ C z dx + x dy + y dz, sendo C a curva parametrizada pelas equac¸o˜es x = t2, y = t3 e z = t2, com 0 ≤ t ≤ 1. 5. Determine se F e´ ou na˜o um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine a func¸a˜o potencial. (a) F (x, y) = ex cos y i+ ex sen y j. (b) F (x, y) = ex sen y i+ ex cos y j. 6. Calcule a integral de linha primeiro diretamente, e depois utilizando o Teorema de Green. (a) ∮ C xy dx + x2 dy, sendo C o retaˆngulo com ve´rtices (0, 0), (3, 0), (3, 1) e (0, 1). 1 (b) ∮ C x dx + y dy, sendo C e´ a unia˜o dos segmentos de reta de (0, 1) a (0, 0) e de (0, 0) a (1, 0), com o arco da para´bola y = 1− x2 de (1, 0) a (0, 1). 7. Calcule o rotacional e o divergente dos campos veotriais. (a) F (x, y, z) = exy sen z j+ y arctg (x z ) k. (b) F (x, y, z) = 〈ex, exy, exyz〉. 8. Existe um campo vetorial G em R3 tal que rotG = 〈xyz,−yz, yz2〉? Justifique sua resposta! 9. Mostre que qualquer campo vetorial da forma F (x, y, z) = f(x) i+ g(y) j+ h(z)k com f , g e h func¸o˜es diferenciais, e´ irrotacional. Page 2
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