aula 3 vetores

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VETORES
Definição
Ente matemático representado por um segmento 
de reta orientado:
A

Elementos
•Direção:
Reta r suporte onde o vetor é traçado
•Sentido: 
Lado sobre a reta r para o qual o vetor aponta
•Módulo:
Valor numérico associado ao vetor
•Ponto de aplicação:
Local inicial o vetor
Exemplo
Observe o vetor:
Direção: horizontal
Sentido: para direita
Módulo: 12,92 cm
Aplicação: Objeto O
12,92 cm
Componentes dos Vetores
Se os vetores estiverem inclinados, faz-se a 
projeção dos mesmos sobre eixos horizontais 
e verticais:
A

A

xA

yA

A


Valores das Componentes
• Componente Horizontal
• Componente Vertical
senVVy 
cosVVx 
Depois de calcular as componentes de um 
vetor, pode-se escrevê-lo em termos delas, por 
meio da expressão:
Expressão de um Vetor
jViVV yx
ˆˆ

Exemplo
Dado o vetor abaixo, determinar:
(a) suas componentes ortogonais
(b) sua expressão vetorial.
(a) suas componentes
N 100V

º 30
N50º30sen100
sen
N6,86º30cos100
cos




y
y
x
x
V
VV
V
VV


(b) sua expressão
N ˆ50ˆ6,86
ˆˆ
jiV
jViVV yx




Adição de Vetores
Pode ser feita de três modos:
• regra do polígono
• regra do paralelogramo
• regra das componentes
Regra do polígono
• Os vetores são unidos de modo que o vetor 
seguinte esteja conectado à extremidade do 
vetor anterior;
• O vetor soma inicia-se junto ao primeiro e 
termina junto ao último vetor.
A

B

C

Exemplo
Dados os vetores a seguir, determine a soma:
A

B

C

S

CBAS


Regra do Paralelogramo
• Os vetores são iniciados a partir de um 
ponto comum;
• Da extremidade de cada vetor se traça uma 
linha paralela ao outro vetor;
• O vetor soma inicia no ponto comum e 
termina onde as paralelas se encontram
A

B

Exemplo
Dados os vetores a seguir, determine a soma:
A

B

S

BAS


Regra das Componentes
• Decompor o vetor nas componentes horizontal e 
vertical;
• Efetuar a soma das componentes, separadamente.
Exemplo
Dados os vetores a seguir, determine a soma:
A

B

C

CBAS


Solução:
•Somar as componentes:
•Escrever cada vetor na 
forma das componentes:
jiC
jiB
jiA



2
22
32



jiS
jiC
jiB
jiA




35
2
22
32




•Representar o vetor soma:
S

Módulo de um Vetor
Dado o vetor:
S

Seu módulo será dado aplicando-se o 
Teorema de Pitágoras:
222 ˆˆ jSiSS yx 
Seja o Vetor S, representado a seguir. Qual seu módulo?
Exemplo
S

Solução:
uS
S
jSiSS yx
83,534
92535
ˆˆ
222
222



Produto Vetorial
Pode ocorrer de três modos distintos:
• produto de vetor por escalar
• produto escalar entre vetores
• produto vetorial entre vetores
Produto por escalar
Quando se multiplica um vetor por uma 
grandeza escalar qualquer:
vkm

.
B

Exemplo
Determine o produto:
B

BP

3
B

B

P

Produto escalar
Quando se multiplica um vetor por outro 
vetor e se obtém uma grandeza escalar, tal 
como o trabalho:
BAP

.
Que tem como módulo:
cos..BAP


Exemplo
Dados os vetores a seguir, determine seu produto escalar:
A

B

º45
1
4
4
67,5
4444 22





 arctgarctg
iA
jA
arctg
uA
AjiA
x
y




uP
BAP
BAP
02,12
º45cos.3.67,5cos..
.






Produto Vetorial
Quando se multiplica um vetor por outro 
vetor e se obtém novo vetor, tal como o torque:
BAP


Que tem como módulo:
sen..BAP


Exemplo
Dados os vetores a seguir, determine seu produto vetorial:
A

B

º45
1
4
4
67,5
4444 22





 arctgarctg
iA
jA
arctg
uA
AjiA
x
y




uP
BAP
BAP
02,12
º45sen.3.67,5sen..
.





