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Universidade de Sa˜o Paulo Departamento de F´ısica Matema´tica 2006 Curso de F´ısica-Matema´tica Joa˜o Carlos Alves Barata Versa˜o de 23 de maio de 2006 Estas notas ou sua versa˜o mais recente podem ser encontradas no seguinte enderec¸o WWW: http://denebola.if.usp.br/∼jbarata/Notas de aula I´ndice Prefa´cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Notac¸a˜o e Adverteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 I Cap´ıtulos Introduto´rios 21 1 Noc¸o˜es Ba´sicas 22 1.1 Conjuntos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1.1 Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1.2 Relac¸o˜es de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.1.4 I´nfimos e Supremos de Famı´lias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.2 Estruturas Alge´bricas Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.2.1 Semi-grupos, Mono´ides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.2.3 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.2.4 Ane´is, A´lgebras e Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.2.5 Mais sobre Ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.2.6 Ac¸o˜es e Representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En- domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . . . . . . 73 1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . . 77 1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.1 Discussa˜o Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relac¸o˜es . . . . . . . . . . 84 1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitra´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.5.6 Mo´dulos e Derivac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2 3/1461 1.6 To´picos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.2 Grupo´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.6.3 Quate´rnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2 Espac¸os Vetoriais 100 2.1 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.1.1 Sub-Espac¸os e Espac¸os Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.1.2 Bases Alge´bricas de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.1.3 O Dual Alge´brico de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.2 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espac¸os Vetoriais . . . . . . . 114 2.2.1 Formas Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.2.2 Formas Sesquilineares e as Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Minkowski . . . 119 2.2.3 Produtos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.2.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.3 Normas em Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.4 Formas Bilineares e Sesquilineares em Espac¸os de Dimensa˜o Finita . . . . . . . . . . . 135 2.5 Estruturas Complexas sobre Espac¸os Vetoriais Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.A Prova do Teorema de Fre´chet, von Neumann e Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 II To´picos de A´lgebra Linear 153 3 To´picos de A´lgebra Linear. I 154 3.1 Propriedades Ba´sicas de Determinantes e Inversas de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . 155 3.2 Noc¸o˜es Ba´sicas sobre o Espectro de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.2.1 O Trac¸o de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.3 Polinoˆmios de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3.3.1 O Teorema de Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.4 Matrizes Diagonaliza´veis e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.4.1 Diagonalizac¸a˜o Simultaˆnea de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.5 Matrizes Auto-adjuntas, Normais e Unita´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.5.1 Matrizes Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3.6 Matrizes Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4/1461 3.7 O Teorema de Decomposic¸a˜o de Jordan e a Forma Canoˆnica de Matrizes . . . . . . . . 207 3.7.1 Resultados Preparato´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3.7.2 O Teorema da Decomposic¸a˜o de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 3.7.3 Matrizes Nilpotentes e sua Representac¸a˜o Canoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.7.4 A Forma Canoˆnica de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 3.8 Algumas Representac¸o˜es Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.8.1 A Decomposic¸a˜o Polar de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.8.2 O Teorema da Triangularizac¸a˜o de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.8.3 A Decomposic¸a˜o QR e a Decomposic¸a˜o de Iwasawa (“KAN”) . . . . . . . . . . 228 3.9 Propriedades Especiais de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.9.1 Expansa˜o do Polinoˆmio Caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.9.2 A Desigualdade de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 3.10 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 4 To´picos de A´lgebra Linear. II 238 4.1 Uma Topologia Me´trica em Mat (C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.2 Exponenciais, Logaritmos e Func¸o˜es Anal´ıticas de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 244 4.2.1 A Exponenciac¸a˜o de Matrizes e os Grupos GL(C, n) e GL(R, n) . . . . . . . . 252 4.3 A Fo´rmula de Lie-Trotter e a Fo´rmula do Comutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 4.4 Aplicac¸o˜es Lineares em Mat (C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 4.5 A Fo´rmula de Baker, Campbell e Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 4.6 A Fo´rmula de Duhamel e Algumas desuas Consequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . 270 III Equac¸o˜es Diferenciais 275 5 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias. Uma Introduc¸a˜o 276 5.1 Definic¸a˜o e Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5.1.1 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 5.1.2 Equac¸o˜es Ordina´rias de Segunda Ordem. Exemplos de Interesse . . . . . . . . . 283 5.2 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 5.3 Discussa˜o sobre Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 5.3.1 Problemas de Valor Inicial. Patologias e Exemplos a se Ter em Mente . . . . . . 293 5.3.2 Teoremas de Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 5.3.3 Soluc¸o˜es Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 5/1461 5.3.4 Dependeˆncia Cont´ınua de Condic¸o˜es Iniciais e de Paraˆmetros . . . . . . . . . . . 300 6 Alguns Me´todos de Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias 302 6.1 Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Ordina´rias Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . 302 6.2 As Equac¸o˜es de Bernoulli e de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 6.3 Integrac¸a˜o de Equac¸o˜es Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 6.4 O Me´todo de Variac¸a˜o de Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 6.5 O Me´todo de Substituic¸a˜o de Pru¨fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 6.6 O Me´todo de Inversa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 6.7 Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Exatas e o Me´todo dos Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . 312 6.8 Soluc¸o˜es das Equac¸o˜es de D’Alembert-Lagrange e Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . 317 7 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias Lineares 322 7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 7.2 Unicidade e Existeˆncia de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 7.2.1 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 7.2.2 Existeˆncia. A Se´rie de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.2.3 Propriedades de D(s, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 7.3 Equac¸o˜es com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 7.3.1 Alguns Exemplos e Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 7.4 Teoria de Perturbac¸o˜es de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 7.5 Mais sobre a Se´rie de Dyson. Produtos de Tempo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . 346 7.6 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Lineares no Plano Complexo . . . . . . . . . . . . . 349 7.6.1 O Caso Anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 7.6.2 Resoluc¸a˜o por Se´ries de Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 7.6.3 Sistemas com Pontos Singulares. Monodromia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 7.6.4 Sistemas com Pontos Singulares Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 7.7 Sistemas Provenientes de EDOs de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 7.7.1 Pontos Singulares Simples em EDO’s de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 7.7.2 Singularidades no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 7.7.3 Alguns Exemplos de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 7.8 Equac¸o˜es Fuchsianas. S´ımbolos de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 7.8.1 Equac¸o˜es Fuchsianas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 7.8.2 Equac¸o˜es Fuchsianas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 6/1461 7.8.3 S´ımbolos de Riemann. Simetrias de Equac¸o˜es Fuchsianas de Segunda Ordem . . 398 7.9 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 8 Soluc¸o˜es de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias Lineares no Plano Complexo 410 8.1 Soluc¸o˜es em Se´ries de Poteˆncias para Equac¸o˜es Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 8.1.1 A Equac¸a˜o do Oscilador Harmoˆnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 8.1.2 A Equac¸a˜o de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 8.1.3 A Equac¸a˜o de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 8.1.4 A Equac¸a˜o de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 8.1.5 A Equac¸a˜o de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 8.1.6 O Caso de Equac¸o˜es Regulares Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 8.2 Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Singulares Regulares. O Me´todo de Frobenius . . . . . . . . . . . 428 8.2.1 Equac¸o˜es Singulares Regulares. O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 8.2.2 A Equac¸a˜o de Euler Revisitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 8.2.3 A Equac¸a˜o de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 8.2.4 Equac¸o˜es Relacionadas a` de Bessel. A Equac¸a˜o de Bessel Esfe´rica . . . . . . . . 456 8.2.5 Equac¸o˜es Relacionadas a` de Bessel. A Equac¸a˜o de Bessel Modificada . . . . . . 459 8.2.6 A Equac¸a˜o de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 8.2.7 A Equac¸a˜o Hipergeome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 8.2.8 A Equac¸a˜o Hipergeome´trica Confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 8.3 Algumas Equac¸o˜es Associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 8.3.1 A Equac¸a˜o de Legendre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 8.3.2 A Equac¸a˜o de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 8.4 A Func¸a˜o Gama. Definic¸a˜o e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 8.5 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 8.A Prova da Proposic¸a˜o 8.1. Justificando os Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . 493 8.B Provando (8.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 8.C Justificando os Polinoˆmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 8.D Provando (8.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.E Porque λ deve ser um Inteiro Positivo na Equac¸a˜o de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . 500 9 Propriedades de Algumas Func¸o˜es Especiais 503 9.1 Discussa˜o Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 7/1461 9.1.1 Definic¸o˜es e Considerac¸o˜es Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 9.1.2 Relac¸o˜es de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 9.1.3 Fo´rmulas de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 9.1.4 Func¸o˜es Geratrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 9.2 Propriedades de Algumas Func¸o˜es Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 9.2.1 Propriedades dos Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 9.2.2 Propriedades dos Polinoˆmios de Legendre Associados. Harmoˆnicas Esfe´ricas . . 527 9.2.3 Propriedadesdos Polinoˆmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 9.2.4 Propriedades dos Polinoˆmios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 9.2.5 Propriedades dos Polinoˆmios de Laguerre Associados . . . . . . . . . . . . . . . 544 9.2.6 Propriedades das Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 9.2.7 Propriedades das Func¸o˜es de Bessel Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 9.3 Completeza de Algumas Famı´lias de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 9.3.1 Completeza de Polinoˆmios Ortogonais em Intervalos Compactos . . . . . . . . . 570 9.3.2 Completeza de Polinoˆmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 9.3.3 Completeza dos Polinoˆmios Trigonome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 9.4 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 9.A Provando (9.57) a` Forc¸a Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 10 Alguns Problemas Selecionados de Interesse F´ısico 583 10.1 As Equac¸o˜es de Helmholtz e de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 10.1.1 Problemas em Duas Dimenso˜es em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . 585 10.1.2 Problemas em Treˆs Dimenso˜es em Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . 588 10.2 O Problema da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 10.2.1 Corda Vibrante Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 10.2.2 O Problema da Corda Homogeˆnea Pendurada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 10.2.3 Corda Vibrante Na˜o-Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 10.2.4 O Problema da Membrana Retangular Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . 603 10.3 O Problema da Membrana Circular Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 10.4 O Oscilador Harmoˆnico na Mecaˆnica Quaˆntica e a Equac¸a˜o de Hermite . . . . . . . . . 608 10.5 O A´tomo de Hidrogeˆnio e a Equac¸a˜o de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . . . . . 610 10.6 Propagac¸a˜o de Ondas em Tanques Cil´ındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 10.7 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 8/1461 11 Rudimentos da Teoria das Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 632 11.1 Definic¸o˜es, Notac¸o˜es e Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 11.1.1 Alguma Classificac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 11.2 O Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 11.2.1 O Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis. Caso de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . 642 11.2.2 O Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis. Caso de Equac¸o˜es Na˜o-Lineares . . . . . . 646 11.3 O Me´todo das Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 11.3.1 Exemplos de Aplicac¸a˜o do Me´todo das Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . 654 11.3.2 Caracter´ısticas. Comenta´rios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 11.4 Unicidade de Soluc¸o˜es de Equac¸o˜es Diferenciais Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 11.4.1 Casos Simples. Discussa˜o Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 11.4.2 Unicidade de Soluc¸o˜es. Generalizac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678 11.5 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 12 Introduc¸a˜o ao Problema de Sturm-Liouville 688 12.1 Comenta´rios Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 12.2 O Problema de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 12.2.1 Resolvendo o Problema de Sturm. A Func¸a˜o de Green . . . . . . . . . . . . . . 695 12.2.2 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 12.3 O Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 12.4 Propriedades Ba´sicas dos Auto-Valores e Auto-func¸o˜es de Problemas de Sturm-Liouville 702 12.4.1 Realidade dos Auto-Valores. Ortogonalidade de Auto-func¸o˜es . . . . . . . . . . 702 12.4.2 A Simplicidade dos Auto-Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 12.4.3 Condic¸o˜es Suficientes para a Positividade dos Auto-Valores . . . . . . . . . . . . 707 12.5 A Equac¸a˜o Integral de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 12.6 Uma Aplicac¸a˜o do Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 12.7 Comenta´rios Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 12.7.1 O Problema de Sturm-Liouville Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 12.8 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 12.A Prova do Teorema 12.1. Existeˆncia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 12.B Prova da Proposic¸a˜o 12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 12.C Comenta´rio Sobre o Determinante Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730 12.D Auseˆncia de Auto-Valores em um Problema Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 9/1461 12.E Demonstrac¸a˜o do Teorema 12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 12.F Prova da Desigualdade (12.E.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 13 Alguns Resultados sobre Equac¸o˜es Integrais 738 13.1 Descric¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 13.2 O Me´todo dos Determinantes de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 13.2.1 A Equac¸a˜o Integral de Fredholm Linear Na˜o-Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . 741 13.2.2 A Equac¸a˜o Integral de Fredholm Linear Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . 746 13.3 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 13.A Obtendo os Determinantes de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 IV Grupos 757 14 Grupos. Alguns Exemplos 758 14.1 O Grupo de Permutac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 14.1.1 Ciclos, Transposic¸o˜es e Transposic¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 14.2 Alguns Grupos Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 14.2.1 Os Grupos GL(n) e SL(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 14.2.2 O Grupo de Borel e o Grupo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769 14.2.3 Grupos Associados a Formas Bilineares e Sesquilineares . . . . . . . . . . . . . . 777 14.2.4 Os Grupos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779 14.2.5 Os Grupos Unita´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780 14.3 Os Grupos SO(2), SO(3), SU(2) e SL(C, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 14.3.1 Os Grupos SO(2), O(2), SO(1, 1) e O(1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 14.3.2 O Grupo SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786 14.3.3 O Grupo SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795 14.3.4 A Relac¸a˜o entre SO(3) e SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 798 14.3.5 O Grupo SL(C, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 14.4 Generalidades sobre os grupos SU(n) e SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 14.4.1 Os Grupos SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 14.4.2 O Grupo SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 14.4.3 Os Grupos SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807 14.5 O Grupo Afim e o Grupo Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 10/1461 14.6 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 14.6.1 O Espac¸o-Tempo, a Noc¸a˜o de Intervalo e a Estrutura Causal . . . . . . . . . . . 819 14.6.2 A Invariaˆncia do Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 14.6.3 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828 14.6.4 Alguns Sub-Grupos do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830 14.6.5 A Estrutura do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834 14.6.6 Os Geradores do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839 14.7 O Grupo de Poincare´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 14.8 SL(C, 2) e o Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 14.A Prova do Teorema 14.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 14.B Um Isomorfismo entre SL(C, 2)/{1,−1} e L↑+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871 15 Grupos de Lie e A´lgebras de Lie. Uma Breve Introduc¸a˜o 880 15.1 Variedades e Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881 15.2 Breves Considerac¸o˜es sobre Grupos Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 15.3 Grupos de Lie Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 15.3.1 Uma Topologia Me´trica em GL(C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 15.3.2 O Grupo de Lie GL(C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887 15.3.3 Sub-Grupos Uniparame´tricos e seus Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890 15.3.4 Sub-Grupos Uniparame´tricos e A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894 15.3.5 Subgrupos Fechados de GL(C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899 15.4 A Relac¸a˜o entre Grupos de Lie Matriciais e suas A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . 903 15.4.1 A´lgebras de Lie Nilpotentes, Solu´veis, Simples e Semi-Simples . . . . . . . . . . 904 15.4.2 Questo˜es sobre a Exponenciac¸a˜o de A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 907 15.4.3 Alguns Exemplos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 16 Uma Breve Introduc¸a˜o a` Teoria das Representac¸o˜es de Grupos 917 16.1 Representac¸o˜es de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 16.2 Representac¸o˜es Irredut´ıveis de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924 16.3 A Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 16.4 Representac¸o˜es de Grupos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930 16.5 O Teorema de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 11/1461 V Topologia Geral, Teoria da Medida e Integrac¸a˜o 938 17 Espac¸os Me´tricos 939 17.1 Me´tricas e Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941 17.2 Topologia de Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956 17.3 Pseudo-Me´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960 17.4 Espac¸os de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962 17.4.1 Espac¸os de Sequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978 17.A Algumas Desigualdades Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978 17.B Nu´meros reais e p-a´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 17.C Aproximac¸o˜es para π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987 18 O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Algumas de Suas Consequ¨eˆncias 994 18.1 O Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 18.1.1 Generalizac¸o˜es do Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 997 18.2 Aplicac¸a˜o a Equac¸o˜es Nume´ricas. O Me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001 18.3 Aplicac¸a˜o a`s Equac¸o˜es Integrais de Fredholm e de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . 1005 18.4 Aplicac¸o˜es a` Teoria das Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014 18.4.1 O Teorema de Picard-Lindelo¨f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014 18.4.2 Generalizando o Teorema de Picard-Lindelo¨f. Soluc¸o˜es Globais . . . . . . . . . . 1019 18.4.3 Um Teorema de Comparac¸a˜o de Soluc¸o˜es de EDO’s . . . . . . . . . . . . . . . . 1020 18.5 O Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita e o Teorema da Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . 1024 18.5.1 O Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024 18.5.2 O Teorema da Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030 18.A O Lema de Gro¨nwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030 19 Espac¸os Topolo´gicos e Espac¸os Mensura´veis. Definic¸o˜es e Propriedades Ba´sicas 1031 19.1 Definic¸o˜es, Propriedades Elementares e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032 19.2 Algumas Construc¸o˜es Especiais e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038 19.2.1 Topologias e σ-a´lgebras Geradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038 19.2.2 Bases de Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042 19.2.3 Topologias e σ-a´lgebras Induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044 12/1461 19.2.4 Topologias e σ-a´lgebras Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047 19.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047 19.3.1 Fecho de Conjuntos em Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053 19.4 Espac¸os Topolo´gicos Separa´veis e Segundo-Conta´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 20 Medidas 1058 20.1 O Problema da Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058 20.2 Medidas de Conjuntos. Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades Ba´sicas . . . . . . . . . . . 1061 20.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Caratheodory . . . . . . . . 1065 21 A Medida de Lebesgue 1074 21.1 A Construc¸a˜o da Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074 21.1.1 A σ-a´lgebra de Borel em R e a Medida de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . 1077 21.1.2 A Medida Produto e a Medida de Lebesgue em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 1080 21.2 Conjuntos de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081 21.3 Bases de Hamel e a Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093 22 Continuidade e Convergeˆncia em Espac¸os Topolo´gicos 109822.1 Primeiras Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098 22.2 Espac¸os Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 22.3 Reticulados e o Caso de Espac¸os Topolo´gicos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 22.3.1 Reticulados em Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105 22.4 O Limite do I´nfimo e o Limite do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106 22.5 Continuidade de Func¸o˜es em Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 22.5.1 Outras Caracterizac¸o˜es do Conceito de Continuidade em Espac¸os Topolo´gicos . 1114 22.5.2 Continuidade e Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116 23 Elementos da Teoria da Integrac¸a˜o 1119 23.1 Comenta´rios Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1120 23.2 A Integrac¸a˜o no Sentido de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122 23.2.1 A Integral de Riemann Impro´pria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131 23.2.2 Diferenciac¸a˜o e Integrac¸a˜o em Espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 23.3 A Integrac¸a˜o no Sentido de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139 23.3.1 Func¸o˜es Mensura´veis e Func¸o˜es Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139 23.3.2 A Integral de Lebesgue. Integrac¸a˜o em Espac¸os Mensura´veis . . . . . . . . . . . 1145 13/1461 23.3.3 A Integral de Lebesgue e sua Relac¸a˜o com a de Riemann . . . . . . . . . . . . . 1155 23.3.4 Teoremas Ba´sicos sobre Integrac¸a˜o e Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158 23.3.5 Alguns Resultados de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162 23.4 Os Espac¸os Lp e Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164 23.4.1 As Desigualdades de Ho¨lder e de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167 23.4.2 O Teorema de Riesz-Fischer. Completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172 23.A Demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172 23.B Caracterizac¸o˜es e Propriedades de Func¸o˜es Mensura´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173 23.C Prova do Lema 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179 23.D Demonstrac¸a˜o de (23.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1180 23.E A Equivaleˆncia das Definic¸o˜es (23.23) e (23.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181 23.F Prova do Teorema da Convergeˆncia Mono´tona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183 23.G Prova do Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184 23.H Prova do Teorema da Convergeˆncia Dominada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185 23.I Prova dos Teoremas 23.2 e 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186 23.J Prova das Desigualdades de Ho¨lder e Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189 23.K Prova do Teorema de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191 24 Alguns To´picos Especiais em Topologia e Ana´lise 1194 24.1 Uma Coletaˆnea de Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194 24.2 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1200 24.2.1 Compacidade. Definic¸o˜es e Propriedades em Espac¸os Topolo´gicos Gerais . . . . 1200 24.2.2 Compacidade em Espac¸os Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205 24.2.3 Compacidade em Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206 24.2.4 Compacidade em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215 24.3 A Noc¸a˜o de Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217 24.4 A Topologia Produto de Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219 24.5 O Teorema da Categoria de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220 VI Ana´lise Funcional 1222 25 Noc¸o˜es Ba´sicas Sobre Espac¸os de Hilbert 1223 25.1 Aspectos Topolo´gicos Ba´sicos de Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224 14/1461 25.2 Aspectos Geome´tricos Ba´sicos de Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225 25.2.1 Bases Ortonormais Completas em Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 1230 25.3 Funcionais Lineares e o Dual Topolo´gico de um Espac¸o de Hilbert . . . . . . . . . . . . 1244 25.3.1 O Teorema da Representac¸a˜o de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245 26 Operadores Lineares Limitados em Espac¸os de Banach e de Hilbert 1248 26.1 Operadores Lineares em Espac¸os Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1250 26.1.1 Espac¸os de Banach de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254 26.1.2 O Dual Topolo´gico de um Espac¸o de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258 26.1.3 O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequ¨eˆncias do Mesmo . . . . . . . . 1263 26.1.4 O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princ´ıpio de Limitac¸a˜o Uniforme . . . . . . 1270 26.1.5 O Teorema da Aplicac¸a˜o Aberta e o Teorema do Gra´fico Fechado . . . . . . . . 1271 26.2 Operadores Limitados em Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279 26.2.1 O Adjunto de um Operador em um Espac¸o de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 1281 26.3 A´lgebras de Banach e A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289 26.3.1 A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289 26.3.2 A Inversa de Operadores Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292 26.3.3 O Espectro de Operadores em A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 1298 26.3.4 O Homomorfismo de Gelfand em A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308 26.3.5 Ra´ızes Quadradas de Operadores em A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . 1310 26.3.6 Elementos Positivos de A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312 26.3.7 O Lema da Raiz Quadrada em espac¸os de Hilbert. A Decomposic¸a˜o Polar . . . 1315 26.4 Um Pouco sobre Estados e Representac¸o˜es de A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 1320 26.5 O Espectro de Operadores em Espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329 26.6 Operadores Compactos em Espac¸os de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 1339 26.6.1 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-adjuntos . . . . . . . . 1352 26.7 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Auto-adjuntos em Espac¸os de Hilbert 1360 26.7.1 O Ca´lculo Funcional Cont´ınuo e o Homomorfismo de Gelfand . . . . . . . . . . 1360 26.7.2 Generalizando o Ca´lculo Funcional Cont´ınuo. As Medidas Espectrais . . . . . . 1362 26.7.3 Medidas com Valores em Projec¸o˜es Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372 26.7.4 Os Projetores Espectrais e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377 26.7.5 A Relevaˆncia do Teorema Espectral para a F´ısica Quaˆntica (um pouco de F´ısica, finalmente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381 26.A Prova do Teorema 26.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1390 15/1461 27 Alguns Me´todos de Aproximac¸a˜o de Func¸o˜es 1394 27.1 Aproximac¸a˜o de Func¸o˜es Cont´ınuas por Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394 27.2Aproximac¸a˜o por Polinoˆmios Trigonome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1400 27.2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401 27.2.2 Polinoˆmios Trigonome´tricos e Func¸o˜es Cont´ınuas e Perio´dicas . . . . . . . . . . 1407 27.2.3 Convergeˆncia de Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410 27.2.4 Revisitando a Aproximac¸a˜o Uniforme de Func¸o˜es Cont´ınuas por Polinoˆmios Tri- gonome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416 28 Noc¸o˜es de Estruturas Alge´bricas 1420 28.1 A´lgebras Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421 28.2 Ac¸a˜o de Uma A´lgebra Universal sobre uma Outra A´lgebra Universal (*) . . . . . . . . 1428 29 O Limite Indutivo de A´lgebras 1433 Bibliografia 1442 I´ndice Remissivo 1451 16/1461 Prefa´cio A intenc¸a˜o ba´sica destas Notas e´ fornecer a estudantes de F´ısica noc¸o˜es matema´ticas impor- tantes para uma melhor compreensa˜o de desenvolvimentos modernos da F´ısica Teo´rica e da Matema´tica. De modo geral o texto e´ de leitura auto-suficiente, mas vez por outra algum estudo complementar e´ sugerido. Estas Notas, pore´m, na˜o sa˜o substituto a` leitura dos bons livros sobre os assuntos aqui tratados. Entretanto, procuramos apresentar (muitas vezes em exerc´ıcios!) o maior nu´mero poss´ıvel de exemplos e contra-exemplos para as va´rias situac¸o˜es tratadas de modo a motivar melhor definic¸o˜es e resultados, o que e´ menos comum em textos com tratamentos mais sistema´ticos. Parte do material pode ser encontrada em diversas fontes, citadas na bibliografia, mas a apresentac¸a˜o e sua ordem sa˜o pro´prias. Ha´ tambe´m nestas Notas demonstrac¸o˜es do pro´prio autor de resultados conhecidos que sa˜o, por alguma raza˜o, dificilmente encontradas na literatura. Fazemos notar que estas notas esta˜o ainda sendo trabalhadas e alguns cap´ıtulos e sec¸o˜es podem vir a ser alterados, corrigidos ou acrescidos de material. Ale´m disso, novos cap´ıtulos sera˜o escritos. O material ja´ presente e´, pore´m, u´til a todos aqueles que queiram iniciar-se nos assuntos aqui expostos. Verso˜es atualizadas sera˜o colocadas na “rede” (no enderec¸o acima indicado) sempre que poss´ıvel. O autor agradece a todos os que apresentarem sugesto˜es. Fabulosas somas em dinheiro sa˜o ofere- cidas a todos aqueles que encontrarem erros no texto. Entre os ja´ aquinhoados encontram-se os Srs. Matheus Grasselli, Alexandre T. Baraviera, Marcos V. Travaglia, Daniel Augusto Cortez, Djogo F. C. Patra˜o, Cle´ber de Mico Muramoto, Katiu´scia Nadyne Cassemiro, Urbano Lopes Franc¸a Junior, Gus- tavo Barbagallo de Oliveira, Priscila Vieira Franco Gondeck, Darielder Jesus Ribeiro, Daniel Augusto Turolla Vanzella, Leonardo Fernandes Dias da Motta, Krishnamurti Jose´ de Andrade, Pedro Tavares Paes Lopes, Diego Cortegoso Asseˆncio, Fleury Jose´ de Oliveira Filho, Paulo Henrique Reimberg, Fab´ıola Diacenco Xavier e Ma´rcio Andre´ Prieto Apar´ıcio Lopez aos quais somos muito gratos por correc¸o˜es e sugesto˜es. As Sec¸o˜es 14.B, pa´gina 871, e 18.4.1, pa´gina 1014, foram originalmente escritas por Daniel Augusto Cortez. A Sec¸a˜o 10.6, pa´gina 613, foi originalmente escrita por Andre´ M. Timpanaro, Fleury J. Oliveira e Paulo H. Reimberg. A eles dedicamos agradecimentos especiais. Joa˜o Carlos Alves Barata Sa˜o Paulo, 23 de maio de 2006. Departamento de F´ısica Matema´tica 17/1461 “O comportamento de um f´ısico em relac¸a˜o a` Matema´tica e´ similar a de um ladra˜o inteligente em relac¸a˜o ao co´digo penal: ele estuda apenas o suficiente para evitar punic¸o˜es”. I. M. Gelfand (1913-). “A mente na˜o e´ um vaso a ser repleto, mas uma tocha a ser acesa”. Plutarco (46?-120). “Talvez eu na˜o tenha tido eˆxito em fazer as coisas dif´ıceis tornarem-se fa´ceis, mas pelo menos eu nunca fiz um assunto fa´cil tornar-se dif´ıcil”. F. G. Tricomi (1897-1978). “In science, self-satisfaction is death. Personal self-satisfaction is the death of the scientist. Collective self-satisfaction is the death of the research. It is restlessness, anxiety, dissatisfaction, agony of mind that nourish science”. Jacques Lucien Monod (1910-1976), in New Scientist, 1976. “Na˜o existe nenhuma categoria da Cieˆncia a` qual se possa dar o nome de Cieˆncia Aplicada. O que existe sa˜o a Cieˆncia e as aplicac¸o˜es da Cieˆncia, intimamente ligadas, como frutos a` a´rvore que os gerou”. Louis Pasteur (1822-1895), in “Pourquoi la France n’a pas trouve´ d’hommes supe´rieurs au moment du pe´ril”, Revue Scientifique (Paris, 1871). 18/1461 Notac¸a˜o e Adverteˆncias Para facilitar a consulta e a leitura, listamos aqui sem muitos comenta´rios um pouco da notac¸a˜o que empregaremos nestas Notas. Se z e´ um nu´mero complexo denotaremos seu complexo conjugado por z. A notac¸a˜o z∗ (mais comum em textos de F´ısica) pode ocorrer mais raramente. O s´ımbolo A := B ou B =: A denota que A e´ definido pela expressa˜o B. O s´ımbolo A ≡ B indica que A e B sa˜o duas notac¸o˜es distintas para o mesmo objeto. Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa˜o vetores reais com n componentes (ou seja, elementos de Rn) enta˜o definimos 〈x, y〉R := x1y1 + · · ·+ xnyn . Trata-se do produto escalar usual em Rn. Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa˜o vetores complexos com n componentes (ou seja, elementos de Cn) enta˜o definimos 〈x, y〉C := x1y1 + · · ·+ xnyn . Trata-se do produto escalar usual em Cn. Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa˜o vetores complexos com n componentes (ou seja, elementos de Cn) enta˜o definimos 〈x, y〉R := x1y1 + · · ·+ xnyn . Trata-se de uma forma bilinear em Cn. Mat(R, n) ou Mat(n, R) designa o conjunto de todas as matrizes reais n × n. Mat(C, n) ou Mat(n, C) designa o conjunto de todas as matrizes complexas n× n. Se A e´ um elemento de Mat(R, n) ou de Mat(C, n), enta˜o AT designa a matriz transposta de A, ou seja, a matriz cujos elementos de matriz ij sa˜o ( AT ) ij = Aji. Se A e´ um operador linear em um espac¸o vetorial complexo (com um certo produto escalar), seu adjunto e´ denotado por A∗. Em textos de F´ısica e´ mais comum denota´-lo por A†, mas na˜o usaremos isso aqui. Assim, se A ∈ Mat(C, n), enta˜o A∗ sera´ a adjunta de A (em relac¸a˜o ao produto escalar usual, acima). O elemento de matriz ij de A∗ sera´ (A∗)ij = Aji. Denotaremos o operador identidade agindo em um espac¸o vetorial (a matriz identidade, agindo em um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita) pelo s´ımbolo 1. Esse s´ımbolo tambe´m representara´ a unidade de uma a´lgebra. 19/1461 Designaremos um produto escalar entre dois vetores u e v sempre por 〈u, v〉 e nunca por (u, v), para na˜o causar confusa˜o com a notac¸a˜o para par ordenado. Outra notac¸a˜o poss´ıvel e´ aquela empregada frequ¨entemente em textos de Mecaˆnica Quaˆntica: 〈u | v〉, mas faremos raramente uso dessa notac¸a˜o. Ainda sobre produtos escalares, seguiremos sempre a convenc¸a˜o dos textos de F´ısica: um produto escalar em um espac¸o vetorial sobre os complexos e´ linear em relac¸a˜o ao segundo argumento e antilinear em relac¸a˜o ao primeiro. Assim, se α e β sa˜o nu´meros complexos, teremos 〈αu, βv〉 = αβ〈u, v〉. Textos de Matema´tica adotam por vezes a convenc¸a˜o oposta (ou mesmo ambas!). Sobre o emprego das palavras func¸a˜o, aplicac¸a˜o,mapeamento,mapa, funcional, operador, operac¸a˜o, produto e forma, que por vezes causam perplexidade em estudantes, remetemos ao comenta´rio a` pa´gina 25. Dado um conjunto X 6= ∅, denota-se por P(X) a colec¸a˜o de todos os sub-conjuntos de X. P(X) e´ denominado o conjunto das partes de X. A topologia usual da reta real R sera´ denotada aqui por τR. A σ-a´lgebra de Borel de R sera´ (quase sempre) denotada aqui por M[τR]. A σ-a´lgebra dos sub-conjuntos de R mensura´veis por Lebesgue sera´ (quase sempre) denotada aqui por MµL. Para x ∈ R, o s´ımbolo ⌊x⌋ designa o maior inteiro menor ou igual a x. O s´ımbolo ⌈x⌉ designa o menor inteiro maior ou igual a x. Ha´ ainda nestas Notas um problema na˜o totalmente sanado quanto ao conjunto dos nu´meros naturais N. Em algumas sec¸o˜es adotou-se 0 ∈ N, ou seja, N = {0, 1, 2, 3, . . .} em outras, adotou-se 0 6∈ N, ou seja, N = {1, 2, 3, . . .}. Esperamos que isso seja definitivamente corrigido futuramente. Por ora, pedimos atenc¸a˜o ao leitor. O s´ımbolo 2 indica o fim de um enunciado. O s´ımbolo indica o fim de uma demonstrac¸a˜o. O s´ımbolo 6 indica o fim do enunciado de um exerc´ıcio. O s´ımbolo ◊ indica o fim do enunciado de um exemplo. B(X) designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espac¸o de Banach X. B(H) designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espac¸o de Hilbert H. C(L) designa o conjunto de todas as func¸o˜es cont´ınuas (reais ou complexas, dependendo do caso), definidas em L (na topologia que se estiver considerando em L). B(L) designa a colec¸a˜o de todos os conjuntos Borelianos de L (em relac¸a˜o a` topologia que se estiver considerando em L). Bl(L) designa a colec¸a˜o de todas as func¸o˜es Borelianas (reais ou complexas, dependendo do caso), definidas em L. O domı´nio de um operador T (agindo em um espac¸o de Banach ou de Hilbert) sera´ denotado por D(T ) ou por Dom(T ). A imagem (“range”) de T sera´ denotada por R(T ) ou por Ran (T ) ou, mais raramente, por Im (T ), mas essa u´ltima notac¸a˜o pode causar confusa˜o com a da parte 20/1461 imagina´ria de um nu´mero complexo ou mesmo com a da parte imagina´ria de um operador agindo em um espac¸o de Hilbert: Im (T ) := 1 2i (T − T ∗). As noc¸o˜es de propriedade va´lida quase em toda parte e de propriedade gene´rica sa˜o definidas nas pa´ginas 1080 e 1196, respectivamente. • Intervalos Ainda na˜o introduzimos os nu´meros reais nem a relac¸a˜o de ordem entre eles mas, como essas noc¸o˜es sa˜o conhecidas, vamos colocar aqui uma palavra sobre a nomenclatura usada para descrever intervalos da reta real. Para a < b ∈ R o conjunto (a, b) = {x ∈ R, com a < x < b} e´ dito ser um intervalo aberto. Para a ≤ b ∈ R o conjunto [a, b] = {x ∈ R, com a ≤ x ≤ b} e´ dito ser um intervalo fechado. Para a < b ∈ R os conjuntos [a, b) = {x ∈ R, com a ≤ x < b} e (a, b] = {x ∈ R, com a < x ≤ b} sa˜o ditos ser intervalos semi-abertos (ou semi-fechados). E´ importante dizer que a nomenclatura “aberto” ou “fechado” acima e´ usada independentemente da topologia usada em R (a noc¸a˜o de topologia sera´ introduzida adiante). Parte I Cap´ıtulos Introduto´rios 21 Cap´ıtulo 1 Noc¸o˜es Ba´sicas Conteu´do 1.1 Conjuntos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1.1 Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1.2 Relac¸o˜es de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.1.4 I´nfimos e Supremos de Famı´lias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.2 Estruturas Alge´bricas Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.2.1 Semi-grupos, Mono´ides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.2.3 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.2.4 Ane´is, A´lgebras e Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.2.5 Mais sobre Ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.2.6 Ac¸o˜es e Representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En- domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . 77 1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . 78 1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.1 Discussa˜o Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relac¸o˜es . . . . . . . . 84 1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitra´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.5.6 Mo´dulos e Derivac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.6 To´picos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.2 Grupo´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.6.3 Quate´rnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 22 JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 23/1461 E ste cap´ıtulo introduto´rio pretende (re)apresentar ao leitor uma se´rie de noc¸o˜es matema´ticas ba´sicas abrangendo rudimentos da teoria (“ingeˆnua”) dos conjuntos e algumas estruturas alge´bricas. O objetivo na˜o e´ um tratamento extensivo dos diversos assuntos, ja´ que va´rios deles sera˜o desenvolvidos em cap´ıtulos futuros. Trata-se quase de um guia de consulta onde sa˜o apresentadas, junto com exemplos simples, va´rias noc¸o˜es e definic¸o˜es ba´sicas que utilizaremos. O estudante deve retornar a este cap´ıtulo sempre que necessa´rio. 1.1 Conjuntos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es Partiremos do pressuposto de serem familiares as noc¸o˜es ba´sicas envolvendo conjuntos, como a noc¸a˜o de conjunto vazio ∅, a noc¸a˜o de pertineˆncia x ∈ C, de unia˜o de dois conjuntos A ∪ B e de intersec¸a˜o de dois conjuntos A ∩ B. Para A, B ⊂ X denotamos por A \B a chamada diferenc¸a entre os conjuntos A e B, a saber A \B := { x ∈ X tal que x ∈ A mas x 6∈ B } . (1.1) Por vezes usa-se a notac¸a˜o A−B para A \B. Para A ⊂ X denota-se por Ac o chamado complemento de A em relac¸a˜o a X: Ac := X \A. Note-se que ao usar-se o s´ımbolo Ac deve estar subentendido qual o conjunto X ao qual o complemento se refere. E´ fa´cil ver que se A, B ⊂ X enta˜o A \ B = Bc ∩ A. Vale tambe´m (Ac)c = A e A ∩ B = A \Bc = B \ Ac para todos A, B ⊂ X. Dizemos que um conjunto B ⊂ A e´ um subconjunto pro´prio de A se A \ B 6= ∅, ou seja, se todo elemento de B for elemento de A mas houver elementos em A que na˜o pertencem a B. Se A e B sa˜o conjuntos e A ∩ B = ∅ enta˜o A ∪B e´ dita ser uma unia˜o disjunta de A e B. Se X e´ um conjunto denota-se por P(X) a colec¸a˜o de todos os subconjuntos de X. P(X) e´ por vezes chamado de conjunto das partes de X. Por convenc¸a˜o adota-se sempre que ∅ ∈ P(X). Assim, dizer que A ⊂ X equivale a dizer A ∈ P(X). Por A△B denota-se a chamada diferenc¸a sime´trica entre A e B: A△B := (A ∪B) \ (A ∩B) . (1.2) E. 1.1 Exerc´ıcio. Mostre que A△B = B△A e que (A△B)△C = A△(B△C). 6 • Pares ordenados Um conceito ba´sico importante em Matema´tica e´ o de par ordenado. O conceito de par ordenado (a, b) formado por dois elementosgene´ricos a, b ∈ X e´ intuitivo. Pela intuic¸a˜o, entende-se como par ordenado uma lista de dois elementos sendo que um deles assume a posic¸a˜o de “primeiro” elemento da lista (no caso, a) e o outro a de “segundo” (no caso, b). Formalmente define-se (a, b) como sendo o conjunto {a, {b}}. Esta definic¸a˜o formal corresponde a` intuic¸a˜o pois, no conjunto C = {a, {b}}, ha´ JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 24/1461 uma distinc¸a˜o entre o papel de a e de b, dado que a e´ um elemento do conjunto C, enquanto que b e´ um elemento de um subconjunto de C, a saber do conjunto C \ {a}. Apesar de existir a definic¸a˜o formal acima, recomenda-se ao estudante fiar-se inicialmente na intuic¸a˜o por tra´s do conceito. Dados dois conjuntos A e B definimos por A × B o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) sendo a ∈ A e b ∈ B. O conjunto A × B e´ chamado de produto Cartesiano1 de A e B. Note que, em geral, A× B 6= B ×A (por queˆ?). Mais adiante apresentaremos generalizac¸o˜es das noc¸o˜es de acima. 1.1.1 Relac¸o˜es e Func¸o˜es • Relac¸o˜es Sejam A e B conjuntos e seja o produto Cartesiano A × B. Um subconjunto de A× B e´ dito ser uma relac¸a˜o bina´ria, ou simplesmente relac¸a˜o entre A e B. Exemplo. Seja A o conjunto de homens vivos e B o conjunto de mulheres vivas e seja R ⊂ A× B o conjunto R := {(a, b), a e´ irma˜o de b}. R representa uma relac¸a˜o (de irmandade) entre homens e mulheres. Outros exemplos vira˜o abaixo. Dada uma relac¸a˜o G ⊂ A×B entre conjuntos A e B ha´ duas noc¸o˜es importantes associadas: a de domı´nio da relac¸a˜o e a de imagem da relac¸a˜o. Define-se por domı´nio de G o conjunto Dom(G) := { a ∈ A tal que (a, b) ∈ G para algum b ∈ B } . (1.3) Define-se por imagem de G o conjunto Im(G) := { b ∈ B tal que (a, b) ∈ G para algum a ∈ A } . (1.4) Note-se que Dom(G) ⊂ A e que Im(G) ⊂ B. • Func¸o˜es Este e´ talvez o mais importante exemplo de relac¸a˜o. Sejam A e B conjuntos e F uma relac¸a˜o entre A e B. Enta˜o, a relac¸a˜o F e´ dita ser uma func¸a˜o de A em B se Dom(F ) = A e se (a, b) ∈ F e (a, b′) ∈ F so´ for poss´ıvel caso b = b′. Em outras palavras, a cada elemento a de A a func¸a˜o associa um e apenas um elemento b de B que faz o papel de segundo elemento do par ordenado (a, b). Este segundo elemento associado pela func¸a˜o F ao elemento a, e´ mais conveniente denota´-lo por F (a). Assim, uma func¸a˜o e´ o conjunto de pares {(a, F (a)) ∈ A×B, a ∈ A}. Frequ¨entemente denotamos uma func¸a˜o F de A em B por F : A→ B. • Aplicac¸o˜es, mapeamentos, mapas, funcionais, operadores, operac¸o˜es, produtos etc. 1Assim chamado em honra a Rene´ Descartes (1596-1650). O adjetivo Cartesiano provem da latinizac¸a˜o de seu nome como Cartesius. JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 25/1461 Muito frequ¨entemente usam-se as palavras aplicac¸a˜o, mapeamento, mapa, funcional, operador, operac¸a˜o, produto, transformac¸a˜o, forma, e talvez ainda outras, para designar certos tipos de func¸o˜es entre conjuntos. Essa abundaˆncia de palavras causa frequ¨entemente confusa˜o e mesmo perplexidade em estudantes rece´m-iniciados mas, em esseˆncia, todos esses objetos sa˜o func¸o˜es, no sentido abstrato que definimos acima. O que difere seu uso e´ por vezes a tradic¸a˜o de certas a´reas e os tipos de conjuntos que as func¸o˜es teˆm como domı´nio e imagem. A palavra “func¸a˜o”, propriamente, e´ mais frequ¨entemente empregada quando se trata de func¸o˜es nume´ricas, por exemplo de R em R ou de C em C. A palavra “funcional”2 e´ frequ¨entemente empregada quando se trata de func¸o˜es que levam vetores ou func¸o˜es nume´ricas em nu´meros. Um exemplo de funcional e´ a func¸a˜o que leva func¸o˜es reais cont´ınuas f nas suas integrais no intervalo [0, 1]: f 7→ ∫ 1 0 f(x)dx. A palavra “operador” tipicamente designa func¸o˜es lineares entre espac¸os vetoriais (como, por exemplo, as matrizes, que sa˜o func¸o˜es lineares entre espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita). “Produtos” ou “operac¸o˜es” frequ¨entemente designam func¸o˜es de C × C em C, para um conjunto C na˜o-vazio qualquer, ou seja, func¸o˜es de duas varia´veis em um conjunto C, assumindo valores no pro´prio conjunto C. A palavra “forma” por vezes designa certas func¸o˜es bi-lineares de V ×V em R ou C, sendo V um espac¸o vetorial. As palavras “aplicac¸a˜o”, “mapa” e “mapeamento” sa˜o frequ¨entemente empregadas para designar func¸o˜es em a´reas como Topologia, Geometria Diferencial ou Sistemas Dinaˆmicos. Certas palavras sa˜o empregadas para designar certas func¸o˜es com propriedades especiais. Um “homeomorfismo”, por exemplo, e´ uma func¸a˜o bijetora entre dois espac¸os topolo´gicos que seja cont´ınua e cuja inversa seja tambe´m cont´ınua. Um “difeomorfismo” e´ um homeomorfismo entre duas variedades diferencia´veis que seja infinitamente diferencia´vel. Ha´ ainda va´rios outros “morfismos”, como discutido na Sec¸a˜o 1.2.7, a` pa´gina 71. Em verdade, e´ conveniente dispormos por vezes de uma certa variedade de palavras diferentes simplesmente para evitarmos o emprego mono´tono e descolorido da palavra “func¸a˜o”. Com um pouco de ironia, lembremos por fim a definic¸a˜o circular de Edward Teller: “An intelectual is someone who thinks the same things and uses the same words as other intelectuals”. • Imagens e pre´-imagens de func¸o˜es Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Se A ⊂ X, definimos f(A) := { y ∈ Y | y = f(x) para algum x ∈ A } . Se B ⊂ Y , definimos f−1(B) := { x ∈ X| f(x) ∈ B } . f(A) e´ dita ser a imagem de A por f e f−1(B) e´ dita ser a pre´-imagem de B por f . O uso do s´ımbolo f−1 para designar pre´-imagem f−1(B) de um conjunto B e´ uma escolha infeliz (mas universalmente aceita), pois pode causar confusa˜o com a noc¸a˜o de func¸a˜o inversa de f , que pode na˜o estar definida. O estudante deve estar atento. • Func¸o˜es sobrejetoras, injetoras e bijetoras 2A palavra “funcional” foi empregada pela primeira vez na Matema´tica por Jacques Salomon Hadamard (1865-1963). JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 26/1461 Uma func¸a˜o F : A → B e´ dita ser sobrejetora se Im(F ) = B. Uma func¸a˜o F : A → B e´ dita ser injetora ou injetiva se a cada b ∈ Im(F ) existir um e somente um elemento a ∈ Dom(F ) tal que (a, b) ∈ F . Uma func¸a˜o que for sobrejetora e injetora e´ dita ser bijetora. Seja uma func¸a˜o bijetora F ⊂ A× B. Enta˜o, a relac¸a˜o F−1 ⊂ B × A dada por F−1 = { (b, a) tal que (a, b) ∈ F } e´, em verdade, uma func¸a˜o denominada func¸a˜o inversa de F . E´ claro que (F−1)−1 = F . • Famı´lias de conjuntos Seja X um conjunto na˜o-vazio. Uma colec¸a˜o F na˜o-vazia de sub-conjuntos de X e´ por vezes dita ser uma famı´lia de conjuntos. Se F for uma famı´lia de conjuntos e existirem um conjunto na˜o-vazio I e uma func¸a˜o bijetora f : I → F, enta˜o dizemos que a famı´lia F e´ indexada por I e os elementos de I sa˜o denominados ı´ndices. Se λ e´ um ı´ndice, designaremos sua imagem pela func¸a˜o f simplesmente por Aλ ∈ F. Uma indexac¸a˜o de uma colec¸a˜o F na˜o-vazia de sub-conjuntos de X sempre existe: podemos tomar I = F e f a func¸a˜o identidade. • Operac¸o˜es ba´sicas com famı´lias de conjuntos Sejam X e I conjuntos arbitra´rios na˜o-vazios e seja associado a cada α ∈ I um sub-conjunto Aα de X. O conjunto I sera´ frequ¨entemente denominado conjunto ou famı´lia de ı´ndices. Vamos introduzir alguma notac¸a˜o a ser usada em todas estas Notas. Definimos⋃ α∈I Aα := { x ∈ X tal que x ∈ Aα para algum α ∈ I } (1.5) e ⋂ α∈I Aα := { x ∈ X tal que x ∈ Aα para todo α ∈ I } . (1.6) As definic¸o˜es acima implicam as importantes propriedades descritas na proposic¸a˜o que segue, cuja demonstrac¸a˜o deixamos como exerc´ıcio. Proposic¸a˜o 1.1 Sejam B ⊂ X, X na˜o-vazio, e {Aα ⊂ X, α ∈ I} uma colec¸a˜o arbitra´riade subcon- juntos de X. Enta˜o valem as seguintes relac¸o˜es: B \ (⋃ α∈I Aα ) = ⋂ α∈I (B \Aα) , B \ (⋂ α∈I Aα ) = ⋃ α∈I (B \ Aα) , (1.7) (⋂ α∈I Aα ) \B = ⋂ α∈I (Aα \B) , (⋃ α∈I Aα ) \B = ⋃ α∈I (Aα \B) , (1.8) B ∪ (⋂ α∈I Aα ) = ⋂ α∈I (B ∪Aα) , B ∩ (⋃ α∈I Aα ) = ⋃ α∈I (B ∩Aα) , (1.9) JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 27/1461 B ∪ (⋃ α∈I Aα ) = ⋃ α∈I (B ∪Aα) , B ∩ (⋂ α∈I Aα ) = ⋂ α∈I (B ∩Aα) . (1.10) As relac¸o˜es, (1.7) implicam(⋃ α∈I Aα )c = ⋂ α∈I (Aα) c , (⋂ α∈I Aα )c = ⋃ α∈I (Aα) c . (1.11) 2 • Propriedades elementares de func¸o˜es As seguintes proposic¸o˜es sa˜o importantes e frequ¨entemente usadas: Proposic¸a˜o 1.2 Seja f : X → Y uma func¸a˜o e seja Λ um conjunto de ı´ndices. Se Aλ ⊂ X para todo λ ∈ Λ, enta˜o f (⋃ λ∈Λ Aλ ) = ⋃ λ∈Λ f(Aλ) , (1.12) mas f (⋂ λ∈Λ Aλ ) ⊂ ⋂ λ∈Λ f(Aλ) . (1.13) Se Bλ ⊂ Y para todo λ ∈ Λ, enta˜o f−1 (⋃ λ∈Λ Bλ ) = ⋃ λ∈Λ f−1(Bλ) , (1.14) e f−1 (⋂ λ∈Λ Bλ ) = ⋂ λ∈Λ f−1(Bλ) . (1.15) 2 A demonstrac¸a˜o e´ elementar e e´ deixada como exerc´ıcio. Em (1.13) na˜o se pode provar a igualdade entre f (⋂ λ∈ΛAλ ) e ⋂ λ∈Λ f(Aλ) e a raza˜o e´ a seguinte: se y ∈ ⋂λ∈Λ f(Aλ) enta˜o y ∈ f(Aλ) para todo λ ∈ Λ. Assim, em cada Aλ existe um xλ com y = f(xλ). Mas pode ocorrer que em ⋂ λ∈ΛAλ na˜o exista nenhum elemento x com y = f(x). O seguinte exemplo ilustra isso. Seja f(x) = x2 definida em [−1, 1]. Tomemos A1 = [−1, 0], A2 = [0, 1]. Enta˜o, f(A1) = [0, 1] e f(A2) = [0, 1]. Portanto, f(A1)∩ f(A2) = [0, 1]. Pore´m, f(A1 ∩A2) = f({0}) = {0}. apesar disso, vale o seguinte: Proposic¸a˜o 1.3 Se f : X → Y e´ injetora enta˜o, se Aλ ⊂ X para todo λ ∈ Λ, vale f (⋂ λ∈Λ Aλ ) = ⋂ λ∈Λ f(Aλ) . (1.16) JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 28/1461 2 A demonstrac¸a˜o e´ elementar e e´ deixada como exerc´ıcio. Em relac¸a˜o a`s operac¸o˜es de complemento e diferenc¸a de conjuntos temos o seguinte: Proposic¸a˜o 1.4 Se f : X → Y e´ uma func¸a˜o e B, C ⊂ Y , enta˜o f−1(Bc) = ( f−1(B) )c , f−1(B \ C) = f−1(B) \ f−1(C) . Aqui, Bc = Y \B. Fora isso, se f : X → Y e´ uma func¸a˜o injetora e sobrejetora e A, B ⊂ X, enta˜o f(Ac) = (f(A))c , f(A \B) = f(A) \ f(B) . Aqui, Ac = X \ A. 2 A demonstrac¸a˜o e´ elementar e e´ deixada como exerc´ıcio. • A unia˜o disjunta de uma famı´lia arbitra´ria de conjuntos Sejam, como acima, um conjunto I (na˜o necessariamente finito ou conta´vel) e Ai, i ∈ I, conjuntos indexados por elementos de I. Os conjuntos Ai podem eventualmente possuir elementos comuns, ou seja, pode haver elementos x que comparecem em va´rios conjuntos Ai. Pore´m, quando formamos a unia˜o usual dos conjuntos Ai, ou seja, ⋃ i∈I Ai, cada elemento x comparece apenas uma vez, mesmo que pertenc¸a a va´rios Ai’s. Por vezes estamos interessados em formar um outro tipo de unia˜o de conjuntos onde essa poss´ıvel multiplicidade de cada elemento x possa ser levada em conta. A definic¸a˜o abaixo e´, para tal, das mais adequadas. Definimos a unia˜o disjunta da famı´lia de conjuntos Ai como sendo o conjunto, denotado por ⊔ i∈I Ai, dado pela unia˜o de todos os pares ordenados (a, i) com i ∈ I, a ∈ Ai, ou seja,⊔ i∈I Ai := ⋃ i∈I ⋃ a∈Ai (a, i) . Unio˜es disjuntas desempenham um papel em va´rias a´reas da Matema´tica. Na Geometria Diferencial, por exemplo, o chamado fibrado tangente de uma variedade diferencia´vel e´ definido como a unia˜o disjunta dos espac¸os tangentes a` variedade. • Extenso˜es de func¸o˜es Seja F : A → B uma func¸a˜o e suponha que A seja subconjunto de um outro conjunto A′. Uma func¸a˜o G : A′ → B e´ dita ser uma extensa˜o de F se F e G coincidirem na parte comum de seus domı´nios, que vem a ser o conjunto A, ou seja, se G(a) = F (a) para todo a ∈ A. JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 29/1461 Se lembrarmos que uma func¸a˜o F : A→ B e´ um subconjunto de A×B e que uma func¸a˜o G : A′ → B e´ um subconjunto de A′ × B e se notarmos que A × B ⊂ A′ × B caso A ⊂ A′, enta˜o uma definic¸a˜o alternativa de extensa˜o seria seguinte: uma func¸a˜o G e´ uma extensa˜o de uma func¸a˜o F se F ⊂ G, ambas entendidas como subconjuntos de A′ ×B. E. 1.2 Exerc´ıcio. Verifique a equivaleˆncia dessas duas definic¸o˜es do conceito de extensa˜o de func¸o˜es. 6 Como veremos, o conceito de extensa˜o de func¸o˜es e´ frequ¨entemente empregado na teoria dos ope- radores lineares em espac¸os de Hilbert. • O Produto Cartesiano de uma famı´lia arbitra´ria de conjuntos Ja´ discutimos o conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos A e B: A×B e com ele introdu- zimos a noc¸a˜o de func¸a˜o. De posse dessa noc¸a˜o podemos, com vistas a uma generalizac¸a˜o, apresentar uma outra visa˜o do conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos, a saber, podemos dizer que A×B e´ o conjunto de todas as func¸o˜es f : {1, 2} → A∪B tais que f(1) ∈ A e f(2) ∈ B. A ide´ia e´ dizer que cada par ordenado (a, b) com a ∈ A e b ∈ B e´ uma func¸a˜o onde o primeiro membro do par e´ a imagem de 1 (por ser o primeiro) e o segundo a imagem de 2 (por ser o segundo). Essa ide´ia permite definir pro- dutos Cartesianos de um nu´mero finito n de conjuntos A1, A2, . . . , An denotado por A1×A2× . . .×An como sendo o conjunto de todas as func¸o˜es f : {1, 2, . . . , n} → n⋃ j=1 Aj satisfazendo f(j) ∈ Aj para todo j ∈ {1, . . . , n}. A func¸a˜o f tem, por assim dizer, o papel de ordenar os elementos de n⋃ j=1 Aj tomando-se sucessivamente um elemento de cada Ai por vez. O produto Cartesiano A1 × A2 × . . . × An e´ assim entendido como o conjunto formado por todas as eˆnuplas ordenadas (a1, . . . , an) com ai ∈ Ai. Essa ide´ia pode ser generalizada ainda mais. Sejam I um conjunto na˜o-vazio (na˜o necessariamente finito ou conta´vel) e Ai, i ∈ I, conjuntos na˜o-vazios indexados por elementos de I. Definimos enta˜o o produto Cartesiano da famı´lia de conjuntos {Ai, i ∈ I}, denotado por∏ i∈I Ai como sendo o conjunto de todas as func¸o˜es f : I → ⋃ j∈I Aj tais que f(x) ∈ Ax para todo x ∈ I. O Axioma da Escolha (pa´gina 29) consiste na afirmac¸a˜o (ou melhor dizendo, na suposic¸a˜o, ja´ que se trata de um axioma) que ∏ i∈I Ai e´ na˜o-vazio. Se por ventura todos os conjuntos Ai forem ideˆnticos enta˜o denota-se o produto Cartesiano acima por AI . Assim, AI denota o conjunto de todas as func¸o˜es de I em A. Desta forma N × N e N{1, 2} sa˜o duas notac¸o˜es distintas para o mesmo objeto, que tambe´m e´ denotado simplesmente por N2, como se sabe. Genericamente Nd designa N{1,...,d} para d ∈ N, d > 0. • O Axioma da escolha O Axioma da Escolha consiste na seguinte afirmativa: JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 30/1461 Seja As, s ∈ I, uma famı´lia de conjuntos na˜o-vazios, onde I e´ um conjunto arbitra´rio (na˜o-vazio) de ı´ndices. Enta˜o, podemos construir um conjunto A tomando (“escolhendo”) um elemento as de cada conjunto As. Em termos mais te´cnicos, o axioma diz que ha´ func¸o˜es F : I → ⋃ s∈I As tais que F (s) ∈ As para todo s ∈ I, ou seja, o produto Cartesiano ∏s∈I As e´ na˜o vazio3. A primeira vista esse axioma parece constituir-se de uma obviedade. Sucede, pore´m, que, sobretudo pelo fato de o conjunto I de ı´ndices ser arbitra´rio (podendo ser ate´ um conjunto infinito e na˜o-conta´vel), a afirmativa que o mesmo conte´m na˜o pode ser derivada de princ´ıpios mais ba´sicos. O axioma faz uma afirmac¸a˜o de existeˆncia (de uma func¸a˜o como a F , ou de um conjunto como A formado por elementos escolhidos de cada As) que, geralmente, na˜o pode ser demonstrada construtivamente, ou seja,por exibic¸a˜o expl´ıcita de uma tal func¸a˜o F ou de um conjunto A. Faremos uso expl´ıcito do Axioma da Escolha adiante quando exibirmos exemplos de conjuntos na˜o- mensura´veis. O Axioma da Escolha foi originalmente formulado por Zermelo4 em 1904 como parte da sua demonstrac¸a˜o do chamado Princ´ıpo do Bom-Ordenamento, Teorema 1.1, pa´gina 36. Vide [55]. Uma t´ıpica situac¸a˜o na qual se faz uso do Axioma da Escolha ocorre quando sa˜o dados um conjunto X e uma uma relac¸a˜o de equivaleˆncia E em X e constro´i-se um conjunto A ⊂ X tomando-se um representante de cada classe de equivaleˆncia de X por E. Nem sempre e´ poss´ıvel exibir explicitamente os elementos de A, mas assumimos (via Axioma da Escolha) que um tal conjunto existe. Para ter-se em mente um caso onde uma tal situac¸a˜o ocorre, tome-se o exemplo dado em (1.18), pa´gina 31 e construa-se um conjunto tomando um elemento de cada classe de equivaleˆncia la´ descrita. Tal conjunto desempenha um papel na teoria da medida. Vide Cap´ıtulo 20, pa´gina 1058, em particular a Sec¸a˜o 20.1. • Relac¸o˜es de equivaleˆncia Outro tipo importante de relac¸a˜o e´ formado pelas chamadas relac¸o˜es de equivaleˆncia. Uma relac¸a˜o E ⊂ A×A e´ dita ser uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em um conjunto na˜o-vazio A se os seguintes quesitos forem satisfeitos: 1. (a, a) ∈ E para todo a ∈ A. 2. (a, b) ∈ E implica que (b, a) ∈ E. 3. (a, b) ∈ E e (b, c) ∈ E implicam que (a, c) ∈ E. Se o par (a, b) pertence a uma relac¸a˜o de equivaleˆncia E enta˜o a e b sa˜o ditos serem equivalentes segundo E. Quase sempre usa-se a notac¸a˜o a E∼ b, ou simplesmente a ∼ b, para indicar que dois elementos sa˜o equivalentes segundo uma relac¸a˜o de equivaleˆncia dada. Seja A um conjunto e E ⊂ A × A uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A. Para cada a ∈ A podemos definir o conjunto E(a) := {a′ ∈ A tal que (a, a′) ∈ E} . (1.17) 3Para a definic¸a˜o do produto Cartesiano ∏ s∈I As, vide pa´gina 29. 4Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953). JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 31/1461 Esse conjunto e´ chamado de classe de equivaleˆncia de a (pela relac¸a˜o de equivaleˆncia E). E. 1.3 Exerc´ıcio. Seja A um conjunto e E ⊂ A×A e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A. Suponha que a, b ∈ A e que a ∼ b segundo E. Prove que E(a) = E(b). 6 E. 1.4 Exerc´ıcio importante. Prove que se A e´ um conjunto e E ⊂ A×A e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A enta˜o A e´ a unia˜o disjunta de classes de equivaleˆncia de seus elementos. 6 E. 1.5 Exerc´ıcio. Seja o conjunto dos nu´meros reais R e seja a relac¸a˜o W ⊂ R×R definida por W := { (x, y) ∈ R×R tal que x− y ∈ Q } , (1.18) onde Q e´ o conjunto dos nu´meros racionais. Prove que W e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. 6 • Relac¸o˜es de compatibilidade Seja P um conjunto. Uma relac¸a˜o de compatibilidade em P e´ um conjunto C ⊂ P × P com as seguintes propriedades: 1. Se γ e γ′ sa˜o tais que (γ, γ′) ∈ C, enta˜o (γ′, γ) ∈ C. 2. Para todo γ ∈ P vale (γ, γ) 6∈ C. Para uma dada relac¸a˜o de compatibilidade C denotamos γ∼C γ′ caso (γ, γ′) ∈ C e dizemos que γ e γ′ sa˜o C-compat´ıveis. Caso contra´rio, denotamos γ 6∼C γ′ se (γ, γ′) 6∈ C e dizemos que γ e γ′ sa˜o C-incompat´ıveis. Se uma dada relac¸a˜o C e´ subentendida, denotamos simplesmente γ ∼ γ′ caso (γ, γ′) ∈ C e dizemos simplesmente que γ e γ′ sa˜o compat´ıveis. Relac¸o˜es de compatibilidade sa˜o importantes na Mecaˆnica Estat´ıstica, especialmente nas chamadas expanso˜es de pol´ımeros e de “clusters”. Exemplo. Seja X um conjunto na˜o-vazio e P = P(X) \ {∅}, a colec¸a˜o de todos os subconjuntos na˜o-vazios de X. Uma relac¸a˜o de compatibilidade em P e´ a seguinte: A ∼ B ⇐⇒ A ∩ B = ∅. Verifique. 1.1.2 Relac¸o˜es de Ordem Seja X um conjunto na˜o-vazio. Uma relac¸a˜o R ⊂ X ×X e´ dita ser uma relac¸a˜o de ordem parcial em X, ou simplesmente uma relac¸a˜o de ordem em X, se as seguintes condic¸o˜es forem satisfeitas: 1. Para todo a ∈ X tem-se que (a, a) ∈ R. 2. Se (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R enta˜o forc¸osamente a = b. 3. Se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R enta˜o (a, c) ∈ R. JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 32/1461 Se X possui uma ordem parcial R, X e´ chamado de conjunto parcialmente ordenado por R. Em textos matema´ticos em l´ıngua inglesa, conjuntos parcialmente ordenados sa˜o frequ¨eˆntemente denomi- nados posets (de “partially ordered sets”). A noc¸a˜o de conjunto parcialmente ordenado foi introduzida por Hausdorff5 Exemplo. Seja X um conjunto e P(X) a colec¸a˜o de todos os sub-conjuntos de X. Podemos estabe- lecer em P(X) uma relac¸a˜o R do seguinte tipo: para A, B ⊂ X tem-se (A, B) ∈ R se A ⊂ B. Como exerc´ıcio deixamos ao estudante mostrar que esta e´ uma relac¸a˜o de ordem parcial de acordo com a definic¸a˜o acima. Este exemplo ilustra tambe´m por que chamar tal relac¸a˜o de ordem de “parcial”. A raza˜o e´ que nem todo par (A, B) e´ elemento de R pois, para dois conjuntos A e B arbitra´rios, nem sempre vale que A ⊂ B ou que B ⊂ A (por exemplo se A ∩ B = ∅). Em func¸a˜o da analogia com essa relac¸a˜o de ordem usual dos nu´meros reais e´ costume, dada uma relac¸a˜o de ordem R qualquer, indicar que (a, b) ∈ R atrave´s da notac¸a˜o a � b. Por vezes, o s´ımbolo ≤ e´ tambe´m usado, mas tentaremos emprega´-lo apenas para denotar a relac¸a˜o de ordem usual entre nu´meros reais. Usando o s´ımbolo � as condic¸o˜es definidoras de uma relac¸a˜o de ordem se escrevem como 1. Para todo a ∈ X tem-se que a � a. 2. Se a � b e b � a enta˜o forc¸osamente a = b. 3. Se a � b e b � c enta˜o a � c. Tambe´m denota-se a relac¸a˜o a � b por b � a. • Relac¸o˜es de ordem total Outro conceito importante e´ o de relac¸a˜o de ordem total. Uma ordem parcial R em um conjunto X e´ dita ser uma relac¸a˜o de ordem total se para todo a, b ∈ X tem-se que (a, b) ∈ R ou que (b, a) ∈ R. Se X possui uma relac¸a˜o de ordem total R enta˜o X e´ dito ser totalmente ordenado ou linearmente ordenado. Assim, se X e´ um conjunto dotado de uma relac¸a˜o de ordem parcial, dizemos que um sub-conjunto A ⊂ X e´ linearmente ordenado se a � b ou b � a para todo a, b ∈ A. • Exemplos Exemplo. Seja R o conjunto de nu´meros reais e a relac¸a˜o de ordem (x, y) ∈ R se x − y for um nu´mero negativo ou nulo (ou seja, se x ≤ y). Mostre que essa e´ uma relac¸a˜o de ordem total em R. Contra-exemplo. Seja C um conjunto na˜o-vazio qualquer. Enta˜o, P(C) e´ ordenado pela inclusa˜o de conjuntos: A � B se e somente se A ⊂ B. Pore´m P(C) na˜o e´ linearmente ordenado pois se A ∩B = ∅ na˜o podemos dizer que A � B nem que B � A. E. 1.6 Exerc´ıcio. Voceˆ consegue construir uma relac¸a˜o de ordem em R2 ou em R3? E uma relac¸a˜o de ordem total? 6 5Felix Hausdorff (1868-1942). Hausdorff foi um dos criadores da Topologia e da moderna Teoria dos Conjuntos. Perseguido pelo nacional-socialismo, suicidou-se em 1942 para evitar ser enviado a um campo de concentrac¸a˜o. JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 33/1461 • Mais exemplos Seja o conjunto dos nu´meros naturais N. Podemos estabelecer em N a relac¸a˜o de ordem usual onde dizemos que x ≤ y se x − y for um nu´mero negativo ou nulo. Esta relac¸a˜o e´ uma relac¸a˜o de ordem total. O leitor na˜o deve pensar que essa e´ a u´nica relac¸a˜o de ordem total existente em N. Um outro exemplo e´ o seguinte. Vamos estabelecer uma relac¸a˜o de ordem em N que denotaremos pelo s´ımbolo �p−i. Sejam a, b ∈ N. Se a e b forem pares dizemos que a �p−i b se a ≤ b. Se a e b forem ı´mpares dizemos que a �p−i b se a ≤ b. Se a e´ par e b e´ ı´mpar enta˜o dizemos sempre que a �p−i b. E. 1.7 Exerc´ıcio. Mostre que a relac¸a˜o �p−i estabelece uma relac¸a˜o de ordem total em N. 6 Um exemplo ana´logo pode ser constru´ıdo em R. Vamos estabelecer uma relac¸a˜o de ordem em R que denotaremos pelo s´ımbolo �r−i. Sejam x, y ∈ R. Se x e y forem
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