Lista Julio Cesar

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CETEC CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS TECNOLÓGICO 
DISCIPLINA: CET 146 CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL I - 
PROFº DOUTOR*****JÚLIO CESAR *****BACHARELADO CIÊNCIAS EXATAS**/2013.1 
 ENGENHARIA SANITÁRIA 2013.1 
2º LISTA DE EXERCÍCIOS DERIVADAS – DIFERENCIAL – APLICAÇÕES DA DERIVADA 
 
1º) Obter pela definição as funções derivadas das funções e calcule )12()0(),2( ''' gegy 
a) ( ) ( ) 64/3)2(;23/3.23/1)( '2' −=+−=+= yxyRxxf 
b) 6/1)12(;)0(';32/1)('3)( ' =−=−= gExisteNãogxxgxxg 
 
2º) Obter a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. 
( )
( )1024384038400281006.
;cos43)3
1
1) 0502
−+−==−+
=+==
+
=
pi
pi
xyyxR
xxsenxybx
x
ya
 
3º) Mostre que a função xexy .
2
1 2
= verifica a relação xeyyy =+′−′′ 2 
4º) Uma partícula percorre uma curva segundo a lei 32610 ttS −+= (S em centímetros e t 
em segundos). Achar: a) O instante em que a velocidade é nula; 
 b) A aceleração neste instante 
 c) O espaço percorrido 
Resp. a) t=0 e t=4,0s d) a=12 e a=-12 c) 32=∆S 
 
5º)Determinar a função derivada das seguintes funções: 
a) ( ) ( ) ( )ω
ω
ωω
ω
θ
ωωωθ
237ln
223log3.Re23log)(
3
7
2
7
3
−
−−=−=
d
d
sp 
b) ( )
3
1)48(
.Re1
3 2
3 42 uuu
du
dy
spuuy +++=++= 
c) ( ) .Re231)( 2 spxxxf ++=
232
3815)(
2
+
++
=′
x
xx
xf 
d) ( ) 3lncos3.Re3 coscos φφφ
ρρ φφφφ sen
d
d
sp sensen −== ++ 
e) ( )
3
512
3
512
15)(.Re51exp)(
3
x
ex
xfspxxf
x
+
=′+=
+
 
f) ( )
xtg
xtgxe
xfsp
tgx
e
xf
xx
3
222 sec2)(.Re)( −=′





= 
g) ( ) 2ln2
212
21
.Re21)
)1(2
3
.
1
1)(
2
3
x
x
x
x Cosyspsenyh
λ
λ
λd
dsR
λ
λ
λs
−
−
−=−=
−
−
=
−
+
= 
i) 2)1(.Re1 +=+−= x
x
dx
dy
sp
x
x
xtgarcy 
j) 2' 1
1)(.Re
1
1ln
x
xysp
x
xy
−
=
−
+
= 
k)
2
1
.Recos1 =




 −
=
dx
dy
sp
senx
x
tgarcy 
l) ( ) ( ) ( ) xsenxxsenxxsenx
dx
dy
spxseny xxx ln2cos.Re
222 12 +== − 
m)
26 324
23
)()1(3
31
.Re
senxarcxx
xsenxarcx
dx
dy
sp
senxarc
xy
−
−−
== 
n) ( ) ( )













 −
−−−=













 −
−=
2
3
'
2
2
1
2
1)(.Re
2
1
2
1
σ
µµ
σpiσ
µ
σpi
xEXPxxfspxEXPxf 
Calcular os diferenciais das seguintes funções: 
6º) ( ) ( ) dxxaxdyRxay 422522 10. −−=−= 7º)
2
2
1
.1
x
dxxdyRxy
+
=+= 
8º) dxxdyRxtgxtgy 43 sec.
3
1
=+= 9º) ( ) ( )21
ln
.1ln
1
ln
x
dxxdyRx
x
xxy
−
=−+
−
= 
10º)Obter o ponto de contato da tangente à curva 162 −= xy e paralela à reta 
5x+3y-2=0. Resp. P(-5;3) 
 
11º)Estima-se que daqui a t anos a população de uma certa comunidade suburbana será 
1
620)(
+
−=
t
tP milhares de habitantes. 
(a) Deduza a expressão da taxa de variação da população em relação ao tempo. 
R: ( )21
6
+
=
tdt
dP
 
(b) Qual será a taxa de crescimento da população daqui a 1 ano? R. 1500 hab/ano. 
(c) Qual será o crescimento da população durante o 2º ano? R. 1000 hab. 
 
12º) A pressão de um gás depende do seu volume V de acordo com a Lei de Boyle, P = 
C/V, onde C é uma constante. Suponha que C = 2000, que P é medida em Kg/cm2 e que V 
é medido em cm3. Calcule: 
a) A taxa de variação média de P com relação a V quando V aumenta de 100 cm3 para 125 
cm3. R. -0.16 kg/cm2/cm3 
b) A taxa de variação instantânea de P com relação a V no instante em que V = 100 cm3. 
R. -0.2 kg/cm2/cm3 
13º) Determinar os extremantes da função xxxxf 3ln)( 2 −+= R. min1max
2
1
== xx 
14º) Estima-se que, se 60 laranjeiras forem plantadas, cada árvore fornecerá em média 400 
laranjas. Cada árvore fornecerá menos 4 laranjas por árvore adicional plantada na mesma 
(região) área. Quantas árvores deverão ser plantadas para maximizar o número de laranjas 
colhidas? R: 80 
 
 
15º) Um fazendeiro precisa construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum, 
conforme mostra a figura. Se cada curral deve ter uma área A, qual o comprimento mínimo 
que a cerca deve ter? AP 34= 
 
 
 
 
Ө Ө 
L/3 L/3 
L/3 
 
 
 
 
 
 
 
16º) Um fazendeiro tem 80 porcos, pesando 150 kg cada um. Cada porco aumenta de peso 
na proporção de 2,5 kg por dia. Gastam-se R$ 2,00 por dia para manter um porco. Se o 
preço de venda está a R 3,00 por Kg e cai R$ 0,03 por dia, quantos dias deve o fazendeiro 
aguardar para que seu lucro seja máximo? R: 07 dias 
 
17º) O Custo de produção de x unidades de uma certa mercadoria é bxa + e o preço de 
venda e dxc − por unidade, sendo a, b, c, d constantes positivas. Quantas unidades devem 
ser produzidas e vendidas para que seja máximo o lucro da operação? R: 
d
bc
2
−
 
 
18º) Uma calha de fundo plano e lados igualmente inclinados vai ser construída dobrando-se 
uma folha de metal de largura L. Se os lados e o fundo têm largura L/3, calcular o ângulo θ 
de forma que a calha tenha a máxima seção reta? 
 
 
R. rad
3
2piθ = 
 
 
 
19º) Um poço de petróleo no mar estar em um ponto W a 5 Km do ponto A mais próximo, 
em uma praia reta. O petróleo é bombeado de W até um ponto B na praia a 8 km de A da 
seguinte forma: de W até um ponto P na praia entre A e B sob a água, e de P até B através 
de uma tubulação colocada ao longo da praia. Se o custo em dólares for de $ 
1.000.000/km sob a água e $ 500.000/km por terra, onde P deve estar localizado para 
minimizar o custo? 
R. AdeKm89.23/5 ≈ 
 
20º) Estude e trace o gráfico das funções: 
a) xxxf 62)( 3 −= 
b) 124)( 23 −−−= xxxxf c) )()( 2XEXPxf −= (Curva de Gauss) 
d) 
3
1)(
−
+
=
x
x
xf 
 
21º) Obter os pontos de inflexão da função 1243 23 −+−= xxxy R: (1,-10) 
 
22º) Obter os valores de m e n de modo que : 
a) o ponto (1,3) seja ponto de inflexão da curva 23 nxmxy += 
b) A função nmxxy ++= 232 , tenha máximo no ponto (-1,2). 
x 
y 
x 
y y 
x 
x