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Física Matemática Curso USP 2006

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Universidade de Sa˜o Paulo
Departamento de F´ısica Matema´tica
2006
Curso de F´ısica-Matema´tica
Joa˜o Carlos Alves Barata
Versa˜o de 23 de maio de 2006
Estas notas ou sua versa˜o mais recente podem ser encontradas no seguinte enderec¸o WWW:
http://denebola.if.usp.br/∼jbarata/Notas de aula
I´ndice
Prefa´cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Notac¸a˜o e Adverteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I Cap´ıtulos Introduto´rios 21
1 Noc¸o˜es Ba´sicas 22
1.1 Conjuntos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.1 Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.2 Relac¸o˜es de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.1.4 I´nfimos e Supremos de Famı´lias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2 Estruturas Alge´bricas Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2.1 Semi-grupos, Mono´ides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.3 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.2.4 Ane´is, A´lgebras e Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.2.5 Mais sobre Ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.2.6 Ac¸o˜es e Representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En-
domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . . . . . . 73
1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . . 77
1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.5.1 Discussa˜o Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relac¸o˜es . . . . . . . . . . 84
1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitra´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.5.6 Mo´dulos e Derivac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2
3/1461
1.6 To´picos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.6.2 Grupo´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.6.3 Quate´rnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2 Espac¸os Vetoriais 100
2.1 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.1.1 Sub-Espac¸os e Espac¸os Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.1.2 Bases Alge´bricas de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.1.3 O Dual Alge´brico de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espac¸os Vetoriais . . . . . . . 114
2.2.1 Formas Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.2.2 Formas Sesquilineares e as Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Minkowski . . . 119
2.2.3 Produtos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.2.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.3 Normas em Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.4 Formas Bilineares e Sesquilineares em Espac¸os de Dimensa˜o Finita . . . . . . . . . . . 135
2.5 Estruturas Complexas sobre Espac¸os Vetoriais Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.A Prova do Teorema de Fre´chet, von Neumann e Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
II To´picos de A´lgebra Linear 153
3 To´picos de A´lgebra Linear. I 154
3.1 Propriedades Ba´sicas de Determinantes e Inversas de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . 155
3.2 Noc¸o˜es Ba´sicas sobre o Espectro de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.2.1 O Trac¸o de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.3 Polinoˆmios de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.3.1 O Teorema de Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.4 Matrizes Diagonaliza´veis e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.4.1 Diagonalizac¸a˜o Simultaˆnea de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.5 Matrizes Auto-adjuntas, Normais e Unita´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.5.1 Matrizes Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.6 Matrizes Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4/1461
3.7 O Teorema de Decomposic¸a˜o de Jordan e a Forma Canoˆnica de Matrizes . . . . . . . . 207
3.7.1 Resultados Preparato´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.7.2 O Teorema da Decomposic¸a˜o de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
3.7.3 Matrizes Nilpotentes e sua Representac¸a˜o Canoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.7.4 A Forma Canoˆnica de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.8 Algumas Representac¸o˜es Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.8.1 A Decomposic¸a˜o Polar de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.8.2 O Teorema da Triangularizac¸a˜o de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
3.8.3 A Decomposic¸a˜o QR e a Decomposic¸a˜o de Iwasawa (“KAN”) . . . . . . . . . . 228
3.9 Propriedades Especiais de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.9.1 Expansa˜o do Polinoˆmio Caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.9.2 A Desigualdade de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3.10 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4 To´picos de A´lgebra Linear. II 238
4.1 Uma Topologia Me´trica em Mat (C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.2 Exponenciais, Logaritmos e Func¸o˜es Anal´ıticas de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.2.1 A Exponenciac¸a˜o de Matrizes e os Grupos GL(C, n) e GL(R, n) . . . . . . . . 252
4.3 A Fo´rmula de Lie-Trotter e a Fo´rmula do Comutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.4 Aplicac¸o˜es Lineares em Mat (C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.5 A Fo´rmula de Baker, Campbell e Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4.6 A Fo´rmula de Duhamel e Algumas desuas Consequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . 270
III Equac¸o˜es Diferenciais 275
5 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias. Uma Introduc¸a˜o 276
5.1 Definic¸a˜o e Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.1.1 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
5.1.2 Equac¸o˜es Ordina´rias de Segunda Ordem. Exemplos de Interesse . . . . . . . . . 283
5.2 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.3 Discussa˜o sobre Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.3.1 Problemas de Valor Inicial. Patologias e Exemplos a se Ter em Mente . . . . . . 293
5.3.2 Teoremas de Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5.3.3 Soluc¸o˜es Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5/1461
5.3.4 Dependeˆncia Cont´ınua de Condic¸o˜es Iniciais e de Paraˆmetros . . . . . . . . . . . 300
6 Alguns Me´todos de Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias 302
6.1 Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Ordina´rias Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.2 As Equac¸o˜es de Bernoulli e de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.3 Integrac¸a˜o de Equac¸o˜es Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.4 O Me´todo de Variac¸a˜o de Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.5 O Me´todo de Substituic¸a˜o de Pru¨fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.6 O Me´todo de Inversa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.7 Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Exatas e o Me´todo dos Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . 312
6.8 Soluc¸o˜es das Equac¸o˜es de D’Alembert-Lagrange e Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias Lineares 322
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
7.2 Unicidade e Existeˆncia de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.2.1 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.2.2 Existeˆncia. A Se´rie de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.2.3 Propriedades de D(s, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.3 Equac¸o˜es com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.3.1 Alguns Exemplos e Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7.4 Teoria de Perturbac¸o˜es de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
7.5 Mais sobre a Se´rie de Dyson. Produtos de Tempo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . 346
7.6 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Lineares no Plano Complexo . . . . . . . . . . . . . 349
7.6.1 O Caso Anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
7.6.2 Resoluc¸a˜o por Se´ries de Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.6.3 Sistemas com Pontos Singulares. Monodromia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
7.6.4 Sistemas com Pontos Singulares Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
7.7 Sistemas Provenientes de EDOs de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
7.7.1 Pontos Singulares Simples em EDO’s de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
7.7.2 Singularidades no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
7.7.3 Alguns Exemplos de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.8 Equac¸o˜es Fuchsianas. S´ımbolos de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.8.1 Equac¸o˜es Fuchsianas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.8.2 Equac¸o˜es Fuchsianas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
6/1461
7.8.3 S´ımbolos de Riemann. Simetrias de Equac¸o˜es Fuchsianas de Segunda Ordem . . 398
7.9 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
8 Soluc¸o˜es de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias Lineares no Plano Complexo 410
8.1 Soluc¸o˜es em Se´ries de Poteˆncias para Equac¸o˜es Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
8.1.1 A Equac¸a˜o do Oscilador Harmoˆnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
8.1.2 A Equac¸a˜o de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
8.1.3 A Equac¸a˜o de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
8.1.4 A Equac¸a˜o de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
8.1.5 A Equac¸a˜o de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
8.1.6 O Caso de Equac¸o˜es Regulares Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
8.2 Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Singulares Regulares. O Me´todo de Frobenius . . . . . . . . . . . 428
8.2.1 Equac¸o˜es Singulares Regulares. O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
8.2.2 A Equac¸a˜o de Euler Revisitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
8.2.3 A Equac¸a˜o de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
8.2.4 Equac¸o˜es Relacionadas a` de Bessel. A Equac¸a˜o de Bessel Esfe´rica . . . . . . . . 456
8.2.5 Equac¸o˜es Relacionadas a` de Bessel. A Equac¸a˜o de Bessel Modificada . . . . . . 459
8.2.6 A Equac¸a˜o de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
8.2.7 A Equac¸a˜o Hipergeome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
8.2.8 A Equac¸a˜o Hipergeome´trica Confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
8.3 Algumas Equac¸o˜es Associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
8.3.1 A Equac¸a˜o de Legendre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
8.3.2 A Equac¸a˜o de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
8.4 A Func¸a˜o Gama. Definic¸a˜o e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
8.5 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
8.A Prova da Proposic¸a˜o 8.1. Justificando os Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . 493
8.B Provando (8.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
8.C Justificando os Polinoˆmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
8.D Provando (8.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
8.E Porque λ deve ser um Inteiro Positivo na Equac¸a˜o de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . 500
9 Propriedades de Algumas Func¸o˜es Especiais 503
9.1 Discussa˜o Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
7/1461
9.1.1 Definic¸o˜es e Considerac¸o˜es Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
9.1.2 Relac¸o˜es de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
9.1.3 Fo´rmulas de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
9.1.4 Func¸o˜es Geratrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
9.2 Propriedades de Algumas Func¸o˜es Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
9.2.1 Propriedades dos Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
9.2.2 Propriedades dos Polinoˆmios de Legendre Associados. Harmoˆnicas Esfe´ricas . . 527
9.2.3 Propriedadesdos Polinoˆmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
9.2.4 Propriedades dos Polinoˆmios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
9.2.5 Propriedades dos Polinoˆmios de Laguerre Associados . . . . . . . . . . . . . . . 544
9.2.6 Propriedades das Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
9.2.7 Propriedades das Func¸o˜es de Bessel Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
9.3 Completeza de Algumas Famı´lias de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
9.3.1 Completeza de Polinoˆmios Ortogonais em Intervalos Compactos . . . . . . . . . 570
9.3.2 Completeza de Polinoˆmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
9.3.3 Completeza dos Polinoˆmios Trigonome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
9.4 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
9.A Provando (9.57) a` Forc¸a Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
10 Alguns Problemas Selecionados de Interesse F´ısico 583
10.1 As Equac¸o˜es de Helmholtz e de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
10.1.1 Problemas em Duas Dimenso˜es em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . 585
10.1.2 Problemas em Treˆs Dimenso˜es em Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . 588
10.2 O Problema da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
10.2.1 Corda Vibrante Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
10.2.2 O Problema da Corda Homogeˆnea Pendurada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
10.2.3 Corda Vibrante Na˜o-Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
10.2.4 O Problema da Membrana Retangular Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . 603
10.3 O Problema da Membrana Circular Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
10.4 O Oscilador Harmoˆnico na Mecaˆnica Quaˆntica e a Equac¸a˜o de Hermite . . . . . . . . . 608
10.5 O A´tomo de Hidrogeˆnio e a Equac¸a˜o de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . . . . . 610
10.6 Propagac¸a˜o de Ondas em Tanques Cil´ındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
10.7 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
8/1461
11 Rudimentos da Teoria das Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 632
11.1 Definic¸o˜es, Notac¸o˜es e Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
11.1.1 Alguma Classificac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
11.2 O Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
11.2.1 O Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis. Caso de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . 642
11.2.2 O Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis. Caso de Equac¸o˜es Na˜o-Lineares . . . . . . 646
11.3 O Me´todo das Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
11.3.1 Exemplos de Aplicac¸a˜o do Me´todo das Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . 654
11.3.2 Caracter´ısticas. Comenta´rios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
11.4 Unicidade de Soluc¸o˜es de Equac¸o˜es Diferenciais Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
11.4.1 Casos Simples. Discussa˜o Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
11.4.2 Unicidade de Soluc¸o˜es. Generalizac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
11.5 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
12 Introduc¸a˜o ao Problema de Sturm-Liouville 688
12.1 Comenta´rios Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
12.2 O Problema de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
12.2.1 Resolvendo o Problema de Sturm. A Func¸a˜o de Green . . . . . . . . . . . . . . 695
12.2.2 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
12.3 O Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
12.4 Propriedades Ba´sicas dos Auto-Valores e Auto-func¸o˜es de Problemas de Sturm-Liouville 702
12.4.1 Realidade dos Auto-Valores. Ortogonalidade de Auto-func¸o˜es . . . . . . . . . . 702
12.4.2 A Simplicidade dos Auto-Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
12.4.3 Condic¸o˜es Suficientes para a Positividade dos Auto-Valores . . . . . . . . . . . . 707
12.5 A Equac¸a˜o Integral de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
12.6 Uma Aplicac¸a˜o do Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
12.7 Comenta´rios Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
12.7.1 O Problema de Sturm-Liouville Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
12.8 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
12.A Prova do Teorema 12.1. Existeˆncia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
12.B Prova da Proposic¸a˜o 12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
12.C Comenta´rio Sobre o Determinante Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730
12.D Auseˆncia de Auto-Valores em um Problema Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731
9/1461
12.E Demonstrac¸a˜o do Teorema 12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
12.F Prova da Desigualdade (12.E.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736
13 Alguns Resultados sobre Equac¸o˜es Integrais 738
13.1 Descric¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739
13.2 O Me´todo dos Determinantes de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
13.2.1 A Equac¸a˜o Integral de Fredholm Linear Na˜o-Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . 741
13.2.2 A Equac¸a˜o Integral de Fredholm Linear Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . 746
13.3 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750
13.A Obtendo os Determinantes de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750
IV Grupos 757
14 Grupos. Alguns Exemplos 758
14.1 O Grupo de Permutac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
14.1.1 Ciclos, Transposic¸o˜es e Transposic¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 760
14.2 Alguns Grupos Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
14.2.1 Os Grupos GL(n) e SL(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
14.2.2 O Grupo de Borel e o Grupo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
14.2.3 Grupos Associados a Formas Bilineares e Sesquilineares . . . . . . . . . . . . . . 777
14.2.4 Os Grupos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779
14.2.5 Os Grupos Unita´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
14.3 Os Grupos SO(2), SO(3), SU(2) e SL(C, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
14.3.1 Os Grupos SO(2), O(2), SO(1, 1) e O(1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
14.3.2 O Grupo SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786
14.3.3 O Grupo SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
14.3.4 A Relac¸a˜o entre SO(3) e SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 798
14.3.5 O Grupo SL(C, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
14.4 Generalidades sobre os grupos SU(n) e SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
14.4.1 Os Grupos SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
14.4.2 O Grupo SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
14.4.3 Os Grupos SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
14.5 O Grupo Afim e o Grupo Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
10/1461
14.6 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819
14.6.1 O Espac¸o-Tempo, a Noc¸a˜o de Intervalo e a Estrutura Causal . . . . . . . . . . . 819
14.6.2 A Invariaˆncia do Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826
14.6.3 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828
14.6.4 Alguns Sub-Grupos do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
14.6.5 A Estrutura do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
14.6.6 Os Geradores do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839
14.7 O Grupo de Poincare´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844
14.8 SL(C, 2) e o Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849
Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858
14.A Prova do Teorema 14.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858
14.B Um Isomorfismo entre SL(C, 2)/{1,−1} e L↑+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871
15 Grupos de Lie e A´lgebras de Lie. Uma Breve Introduc¸a˜o 880
15.1 Variedades e Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
15.2 Breves Considerac¸o˜es sobre Grupos Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
15.3 Grupos de Lie Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886
15.3.1 Uma Topologia Me´trica em GL(C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886
15.3.2 O Grupo de Lie GL(C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887
15.3.3 Sub-Grupos Uniparame´tricos e seus Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
15.3.4 Sub-Grupos Uniparame´tricos e A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
15.3.5 Subgrupos Fechados de GL(C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899
15.4 A Relac¸a˜o entre Grupos de Lie Matriciais e suas A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . 903
15.4.1 A´lgebras de Lie Nilpotentes, Solu´veis, Simples e Semi-Simples . . . . . . . . . . 904
15.4.2 Questo˜es sobre a Exponenciac¸a˜o de A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 907
15.4.3 Alguns Exemplos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
16 Uma Breve Introduc¸a˜o a` Teoria das Representac¸o˜es de Grupos 917
16.1 Representac¸o˜es de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
16.2 Representac¸o˜es Irredut´ıveis de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924
16.3 A Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928
16.4 Representac¸o˜es de Grupos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930
16.5 O Teorema de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
11/1461
V Topologia Geral, Teoria da Medida e Integrac¸a˜o 938
17 Espac¸os Me´tricos 939
17.1 Me´tricas e Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
17.2 Topologia de Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
17.3 Pseudo-Me´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960
17.4 Espac¸os de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962
17.4.1 Espac¸os de Sequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964
Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978
17.A Algumas Desigualdades Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978
17.B Nu´meros reais e p-a´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980
17.C Aproximac¸o˜es para π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987
18 O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Algumas de Suas Consequ¨eˆncias 994
18.1 O Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995
18.1.1 Generalizac¸o˜es do Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 997
18.2 Aplicac¸a˜o a Equac¸o˜es Nume´ricas. O Me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
18.3 Aplicac¸a˜o a`s Equac¸o˜es Integrais de Fredholm e de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . 1005
18.4 Aplicac¸o˜es a` Teoria das Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014
18.4.1 O Teorema de Picard-Lindelo¨f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014
18.4.2 Generalizando o Teorema de Picard-Lindelo¨f. Soluc¸o˜es Globais . . . . . . . . . . 1019
18.4.3 Um Teorema de Comparac¸a˜o de Soluc¸o˜es de EDO’s . . . . . . . . . . . . . . . . 1020
18.5 O Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita e o Teorema da Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . 1024
18.5.1 O Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024
18.5.2 O Teorema da Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029
Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030
18.A O Lema de Gro¨nwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030
19 Espac¸os Topolo´gicos e Espac¸os Mensura´veis. Definic¸o˜es e Propriedades Ba´sicas 1031
19.1 Definic¸o˜es, Propriedades Elementares e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032
19.2 Algumas Construc¸o˜es Especiais e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
19.2.1 Topologias e σ-a´lgebras Geradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
19.2.2 Bases de Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042
19.2.3 Topologias e σ-a´lgebras Induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044
12/1461
19.2.4 Topologias e σ-a´lgebras Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
19.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
19.3.1 Fecho de Conjuntos em Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053
19.4 Espac¸os Topolo´gicos Separa´veis e Segundo-Conta´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054
20 Medidas 1058
20.1 O Problema da Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058
20.2 Medidas de Conjuntos. Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades Ba´sicas . . . . . . . . . . . 1061
20.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Caratheodory . . . . . . . . 1065
21 A Medida de Lebesgue 1074
21.1 A Construc¸a˜o da Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074
21.1.1 A σ-a´lgebra de Borel em R e a Medida de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . 1077
21.1.2 A Medida Produto e a Medida de Lebesgue em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 1080
21.2 Conjuntos de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081
21.3 Bases de Hamel e a Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093
22 Continuidade e Convergeˆncia em Espac¸os Topolo´gicos 109822.1 Primeiras Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098
22.2 Espac¸os Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100
22.3 Reticulados e o Caso de Espac¸os Topolo´gicos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102
22.3.1 Reticulados em Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105
22.4 O Limite do I´nfimo e o Limite do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106
22.5 Continuidade de Func¸o˜es em Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111
22.5.1 Outras Caracterizac¸o˜es do Conceito de Continuidade em Espac¸os Topolo´gicos . 1114
22.5.2 Continuidade e Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116
23 Elementos da Teoria da Integrac¸a˜o 1119
23.1 Comenta´rios Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1120
23.2 A Integrac¸a˜o no Sentido de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122
23.2.1 A Integral de Riemann Impro´pria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131
23.2.2 Diferenciac¸a˜o e Integrac¸a˜o em Espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133
23.3 A Integrac¸a˜o no Sentido de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139
23.3.1 Func¸o˜es Mensura´veis e Func¸o˜es Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139
23.3.2 A Integral de Lebesgue. Integrac¸a˜o em Espac¸os Mensura´veis . . . . . . . . . . . 1145
13/1461
23.3.3 A Integral de Lebesgue e sua Relac¸a˜o com a de Riemann . . . . . . . . . . . . . 1155
23.3.4 Teoremas Ba´sicos sobre Integrac¸a˜o e Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158
23.3.5 Alguns Resultados de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162
23.4 Os Espac¸os Lp e Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164
23.4.1 As Desigualdades de Ho¨lder e de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167
23.4.2 O Teorema de Riesz-Fischer. Completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171
Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172
23.A Demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172
23.B Caracterizac¸o˜es e Propriedades de Func¸o˜es Mensura´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173
23.C Prova do Lema 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179
23.D Demonstrac¸a˜o de (23.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1180
23.E A Equivaleˆncia das Definic¸o˜es (23.23) e (23.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181
23.F Prova do Teorema da Convergeˆncia Mono´tona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183
23.G Prova do Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184
23.H Prova do Teorema da Convergeˆncia Dominada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185
23.I Prova dos Teoremas 23.2 e 23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186
23.J Prova das Desigualdades de Ho¨lder e Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189
23.K Prova do Teorema de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191
24 Alguns To´picos Especiais em Topologia e Ana´lise 1194
24.1 Uma Coletaˆnea de Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194
24.2 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1200
24.2.1 Compacidade. Definic¸o˜es e Propriedades em Espac¸os Topolo´gicos Gerais . . . . 1200
24.2.2 Compacidade em Espac¸os Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205
24.2.3 Compacidade em Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206
24.2.4 Compacidade em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215
24.3 A Noc¸a˜o de Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217
24.4 A Topologia Produto de Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219
24.5 O Teorema da Categoria de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220
VI Ana´lise Funcional 1222
25 Noc¸o˜es Ba´sicas Sobre Espac¸os de Hilbert 1223
25.1 Aspectos Topolo´gicos Ba´sicos de Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224
14/1461
25.2 Aspectos Geome´tricos Ba´sicos de Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225
25.2.1 Bases Ortonormais Completas em Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 1230
25.3 Funcionais Lineares e o Dual Topolo´gico de um Espac¸o de Hilbert . . . . . . . . . . . . 1244
25.3.1 O Teorema da Representac¸a˜o de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245
26 Operadores Lineares Limitados em Espac¸os de Banach e de Hilbert 1248
26.1 Operadores Lineares em Espac¸os Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1250
26.1.1 Espac¸os de Banach de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254
26.1.2 O Dual Topolo´gico de um Espac¸o de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258
26.1.3 O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequ¨eˆncias do Mesmo . . . . . . . . 1263
26.1.4 O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princ´ıpio de Limitac¸a˜o Uniforme . . . . . . 1270
26.1.5 O Teorema da Aplicac¸a˜o Aberta e o Teorema do Gra´fico Fechado . . . . . . . . 1271
26.2 Operadores Limitados em Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279
26.2.1 O Adjunto de um Operador em um Espac¸o de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 1281
26.3 A´lgebras de Banach e A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289
26.3.1 A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289
26.3.2 A Inversa de Operadores Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292
26.3.3 O Espectro de Operadores em A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 1298
26.3.4 O Homomorfismo de Gelfand em A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308
26.3.5 Ra´ızes Quadradas de Operadores em A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . 1310
26.3.6 Elementos Positivos de A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312
26.3.7 O Lema da Raiz Quadrada em espac¸os de Hilbert. A Decomposic¸a˜o Polar . . . 1315
26.4 Um Pouco sobre Estados e Representac¸o˜es de A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 1320
26.5 O Espectro de Operadores em Espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329
26.6 Operadores Compactos em Espac¸os de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 1339
26.6.1 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-adjuntos . . . . . . . . 1352
26.7 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Auto-adjuntos em Espac¸os de Hilbert 1360
26.7.1 O Ca´lculo Funcional Cont´ınuo e o Homomorfismo de Gelfand . . . . . . . . . . 1360
26.7.2 Generalizando o Ca´lculo Funcional Cont´ınuo. As Medidas Espectrais . . . . . . 1362
26.7.3 Medidas com Valores em Projec¸o˜es Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372
26.7.4 Os Projetores Espectrais e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377
26.7.5 A Relevaˆncia do Teorema Espectral para a F´ısica Quaˆntica (um pouco de F´ısica,
finalmente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381
26.A Prova do Teorema 26.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1390
15/1461
27 Alguns Me´todos de Aproximac¸a˜o de Func¸o˜es 1394
27.1 Aproximac¸a˜o de Func¸o˜es Cont´ınuas por Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394
27.2Aproximac¸a˜o por Polinoˆmios Trigonome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1400
27.2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401
27.2.2 Polinoˆmios Trigonome´tricos e Func¸o˜es Cont´ınuas e Perio´dicas . . . . . . . . . . 1407
27.2.3 Convergeˆncia de Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410
27.2.4 Revisitando a Aproximac¸a˜o Uniforme de Func¸o˜es Cont´ınuas por Polinoˆmios Tri-
gonome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416
28 Noc¸o˜es de Estruturas Alge´bricas 1420
28.1 A´lgebras Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421
28.2 Ac¸a˜o de Uma A´lgebra Universal sobre uma Outra A´lgebra Universal (*) . . . . . . . . 1428
29 O Limite Indutivo de A´lgebras 1433
Bibliografia 1442
I´ndice Remissivo 1451
16/1461
Prefa´cio
A
intenc¸a˜o ba´sica destas Notas e´ fornecer a estudantes de F´ısica noc¸o˜es matema´ticas impor-
tantes para uma melhor compreensa˜o de desenvolvimentos modernos da F´ısica Teo´rica e da
Matema´tica.
De modo geral o texto e´ de leitura auto-suficiente, mas vez por outra algum estudo complementar
e´ sugerido. Estas Notas, pore´m, na˜o sa˜o substituto a` leitura dos bons livros sobre os assuntos aqui
tratados. Entretanto, procuramos apresentar (muitas vezes em exerc´ıcios!) o maior nu´mero poss´ıvel
de exemplos e contra-exemplos para as va´rias situac¸o˜es tratadas de modo a motivar melhor definic¸o˜es
e resultados, o que e´ menos comum em textos com tratamentos mais sistema´ticos. Parte do material
pode ser encontrada em diversas fontes, citadas na bibliografia, mas a apresentac¸a˜o e sua ordem sa˜o
pro´prias. Ha´ tambe´m nestas Notas demonstrac¸o˜es do pro´prio autor de resultados conhecidos que sa˜o,
por alguma raza˜o, dificilmente encontradas na literatura.
Fazemos notar que estas notas esta˜o ainda sendo trabalhadas e alguns cap´ıtulos e sec¸o˜es podem
vir a ser alterados, corrigidos ou acrescidos de material. Ale´m disso, novos cap´ıtulos sera˜o escritos. O
material ja´ presente e´, pore´m, u´til a todos aqueles que queiram iniciar-se nos assuntos aqui expostos.
Verso˜es atualizadas sera˜o colocadas na “rede” (no enderec¸o acima indicado) sempre que poss´ıvel.
O autor agradece a todos os que apresentarem sugesto˜es. Fabulosas somas em dinheiro sa˜o ofere-
cidas a todos aqueles que encontrarem erros no texto. Entre os ja´ aquinhoados encontram-se os Srs.
Matheus Grasselli, Alexandre T. Baraviera, Marcos V. Travaglia, Daniel Augusto Cortez, Djogo F. C.
Patra˜o, Cle´ber de Mico Muramoto, Katiu´scia Nadyne Cassemiro, Urbano Lopes Franc¸a Junior, Gus-
tavo Barbagallo de Oliveira, Priscila Vieira Franco Gondeck, Darielder Jesus Ribeiro, Daniel Augusto
Turolla Vanzella, Leonardo Fernandes Dias da Motta, Krishnamurti Jose´ de Andrade, Pedro Tavares
Paes Lopes, Diego Cortegoso Asseˆncio, Fleury Jose´ de Oliveira Filho, Paulo Henrique Reimberg, Fab´ıola
Diacenco Xavier e Ma´rcio Andre´ Prieto Apar´ıcio Lopez aos quais somos muito gratos por correc¸o˜es e
sugesto˜es.
As Sec¸o˜es 14.B, pa´gina 871, e 18.4.1, pa´gina 1014, foram originalmente escritas por Daniel Augusto
Cortez. A Sec¸a˜o 10.6, pa´gina 613, foi originalmente escrita por Andre´ M. Timpanaro, Fleury J. Oliveira
e Paulo H. Reimberg. A eles dedicamos agradecimentos especiais.
Joa˜o Carlos Alves Barata Sa˜o Paulo, 23 de maio de 2006.
Departamento de F´ısica Matema´tica
17/1461
“O comportamento de um f´ısico em relac¸a˜o a` Matema´tica e´ similar a de um ladra˜o inteligente em
relac¸a˜o ao co´digo penal: ele estuda apenas o suficiente para evitar punic¸o˜es”.
I. M. Gelfand (1913-).
“A mente na˜o e´ um vaso a ser repleto, mas uma tocha a ser acesa”.
Plutarco (46?-120).
“Talvez eu na˜o tenha tido eˆxito em fazer as coisas dif´ıceis tornarem-se fa´ceis, mas pelo menos eu nunca
fiz um assunto fa´cil tornar-se dif´ıcil”.
F. G. Tricomi (1897-1978).
“In science, self-satisfaction is death. Personal self-satisfaction is the death of the scientist. Collective
self-satisfaction is the death of the research. It is restlessness, anxiety, dissatisfaction, agony of mind
that nourish science”.
Jacques Lucien Monod (1910-1976), in New Scientist, 1976.
“Na˜o existe nenhuma categoria da Cieˆncia a` qual se possa dar o nome de Cieˆncia Aplicada. O que
existe sa˜o a Cieˆncia e as aplicac¸o˜es da Cieˆncia, intimamente ligadas, como frutos a` a´rvore que os
gerou”.
Louis Pasteur (1822-1895), in “Pourquoi la France n’a pas trouve´ d’hommes supe´rieurs au moment du
pe´ril”, Revue Scientifique (Paris, 1871).
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Notac¸a˜o e Adverteˆncias
Para facilitar a consulta e a leitura, listamos aqui sem muitos comenta´rios um pouco da notac¸a˜o
que empregaremos nestas Notas.
ˆ Se z e´ um nu´mero complexo denotaremos seu complexo conjugado por z. A notac¸a˜o z∗ (mais
comum em textos de F´ısica) pode ocorrer mais raramente.
ˆ O s´ımbolo A := B ou B =: A denota que A e´ definido pela expressa˜o B. O s´ımbolo A ≡ B indica
que A e B sa˜o duas notac¸o˜es distintas para o mesmo objeto.
ˆ Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa˜o vetores reais com n componentes (ou seja, elementos
de Rn) enta˜o definimos
〈x, y〉R := x1y1 + · · ·+ xnyn .
Trata-se do produto escalar usual em Rn.
ˆ Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa˜o vetores complexos com n componentes (ou seja,
elementos de Cn) enta˜o definimos
〈x, y〉C := x1y1 + · · ·+ xnyn .
Trata-se do produto escalar usual em Cn.
ˆ Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa˜o vetores complexos com n componentes (ou seja,
elementos de Cn) enta˜o definimos
〈x, y〉R := x1y1 + · · ·+ xnyn .
Trata-se de uma forma bilinear em Cn.
ˆ Mat(R, n) ou Mat(n, R) designa o conjunto de todas as matrizes reais n × n. Mat(C, n) ou
Mat(n, C) designa o conjunto de todas as matrizes complexas n× n.
ˆ Se A e´ um elemento de Mat(R, n) ou de Mat(C, n), enta˜o AT designa a matriz transposta de
A, ou seja, a matriz cujos elementos de matriz ij sa˜o
(
AT
)
ij
= Aji.
ˆ Se A e´ um operador linear em um espac¸o vetorial complexo (com um certo produto escalar),
seu adjunto e´ denotado por A∗. Em textos de F´ısica e´ mais comum denota´-lo por A†, mas na˜o
usaremos isso aqui.
Assim, se A ∈ Mat(C, n), enta˜o A∗ sera´ a adjunta de A (em relac¸a˜o ao produto escalar usual,
acima). O elemento de matriz ij de A∗ sera´ (A∗)ij = Aji.
ˆ Denotaremos o operador identidade agindo em um espac¸o vetorial (a matriz identidade, agindo
em um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita) pelo s´ımbolo 1. Esse s´ımbolo tambe´m representara´ a
unidade de uma a´lgebra.
19/1461
ˆ Designaremos um produto escalar entre dois vetores u e v sempre por 〈u, v〉 e nunca por (u, v),
para na˜o causar confusa˜o com a notac¸a˜o para par ordenado. Outra notac¸a˜o poss´ıvel e´ aquela
empregada frequ¨entemente em textos de Mecaˆnica Quaˆntica: 〈u | v〉, mas faremos raramente uso
dessa notac¸a˜o.
ˆ Ainda sobre produtos escalares, seguiremos sempre a convenc¸a˜o dos textos de F´ısica: um produto
escalar em um espac¸o vetorial sobre os complexos e´ linear em relac¸a˜o ao segundo argumento e
antilinear em relac¸a˜o ao primeiro. Assim, se α e β sa˜o nu´meros complexos, teremos 〈αu, βv〉 =
αβ〈u, v〉. Textos de Matema´tica adotam por vezes a convenc¸a˜o oposta (ou mesmo ambas!).
ˆ Sobre o emprego das palavras func¸a˜o, aplicac¸a˜o,mapeamento,mapa, funcional, operador, operac¸a˜o,
produto e forma, que por vezes causam perplexidade em estudantes, remetemos ao comenta´rio a`
pa´gina 25.
ˆ Dado um conjunto X 6= ∅, denota-se por P(X) a colec¸a˜o de todos os sub-conjuntos de X. P(X)
e´ denominado o conjunto das partes de X.
ˆ A topologia usual da reta real R sera´ denotada aqui por τR.
ˆ A σ-a´lgebra de Borel de R sera´ (quase sempre) denotada aqui por M[τR].ˆ A σ-a´lgebra dos sub-conjuntos de R mensura´veis por Lebesgue sera´ (quase sempre) denotada
aqui por MµL.
ˆ Para x ∈ R, o s´ımbolo ⌊x⌋ designa o maior inteiro menor ou igual a x. O s´ımbolo ⌈x⌉ designa o
menor inteiro maior ou igual a x.
ˆ Ha´ ainda nestas Notas um problema na˜o totalmente sanado quanto ao conjunto dos nu´meros
naturais N. Em algumas sec¸o˜es adotou-se 0 ∈ N, ou seja, N = {0, 1, 2, 3, . . .} em outras,
adotou-se 0 6∈ N, ou seja, N = {1, 2, 3, . . .}. Esperamos que isso seja definitivamente corrigido
futuramente. Por ora, pedimos atenc¸a˜o ao leitor.
ˆ O s´ımbolo 2 indica o fim de um enunciado. O s´ımbolo indica o fim de uma demonstrac¸a˜o. O
s´ımbolo 6 indica o fim do enunciado de um exerc´ıcio. O s´ımbolo ◊ indica o fim do enunciado de
um exemplo.
ˆ B(X) designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espac¸o de Banach X. B(H)
designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espac¸o de Hilbert H.
ˆ C(L) designa o conjunto de todas as func¸o˜es cont´ınuas (reais ou complexas, dependendo do caso),
definidas em L (na topologia que se estiver considerando em L).
ˆ B(L) designa a colec¸a˜o de todos os conjuntos Borelianos de L (em relac¸a˜o a` topologia que se
estiver considerando em L). Bl(L) designa a colec¸a˜o de todas as func¸o˜es Borelianas (reais ou
complexas, dependendo do caso), definidas em L.
ˆ O domı´nio de um operador T (agindo em um espac¸o de Banach ou de Hilbert) sera´ denotado
por D(T ) ou por Dom(T ). A imagem (“range”) de T sera´ denotada por R(T ) ou por Ran (T )
ou, mais raramente, por Im (T ), mas essa u´ltima notac¸a˜o pode causar confusa˜o com a da parte
20/1461
imagina´ria de um nu´mero complexo ou mesmo com a da parte imagina´ria de um operador agindo
em um espac¸o de Hilbert: Im (T ) := 1
2i
(T − T ∗).
ˆ As noc¸o˜es de propriedade va´lida quase em toda parte e de propriedade gene´rica sa˜o definidas nas
pa´ginas 1080 e 1196, respectivamente.
• Intervalos
Ainda na˜o introduzimos os nu´meros reais nem a relac¸a˜o de ordem entre eles mas, como essas noc¸o˜es
sa˜o conhecidas, vamos colocar aqui uma palavra sobre a nomenclatura usada para descrever intervalos
da reta real. Para a < b ∈ R o conjunto
(a, b) = {x ∈ R, com a < x < b}
e´ dito ser um intervalo aberto. Para a ≤ b ∈ R o conjunto
[a, b] = {x ∈ R, com a ≤ x ≤ b}
e´ dito ser um intervalo fechado. Para a < b ∈ R os conjuntos
[a, b) = {x ∈ R, com a ≤ x < b}
e
(a, b] = {x ∈ R, com a < x ≤ b}
sa˜o ditos ser intervalos semi-abertos (ou semi-fechados).
E´ importante dizer que a nomenclatura “aberto” ou “fechado” acima e´ usada independentemente
da topologia usada em R (a noc¸a˜o de topologia sera´ introduzida adiante).
Parte I
Cap´ıtulos Introduto´rios
21
Cap´ıtulo 1
Noc¸o˜es Ba´sicas
Conteu´do
1.1 Conjuntos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.1 Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.2 Relac¸o˜es de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.1.4 I´nfimos e Supremos de Famı´lias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2 Estruturas Alge´bricas Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2.1 Semi-grupos, Mono´ides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.3 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.2.4 Ane´is, A´lgebras e Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.2.5 Mais sobre Ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.2.6 Ac¸o˜es e Representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En-
domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um
Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . 77
1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . 78
1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.5.1 Discussa˜o Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relac¸o˜es . . . . . . . . 84
1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitra´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.5.6 Mo´dulos e Derivac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.6 To´picos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.6.2 Grupo´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.6.3 Quate´rnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
22
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 23/1461
E
ste cap´ıtulo introduto´rio pretende (re)apresentar ao leitor uma se´rie de noc¸o˜es matema´ticas
ba´sicas abrangendo rudimentos da teoria (“ingeˆnua”) dos conjuntos e algumas estruturas
alge´bricas. O objetivo na˜o e´ um tratamento extensivo dos diversos assuntos, ja´ que va´rios
deles sera˜o desenvolvidos em cap´ıtulos futuros. Trata-se quase de um guia de consulta onde
sa˜o apresentadas, junto com exemplos simples, va´rias noc¸o˜es e definic¸o˜es ba´sicas que utilizaremos. O
estudante deve retornar a este cap´ıtulo sempre que necessa´rio.
1.1 Conjuntos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Partiremos do pressuposto de serem familiares as noc¸o˜es ba´sicas envolvendo conjuntos, como a noc¸a˜o
de conjunto vazio ∅, a noc¸a˜o de pertineˆncia x ∈ C, de unia˜o de dois conjuntos A ∪ B e de intersec¸a˜o
de dois conjuntos A ∩ B.
Para A, B ⊂ X denotamos por A \B a chamada diferenc¸a entre os conjuntos A e B, a saber
A \B :=
{
x ∈ X tal que x ∈ A mas x 6∈ B
}
. (1.1)
Por vezes usa-se a notac¸a˜o A−B para A \B. Para A ⊂ X denota-se por Ac o chamado complemento
de A em relac¸a˜o a X: Ac := X \A. Note-se que ao usar-se o s´ımbolo Ac deve estar subentendido qual
o conjunto X ao qual o complemento se refere. E´ fa´cil ver que se A, B ⊂ X enta˜o A \ B = Bc ∩ A.
Vale tambe´m (Ac)c = A e A ∩ B = A \Bc = B \ Ac para todos A, B ⊂ X.
Dizemos que um conjunto B ⊂ A e´ um subconjunto pro´prio de A se A \ B 6= ∅, ou seja, se todo
elemento de B for elemento de A mas houver elementos em A que na˜o pertencem a B.
Se A e B sa˜o conjuntos e A ∩ B = ∅ enta˜o A ∪B e´ dita ser uma unia˜o disjunta de A e B.
Se X e´ um conjunto denota-se por P(X) a colec¸a˜o de todos os subconjuntos de X. P(X) e´ por
vezes chamado de conjunto das partes de X. Por convenc¸a˜o adota-se sempre que ∅ ∈ P(X). Assim,
dizer que A ⊂ X equivale a dizer A ∈ P(X).
Por A△B denota-se a chamada diferenc¸a sime´trica entre A e B:
A△B := (A ∪B) \ (A ∩B) . (1.2)
E. 1.1 Exerc´ıcio. Mostre que A△B = B△A e que (A△B)△C = A△(B△C). 6
• Pares ordenados
Um conceito ba´sico importante em Matema´tica e´ o de par ordenado. O conceito de par ordenado
(a, b) formado por dois elementosgene´ricos a, b ∈ X e´ intuitivo. Pela intuic¸a˜o, entende-se como par
ordenado uma lista de dois elementos sendo que um deles assume a posic¸a˜o de “primeiro” elemento
da lista (no caso, a) e o outro a de “segundo” (no caso, b). Formalmente define-se (a, b) como sendo
o conjunto {a, {b}}. Esta definic¸a˜o formal corresponde a` intuic¸a˜o pois, no conjunto C = {a, {b}}, ha´
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 24/1461
uma distinc¸a˜o entre o papel de a e de b, dado que a e´ um elemento do conjunto C, enquanto que b
e´ um elemento de um subconjunto de C, a saber do conjunto C \ {a}. Apesar de existir a definic¸a˜o
formal acima, recomenda-se ao estudante fiar-se inicialmente na intuic¸a˜o por tra´s do conceito.
Dados dois conjuntos A e B definimos por A × B o conjunto de todos os pares ordenados (a, b)
sendo a ∈ A e b ∈ B. O conjunto A × B e´ chamado de produto Cartesiano1 de A e B. Note que, em
geral, A× B 6= B ×A (por queˆ?).
Mais adiante apresentaremos generalizac¸o˜es das noc¸o˜es de acima.
1.1.1 Relac¸o˜es e Func¸o˜es
• Relac¸o˜es
Sejam A e B conjuntos e seja o produto Cartesiano A × B. Um subconjunto de A× B e´ dito ser
uma relac¸a˜o bina´ria, ou simplesmente relac¸a˜o entre A e B.
Exemplo. Seja A o conjunto de homens vivos e B o conjunto de mulheres vivas e seja R ⊂ A× B
o conjunto R := {(a, b), a e´ irma˜o de b}. R representa uma relac¸a˜o (de irmandade) entre homens e
mulheres.
Outros exemplos vira˜o abaixo.
Dada uma relac¸a˜o G ⊂ A×B entre conjuntos A e B ha´ duas noc¸o˜es importantes associadas: a de
domı´nio da relac¸a˜o e a de imagem da relac¸a˜o. Define-se por domı´nio de G o conjunto
Dom(G) :=
{
a ∈ A tal que (a, b) ∈ G para algum b ∈ B
}
. (1.3)
Define-se por imagem de G o conjunto
Im(G) :=
{
b ∈ B tal que (a, b) ∈ G para algum a ∈ A
}
. (1.4)
Note-se que Dom(G) ⊂ A e que Im(G) ⊂ B.
• Func¸o˜es
Este e´ talvez o mais importante exemplo de relac¸a˜o. Sejam A e B conjuntos e F uma relac¸a˜o entre
A e B. Enta˜o, a relac¸a˜o F e´ dita ser uma func¸a˜o de A em B se Dom(F ) = A e se (a, b) ∈ F e
(a, b′) ∈ F so´ for poss´ıvel caso b = b′. Em outras palavras, a cada elemento a de A a func¸a˜o associa um
e apenas um elemento b de B que faz o papel de segundo elemento do par ordenado (a, b). Este segundo
elemento associado pela func¸a˜o F ao elemento a, e´ mais conveniente denota´-lo por F (a). Assim, uma
func¸a˜o e´ o conjunto de pares {(a, F (a)) ∈ A×B, a ∈ A}. Frequ¨entemente denotamos uma func¸a˜o F
de A em B por F : A→ B.
• Aplicac¸o˜es, mapeamentos, mapas, funcionais, operadores, operac¸o˜es, produtos etc.
1Assim chamado em honra a Rene´ Descartes (1596-1650). O adjetivo Cartesiano provem da latinizac¸a˜o de seu nome
como Cartesius.
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 25/1461
Muito frequ¨entemente usam-se as palavras aplicac¸a˜o, mapeamento, mapa, funcional, operador,
operac¸a˜o, produto, transformac¸a˜o, forma, e talvez ainda outras, para designar certos tipos de func¸o˜es
entre conjuntos. Essa abundaˆncia de palavras causa frequ¨entemente confusa˜o e mesmo perplexidade
em estudantes rece´m-iniciados mas, em esseˆncia, todos esses objetos sa˜o func¸o˜es, no sentido abstrato
que definimos acima.
O que difere seu uso e´ por vezes a tradic¸a˜o de certas a´reas e os tipos de conjuntos que as func¸o˜es
teˆm como domı´nio e imagem. A palavra “func¸a˜o”, propriamente, e´ mais frequ¨entemente empregada
quando se trata de func¸o˜es nume´ricas, por exemplo de R em R ou de C em C. A palavra “funcional”2
e´ frequ¨entemente empregada quando se trata de func¸o˜es que levam vetores ou func¸o˜es nume´ricas em
nu´meros. Um exemplo de funcional e´ a func¸a˜o que leva func¸o˜es reais cont´ınuas f nas suas integrais
no intervalo [0, 1]: f 7→ ∫ 1
0
f(x)dx. A palavra “operador” tipicamente designa func¸o˜es lineares entre
espac¸os vetoriais (como, por exemplo, as matrizes, que sa˜o func¸o˜es lineares entre espac¸os vetoriais de
dimensa˜o finita). “Produtos” ou “operac¸o˜es” frequ¨entemente designam func¸o˜es de C × C em C, para
um conjunto C na˜o-vazio qualquer, ou seja, func¸o˜es de duas varia´veis em um conjunto C, assumindo
valores no pro´prio conjunto C. A palavra “forma” por vezes designa certas func¸o˜es bi-lineares de
V ×V em R ou C, sendo V um espac¸o vetorial. As palavras “aplicac¸a˜o”, “mapa” e “mapeamento” sa˜o
frequ¨entemente empregadas para designar func¸o˜es em a´reas como Topologia, Geometria Diferencial ou
Sistemas Dinaˆmicos.
Certas palavras sa˜o empregadas para designar certas func¸o˜es com propriedades especiais. Um
“homeomorfismo”, por exemplo, e´ uma func¸a˜o bijetora entre dois espac¸os topolo´gicos que seja cont´ınua
e cuja inversa seja tambe´m cont´ınua. Um “difeomorfismo” e´ um homeomorfismo entre duas variedades
diferencia´veis que seja infinitamente diferencia´vel. Ha´ ainda va´rios outros “morfismos”, como discutido
na Sec¸a˜o 1.2.7, a` pa´gina 71.
Em verdade, e´ conveniente dispormos por vezes de uma certa variedade de palavras diferentes
simplesmente para evitarmos o emprego mono´tono e descolorido da palavra “func¸a˜o”. Com um pouco
de ironia, lembremos por fim a definic¸a˜o circular de Edward Teller: “An intelectual is someone who
thinks the same things and uses the same words as other intelectuals”.
• Imagens e pre´-imagens de func¸o˜es
Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Se A ⊂ X, definimos
f(A) :=
{
y ∈ Y | y = f(x) para algum x ∈ A
}
.
Se B ⊂ Y , definimos
f−1(B) :=
{
x ∈ X| f(x) ∈ B
}
.
f(A) e´ dita ser a imagem de A por f e f−1(B) e´ dita ser a pre´-imagem de B por f .
O uso do s´ımbolo f−1 para designar pre´-imagem f−1(B) de um conjunto B e´ uma escolha infeliz
(mas universalmente aceita), pois pode causar confusa˜o com a noc¸a˜o de func¸a˜o inversa de f , que pode
na˜o estar definida. O estudante deve estar atento.
• Func¸o˜es sobrejetoras, injetoras e bijetoras
2A palavra “funcional” foi empregada pela primeira vez na Matema´tica por Jacques Salomon Hadamard (1865-1963).
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 26/1461
Uma func¸a˜o F : A → B e´ dita ser sobrejetora se Im(F ) = B. Uma func¸a˜o F : A → B e´ dita
ser injetora ou injetiva se a cada b ∈ Im(F ) existir um e somente um elemento a ∈ Dom(F ) tal que
(a, b) ∈ F . Uma func¸a˜o que for sobrejetora e injetora e´ dita ser bijetora.
Seja uma func¸a˜o bijetora F ⊂ A× B. Enta˜o, a relac¸a˜o F−1 ⊂ B × A dada por
F−1 =
{
(b, a) tal que (a, b) ∈ F
}
e´, em verdade, uma func¸a˜o denominada func¸a˜o inversa de F . E´ claro que (F−1)−1 = F .
• Famı´lias de conjuntos
Seja X um conjunto na˜o-vazio. Uma colec¸a˜o F na˜o-vazia de sub-conjuntos de X e´ por vezes dita
ser uma famı´lia de conjuntos. Se F for uma famı´lia de conjuntos e existirem um conjunto na˜o-vazio I
e uma func¸a˜o bijetora f : I → F, enta˜o dizemos que a famı´lia F e´ indexada por I e os elementos de I
sa˜o denominados ı´ndices. Se λ e´ um ı´ndice, designaremos sua imagem pela func¸a˜o f simplesmente por
Aλ ∈ F.
Uma indexac¸a˜o de uma colec¸a˜o F na˜o-vazia de sub-conjuntos de X sempre existe: podemos tomar
I = F e f a func¸a˜o identidade.
• Operac¸o˜es ba´sicas com famı´lias de conjuntos
Sejam X e I conjuntos arbitra´rios na˜o-vazios e seja associado a cada α ∈ I um sub-conjunto Aα de
X. O conjunto I sera´ frequ¨entemente denominado conjunto ou famı´lia de ı´ndices. Vamos introduzir
alguma notac¸a˜o a ser usada em todas estas Notas. Definimos⋃
α∈I
Aα :=
{
x ∈ X tal que x ∈ Aα para algum α ∈ I
}
(1.5)
e ⋂
α∈I
Aα :=
{
x ∈ X tal que x ∈ Aα para todo α ∈ I
}
. (1.6)
As definic¸o˜es acima implicam as importantes propriedades descritas na proposic¸a˜o que segue, cuja
demonstrac¸a˜o deixamos como exerc´ıcio.
Proposic¸a˜o 1.1 Sejam B ⊂ X, X na˜o-vazio, e {Aα ⊂ X, α ∈ I} uma colec¸a˜o arbitra´riade subcon-
juntos de X. Enta˜o valem as seguintes relac¸o˜es:
B \
(⋃
α∈I
Aα
)
=
⋂
α∈I
(B \Aα) , B \
(⋂
α∈I
Aα
)
=
⋃
α∈I
(B \ Aα) , (1.7)
(⋂
α∈I
Aα
)
\B =
⋂
α∈I
(Aα \B) ,
(⋃
α∈I
Aα
)
\B =
⋃
α∈I
(Aα \B) , (1.8)
B ∪
(⋂
α∈I
Aα
)
=
⋂
α∈I
(B ∪Aα) , B ∩
(⋃
α∈I
Aα
)
=
⋃
α∈I
(B ∩Aα) , (1.9)
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 27/1461
B ∪
(⋃
α∈I
Aα
)
=
⋃
α∈I
(B ∪Aα) , B ∩
(⋂
α∈I
Aα
)
=
⋂
α∈I
(B ∩Aα) . (1.10)
As relac¸o˜es, (1.7) implicam(⋃
α∈I
Aα
)c
=
⋂
α∈I
(Aα)
c ,
(⋂
α∈I
Aα
)c
=
⋃
α∈I
(Aα)
c . (1.11)
2
• Propriedades elementares de func¸o˜es
As seguintes proposic¸o˜es sa˜o importantes e frequ¨entemente usadas:
Proposic¸a˜o 1.2 Seja f : X → Y uma func¸a˜o e seja Λ um conjunto de ı´ndices. Se Aλ ⊂ X para todo
λ ∈ Λ, enta˜o
f
(⋃
λ∈Λ
Aλ
)
=
⋃
λ∈Λ
f(Aλ) , (1.12)
mas
f
(⋂
λ∈Λ
Aλ
)
⊂
⋂
λ∈Λ
f(Aλ) . (1.13)
Se Bλ ⊂ Y para todo λ ∈ Λ, enta˜o
f−1
(⋃
λ∈Λ
Bλ
)
=
⋃
λ∈Λ
f−1(Bλ) , (1.14)
e
f−1
(⋂
λ∈Λ
Bλ
)
=
⋂
λ∈Λ
f−1(Bλ) . (1.15)
2
A demonstrac¸a˜o e´ elementar e e´ deixada como exerc´ıcio.
Em (1.13) na˜o se pode provar a igualdade entre f
(⋂
λ∈ΛAλ
)
e
⋂
λ∈Λ f(Aλ) e a raza˜o e´ a seguinte:
se y ∈ ⋂λ∈Λ f(Aλ) enta˜o y ∈ f(Aλ) para todo λ ∈ Λ. Assim, em cada Aλ existe um xλ com y = f(xλ).
Mas pode ocorrer que em
⋂
λ∈ΛAλ na˜o exista nenhum elemento x com y = f(x). O seguinte exemplo
ilustra isso. Seja f(x) = x2 definida em [−1, 1]. Tomemos A1 = [−1, 0], A2 = [0, 1]. Enta˜o,
f(A1) = [0, 1] e f(A2) = [0, 1]. Portanto, f(A1)∩ f(A2) = [0, 1]. Pore´m, f(A1 ∩A2) = f({0}) = {0}.
apesar disso, vale o seguinte:
Proposic¸a˜o 1.3 Se f : X → Y e´ injetora enta˜o, se Aλ ⊂ X para todo λ ∈ Λ, vale
f
(⋂
λ∈Λ
Aλ
)
=
⋂
λ∈Λ
f(Aλ) . (1.16)
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 28/1461
2
A demonstrac¸a˜o e´ elementar e e´ deixada como exerc´ıcio.
Em relac¸a˜o a`s operac¸o˜es de complemento e diferenc¸a de conjuntos temos o seguinte:
Proposic¸a˜o 1.4 Se f : X → Y e´ uma func¸a˜o e B, C ⊂ Y , enta˜o
f−1(Bc) =
(
f−1(B)
)c
,
f−1(B \ C) = f−1(B) \ f−1(C) .
Aqui, Bc = Y \B. Fora isso, se f : X → Y e´ uma func¸a˜o injetora e sobrejetora e A, B ⊂ X, enta˜o
f(Ac) = (f(A))c ,
f(A \B) = f(A) \ f(B) .
Aqui, Ac = X \ A. 2
A demonstrac¸a˜o e´ elementar e e´ deixada como exerc´ıcio.
• A unia˜o disjunta de uma famı´lia arbitra´ria de conjuntos
Sejam, como acima, um conjunto I (na˜o necessariamente finito ou conta´vel) e Ai, i ∈ I, conjuntos
indexados por elementos de I. Os conjuntos Ai podem eventualmente possuir elementos comuns, ou
seja, pode haver elementos x que comparecem em va´rios conjuntos Ai. Pore´m, quando formamos a
unia˜o usual dos conjuntos Ai, ou seja,
⋃
i∈I Ai, cada elemento x comparece apenas uma vez, mesmo que
pertenc¸a a va´rios Ai’s. Por vezes estamos interessados em formar um outro tipo de unia˜o de conjuntos
onde essa poss´ıvel multiplicidade de cada elemento x possa ser levada em conta. A definic¸a˜o abaixo e´,
para tal, das mais adequadas.
Definimos a unia˜o disjunta da famı´lia de conjuntos Ai como sendo o conjunto, denotado por
⊔
i∈I
Ai,
dado pela unia˜o de todos os pares ordenados (a, i) com i ∈ I, a ∈ Ai, ou seja,⊔
i∈I
Ai :=
⋃
i∈I
⋃
a∈Ai
(a, i) .
Unio˜es disjuntas desempenham um papel em va´rias a´reas da Matema´tica. Na Geometria Diferencial,
por exemplo, o chamado fibrado tangente de uma variedade diferencia´vel e´ definido como a unia˜o
disjunta dos espac¸os tangentes a` variedade.
• Extenso˜es de func¸o˜es
Seja F : A → B uma func¸a˜o e suponha que A seja subconjunto de um outro conjunto A′. Uma
func¸a˜o G : A′ → B e´ dita ser uma extensa˜o de F se F e G coincidirem na parte comum de seus
domı´nios, que vem a ser o conjunto A, ou seja, se G(a) = F (a) para todo a ∈ A.
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 29/1461
Se lembrarmos que uma func¸a˜o F : A→ B e´ um subconjunto de A×B e que uma func¸a˜o G : A′ → B
e´ um subconjunto de A′ × B e se notarmos que A × B ⊂ A′ × B caso A ⊂ A′, enta˜o uma definic¸a˜o
alternativa de extensa˜o seria seguinte: uma func¸a˜o G e´ uma extensa˜o de uma func¸a˜o F se F ⊂ G,
ambas entendidas como subconjuntos de A′ ×B.
E. 1.2 Exerc´ıcio. Verifique a equivaleˆncia dessas duas definic¸o˜es do conceito de extensa˜o de func¸o˜es. 6
Como veremos, o conceito de extensa˜o de func¸o˜es e´ frequ¨entemente empregado na teoria dos ope-
radores lineares em espac¸os de Hilbert.
• O Produto Cartesiano de uma famı´lia arbitra´ria de conjuntos
Ja´ discutimos o conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos A e B: A×B e com ele introdu-
zimos a noc¸a˜o de func¸a˜o. De posse dessa noc¸a˜o podemos, com vistas a uma generalizac¸a˜o, apresentar
uma outra visa˜o do conceito de produto Cartesiano de dois conjuntos, a saber, podemos dizer que A×B
e´ o conjunto de todas as func¸o˜es f : {1, 2} → A∪B tais que f(1) ∈ A e f(2) ∈ B. A ide´ia e´ dizer que
cada par ordenado (a, b) com a ∈ A e b ∈ B e´ uma func¸a˜o onde o primeiro membro do par e´ a imagem
de 1 (por ser o primeiro) e o segundo a imagem de 2 (por ser o segundo). Essa ide´ia permite definir pro-
dutos Cartesianos de um nu´mero finito n de conjuntos A1, A2, . . . , An denotado por A1×A2× . . .×An
como sendo o conjunto de todas as func¸o˜es f : {1, 2, . . . , n} →
n⋃
j=1
Aj satisfazendo f(j) ∈ Aj para todo
j ∈ {1, . . . , n}. A func¸a˜o f tem, por assim dizer, o papel de ordenar os elementos de
n⋃
j=1
Aj tomando-se
sucessivamente um elemento de cada Ai por vez. O produto Cartesiano A1 × A2 × . . . × An e´ assim
entendido como o conjunto formado por todas as eˆnuplas ordenadas (a1, . . . , an) com ai ∈ Ai.
Essa ide´ia pode ser generalizada ainda mais. Sejam I um conjunto na˜o-vazio (na˜o necessariamente
finito ou conta´vel) e Ai, i ∈ I, conjuntos na˜o-vazios indexados por elementos de I. Definimos enta˜o o
produto Cartesiano da famı´lia de conjuntos {Ai, i ∈ I}, denotado por∏
i∈I
Ai
como sendo o conjunto de todas as func¸o˜es f : I →
⋃
j∈I
Aj tais que f(x) ∈ Ax para todo x ∈ I. O
Axioma da Escolha (pa´gina 29) consiste na afirmac¸a˜o (ou melhor dizendo, na suposic¸a˜o, ja´ que se trata
de um axioma) que
∏
i∈I Ai e´ na˜o-vazio.
Se por ventura todos os conjuntos Ai forem ideˆnticos enta˜o denota-se o produto Cartesiano acima
por AI . Assim, AI denota o conjunto de todas as func¸o˜es de I em A.
Desta forma N × N e N{1, 2} sa˜o duas notac¸o˜es distintas para o mesmo objeto, que tambe´m e´
denotado simplesmente por N2, como se sabe. Genericamente Nd designa N{1,...,d} para d ∈ N, d > 0.
• O Axioma da escolha
O Axioma da Escolha consiste na seguinte afirmativa:
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 30/1461
Seja As, s ∈ I, uma famı´lia de conjuntos na˜o-vazios, onde I e´ um conjunto arbitra´rio (na˜o-vazio)
de ı´ndices. Enta˜o, podemos construir um conjunto A tomando (“escolhendo”) um elemento as de cada
conjunto As. Em termos mais te´cnicos, o axioma diz que ha´ func¸o˜es F : I →
⋃
s∈I
As tais que F (s) ∈ As
para todo s ∈ I, ou seja, o produto Cartesiano ∏s∈I As e´ na˜o vazio3.
A primeira vista esse axioma parece constituir-se de uma obviedade. Sucede, pore´m, que, sobretudo
pelo fato de o conjunto I de ı´ndices ser arbitra´rio (podendo ser ate´ um conjunto infinito e na˜o-conta´vel),
a afirmativa que o mesmo conte´m na˜o pode ser derivada de princ´ıpios mais ba´sicos. O axioma faz uma
afirmac¸a˜o de existeˆncia (de uma func¸a˜o como a F , ou de um conjunto como A formado por elementos
escolhidos de cada As) que, geralmente, na˜o pode ser demonstrada construtivamente, ou seja,por
exibic¸a˜o expl´ıcita de uma tal func¸a˜o F ou de um conjunto A.
Faremos uso expl´ıcito do Axioma da Escolha adiante quando exibirmos exemplos de conjuntos na˜o-
mensura´veis. O Axioma da Escolha foi originalmente formulado por Zermelo4 em 1904 como parte da
sua demonstrac¸a˜o do chamado Princ´ıpo do Bom-Ordenamento, Teorema 1.1, pa´gina 36. Vide [55].
Uma t´ıpica situac¸a˜o na qual se faz uso do Axioma da Escolha ocorre quando sa˜o dados um conjunto
X e uma uma relac¸a˜o de equivaleˆncia E em X e constro´i-se um conjunto A ⊂ X tomando-se um
representante de cada classe de equivaleˆncia de X por E.
Nem sempre e´ poss´ıvel exibir explicitamente os elementos de A, mas assumimos (via Axioma da
Escolha) que um tal conjunto existe. Para ter-se em mente um caso onde uma tal situac¸a˜o ocorre,
tome-se o exemplo dado em (1.18), pa´gina 31 e construa-se um conjunto tomando um elemento de
cada classe de equivaleˆncia la´ descrita. Tal conjunto desempenha um papel na teoria da medida. Vide
Cap´ıtulo 20, pa´gina 1058, em particular a Sec¸a˜o 20.1.
• Relac¸o˜es de equivaleˆncia
Outro tipo importante de relac¸a˜o e´ formado pelas chamadas relac¸o˜es de equivaleˆncia. Uma relac¸a˜o
E ⊂ A×A e´ dita ser uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em um conjunto na˜o-vazio A se os seguintes quesitos
forem satisfeitos:
1. (a, a) ∈ E para todo a ∈ A.
2. (a, b) ∈ E implica que (b, a) ∈ E.
3. (a, b) ∈ E e (b, c) ∈ E implicam que (a, c) ∈ E.
Se o par (a, b) pertence a uma relac¸a˜o de equivaleˆncia E enta˜o a e b sa˜o ditos serem equivalentes
segundo E. Quase sempre usa-se a notac¸a˜o a
E∼ b, ou simplesmente a ∼ b, para indicar que dois
elementos sa˜o equivalentes segundo uma relac¸a˜o de equivaleˆncia dada.
Seja A um conjunto e E ⊂ A × A uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A. Para cada a ∈ A podemos
definir o conjunto
E(a) := {a′ ∈ A tal que (a, a′) ∈ E} . (1.17)
3Para a definic¸a˜o do produto Cartesiano
∏
s∈I As, vide pa´gina 29.
4Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953).
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 31/1461
Esse conjunto e´ chamado de classe de equivaleˆncia de a (pela relac¸a˜o de equivaleˆncia E).
E. 1.3 Exerc´ıcio. Seja A um conjunto e E ⊂ A×A e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A. Suponha que
a, b ∈ A e que a ∼ b segundo E. Prove que E(a) = E(b). 6
E. 1.4 Exerc´ıcio importante. Prove que se A e´ um conjunto e E ⊂ A×A e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia
em A enta˜o A e´ a unia˜o disjunta de classes de equivaleˆncia de seus elementos. 6
E. 1.5 Exerc´ıcio. Seja o conjunto dos nu´meros reais R e seja a relac¸a˜o W ⊂ R×R definida por
W :=
{
(x, y) ∈ R×R tal que x− y ∈ Q
}
, (1.18)
onde Q e´ o conjunto dos nu´meros racionais. Prove que W e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. 6
• Relac¸o˜es de compatibilidade
Seja P um conjunto. Uma relac¸a˜o de compatibilidade em P e´ um conjunto C ⊂ P × P com as
seguintes propriedades:
1. Se γ e γ′ sa˜o tais que (γ, γ′) ∈ C, enta˜o (γ′, γ) ∈ C.
2. Para todo γ ∈ P vale (γ, γ) 6∈ C.
Para uma dada relac¸a˜o de compatibilidade C denotamos γ∼C γ′ caso (γ, γ′) ∈ C e dizemos que
γ e γ′ sa˜o C-compat´ıveis. Caso contra´rio, denotamos γ 6∼C γ′ se (γ, γ′) 6∈ C e dizemos que γ e γ′ sa˜o
C-incompat´ıveis.
Se uma dada relac¸a˜o C e´ subentendida, denotamos simplesmente γ ∼ γ′ caso (γ, γ′) ∈ C e dizemos
simplesmente que γ e γ′ sa˜o compat´ıveis.
Relac¸o˜es de compatibilidade sa˜o importantes na Mecaˆnica Estat´ıstica, especialmente nas chamadas
expanso˜es de pol´ımeros e de “clusters”.
Exemplo. Seja X um conjunto na˜o-vazio e P = P(X) \ {∅}, a colec¸a˜o de todos os subconjuntos
na˜o-vazios de X. Uma relac¸a˜o de compatibilidade em P e´ a seguinte: A ∼ B ⇐⇒ A ∩ B = ∅.
Verifique.
1.1.2 Relac¸o˜es de Ordem
Seja X um conjunto na˜o-vazio. Uma relac¸a˜o R ⊂ X ×X e´ dita ser uma relac¸a˜o de ordem parcial em
X, ou simplesmente uma relac¸a˜o de ordem em X, se as seguintes condic¸o˜es forem satisfeitas:
1. Para todo a ∈ X tem-se que (a, a) ∈ R.
2. Se (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R enta˜o forc¸osamente a = b.
3. Se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R enta˜o (a, c) ∈ R.
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 32/1461
Se X possui uma ordem parcial R, X e´ chamado de conjunto parcialmente ordenado por R. Em
textos matema´ticos em l´ıngua inglesa, conjuntos parcialmente ordenados sa˜o frequ¨eˆntemente denomi-
nados posets (de “partially ordered sets”). A noc¸a˜o de conjunto parcialmente ordenado foi introduzida
por Hausdorff5
Exemplo. Seja X um conjunto e P(X) a colec¸a˜o de todos os sub-conjuntos de X. Podemos estabe-
lecer em P(X) uma relac¸a˜o R do seguinte tipo: para A, B ⊂ X tem-se (A, B) ∈ R se A ⊂ B. Como
exerc´ıcio deixamos ao estudante mostrar que esta e´ uma relac¸a˜o de ordem parcial de acordo com a
definic¸a˜o acima. Este exemplo ilustra tambe´m por que chamar tal relac¸a˜o de ordem de “parcial”. A
raza˜o e´ que nem todo par (A, B) e´ elemento de R pois, para dois conjuntos A e B arbitra´rios, nem
sempre vale que A ⊂ B ou que B ⊂ A (por exemplo se A ∩ B = ∅).
Em func¸a˜o da analogia com essa relac¸a˜o de ordem usual dos nu´meros reais e´ costume, dada uma
relac¸a˜o de ordem R qualquer, indicar que (a, b) ∈ R atrave´s da notac¸a˜o a � b. Por vezes, o s´ımbolo
≤ e´ tambe´m usado, mas tentaremos emprega´-lo apenas para denotar a relac¸a˜o de ordem usual entre
nu´meros reais. Usando o s´ımbolo � as condic¸o˜es definidoras de uma relac¸a˜o de ordem se escrevem
como
1. Para todo a ∈ X tem-se que a � a.
2. Se a � b e b � a enta˜o forc¸osamente a = b.
3. Se a � b e b � c enta˜o a � c.
Tambe´m denota-se a relac¸a˜o a � b por b � a.
• Relac¸o˜es de ordem total
Outro conceito importante e´ o de relac¸a˜o de ordem total. Uma ordem parcial R em um conjunto X
e´ dita ser uma relac¸a˜o de ordem total se para todo a, b ∈ X tem-se que (a, b) ∈ R ou que (b, a) ∈ R.
Se X possui uma relac¸a˜o de ordem total R enta˜o X e´ dito ser totalmente ordenado ou linearmente
ordenado. Assim, se X e´ um conjunto dotado de uma relac¸a˜o de ordem parcial, dizemos que um
sub-conjunto A ⊂ X e´ linearmente ordenado se a � b ou b � a para todo a, b ∈ A.
• Exemplos
Exemplo. Seja R o conjunto de nu´meros reais e a relac¸a˜o de ordem (x, y) ∈ R se x − y for um
nu´mero negativo ou nulo (ou seja, se x ≤ y). Mostre que essa e´ uma relac¸a˜o de ordem total em R.
Contra-exemplo. Seja C um conjunto na˜o-vazio qualquer. Enta˜o, P(C) e´ ordenado pela inclusa˜o de
conjuntos: A � B se e somente se A ⊂ B. Pore´m P(C) na˜o e´ linearmente ordenado pois se A ∩B = ∅
na˜o podemos dizer que A � B nem que B � A.
E. 1.6 Exerc´ıcio. Voceˆ consegue construir uma relac¸a˜o de ordem em R2 ou em R3? E uma relac¸a˜o de
ordem total? 6
5Felix Hausdorff (1868-1942). Hausdorff foi um dos criadores da Topologia e da moderna Teoria dos Conjuntos.
Perseguido pelo nacional-socialismo, suicidou-se em 1942 para evitar ser enviado a um campo de concentrac¸a˜o.
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 23 de maio de 2006. Cap´ıtulo 1 33/1461
• Mais exemplos
Seja o conjunto dos nu´meros naturais N. Podemos estabelecer em N a relac¸a˜o de ordem usual onde
dizemos que x ≤ y se x − y for um nu´mero negativo ou nulo. Esta relac¸a˜o e´ uma relac¸a˜o de ordem
total. O leitor na˜o deve pensar que essa e´ a u´nica relac¸a˜o de ordem total existente em N. Um outro
exemplo e´ o seguinte.
Vamos estabelecer uma relac¸a˜o de ordem em N que denotaremos pelo s´ımbolo �p−i. Sejam a,
b ∈ N. Se a e b forem pares dizemos que a �p−i b se a ≤ b. Se a e b forem ı´mpares dizemos que a �p−i b
se a ≤ b. Se a e´ par e b e´ ı´mpar enta˜o dizemos sempre que a �p−i b.
E. 1.7 Exerc´ıcio. Mostre que a relac¸a˜o �p−i estabelece uma relac¸a˜o de ordem total em N. 6
Um exemplo ana´logo pode ser constru´ıdo em R. Vamos estabelecer uma relac¸a˜o de ordem em R
que denotaremos pelo s´ımbolo �r−i. Sejam x, y ∈ R. Se x e y forem

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