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Aula 5 – Funções lineares ou afim.
Objetivos: . Definir funções lineares ou Afim.
 . Resolver situações problemas com aplicações de funções afim.
 . Aplicações de inequações lineares em problemas de otimização de custos.
Na nossa aula anterior, chegamos à expressão de uma função linear, a partir da construção de uma equação da reta. Vimos que uma função linear pode ser escrita na forma y = ax + b, onde o parâmetro “a” representa o coeficiente angular da reta e o parâmetro “b”, chamado de coeficiente linear, corresponde ao ponto onde a reta intercepta o eixo y.
Definição formal: Função linear é uma função que varia a uma taxa constante em relação à variável independente. O gráfico de uma função linear é uma linha reta.
Situação problema: A água potável utilizada em propriedades rurais, de modo geral, é retirada de poços com o auxílio de uma bomba-d'água elétrica. Em certo sítio, para abastecer o reservatório de água, é utilizada uma bomba-d'água com capacidade para bombear 15 litros por minuto. Essa bomba é ligada automaticamente quando o reservatório está com 250 litros de água e desligada ao enchê-lo.
a) Com essas informações, escreva uma fórmula que permita calcular a quantidade de água contida no reservatório em função do tempo em que a bomba permanece ligada, considerando que não haja consumo de água durante esse período.
b) Qual o volume no reservatório após 20 minutos de funcionamento da bomba?
c) Caso o volume total de seu reservatório seja de 2000 litros, quanto tempo demoraria para enchê-lo?
d) Construa um gráfico representativo e interprete o mesmo?
Solução: a) y = ax + b y = 15x + 250
 tempo em que a bomba 
 quantidade de litros de permanece ligada
 água 
 y = 15 x + 250
 litros de água quantidade inicial de litros de
 bombeados por minuto água no reservatório
b) Após 20 minutos: y = 15 . 20 + 250
 y = 300 + 250
 y = 550 litros
para um volume de 2000 litros, teremos:
 
 2000 = 15x + 250
 2000 – 250 = 15 x
 1750 = 15 x
 x = 1750/15
 x = 116,67 minutos
Construção do gráfico:
 y(litros)
 550
 500
 250
 0 10 20 x (minutos) 
 Interpretação: Calcule a inclinação desta reta. O que se observa?
 a = yB – yA  a = 550 – 250 = 300 = 15
             xB – xA  20 – 0 20
 Portanto, o coeficiente angular representa a taxa de variação da minha função, que no nosso problema corresponde à quantidade de litros que estará sendo bombeado por minuto.
 O ponto onde a reta intercepta o eixo y, corresponde ao valor da quantidade inicial de água no reservatório (coeficiente linear).
Observação: A função linear também pode ser expressa na forma:
 f(x) = ax + b
Sugestões de pesquisa:
Quando se vai furar um poço em uma propriedade, o mesmo pode ser artesiano ou semi artesiano. Qual a diferença entre os dois?
Quais as técnicas usadas na perfuração de um poço semiartesiano e um artesiano?
A água retirada destes poços pode ser usada sem fazer analise da qualidade da mesma?
Nas cidades, geralmente o abastecimento de água é feito pela Sabesp ou em algumas cidades pela prefeitura. Pergunta-se: È permitido abrir poços semiartesianos ou artesianos em uma residência urbana?
Como se procede para determinar o local de abertura de um poço?
Tipos de Gráfico:
 a) Quando a > 0 b) Quando a <0
 y y
 b b
 0 x 0 x
 Função crescente Função decrescente
 Ex.: y = 3x + 2 Ex.: y = -2x + 4
Raiz de uma função linear: Chamamos de raiz de uma função, o valor de x que torna nula esta função, ou seja, o ponto onde a reta intercepta o eixo x.
Ex.: y = 3x – 6
 Sua raiz será dada por: 3x – 6 = 0 3x = 6 x= 6/3 x = 2
Portanto a raiz de y = 3x – 6 vale 2.
Pergunta-se: Em uma função crescente ou decrescente, mantendo-se o coeficiente angular, o que acontece se mudarmos o valor do parâmetro b? Construa o gráfico das duas funções abaixo e analise-os.
Ex. 1: a) y = 2x + 1 b) y = 2x + 3
Ex.2: a) y = -x + 2 b) y = -x – 3
Estudo do sinal de uma função: Para sabermos onde o valor de uma função é positivo ou negativo, devemos analisar primeiro sua raiz, ou seja, analisar onde a mesma é igual a zero (y = 0), pois aí saberemos onde ela será positiva (y > 0) ou negativa (y <0).
 y y
 b 
 b 
 0 x 0 x
 raiz raiz
Ex. : Para quais valores de x, a função y = 2x – 4 tem valores iguais a zero, positivo e negativo?
Raiz de y: 2x – 4 = 0 x = 4/2 x = 2
 2 y>0
 y<0 	x
 y = 0 
Aplicação: Um estacionamento oferece duas opções de preço para seus clientes:
I - Estacionamento A: R$ 4,00 fixo mais R$ 0,50 por hora
II – Estacionamento B: R$ 1,50 por hora
Quais os intervalos de tempo em que cada opção é mais vantajosa? 
Inequação do 1º grau: Certa empresa de telefonia calcula a quantia a ser paga na fatura mensal de um plano da seguinte maneira: uma taxa fixa de R$ 20,00 e mais R$ 0,25 por minuto de ligação. Nessas condições, quantos minutos de ligação um usuário desse plano telefônico pode realizar no mês, para que o valor da fatura seja no máximo R$ 135,00?
 V(t) = 0,25t + 20,00
Desejamos saber onde v(t) ≤ 135,00 0,25t + 20 ≤ 135,00 t ≤ 460 minutos
Para resolvermos este problema, utilizamos uma desigualdade envolvendo uma função linear, chamada de inequação linear.
Sendo f(x) = ax + b, poderemos ter as seguintes desigualdades:
ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0
Unifeob: Curso de Engenharia Civil
Disciplina:Fundamentos de Matemática
Atividades de Funções Lineares
O custo de um fabricante de pisos cerâmicos consiste em um custo fixo de R$ 40,00 e um custo variável de 
R$ 10,00 por m² produzido. Expresse o custo total em função do número de m² produzidos e desenhe o gráfico associado. 
Uma firma de cartões de crédito calcula que a dívida média D dos portadores de cartões de crédito era de R$ 7.853,00 no ano 2000 e R$ 9.127,00 em 2005. Suponha que essa divida aumenta a uma taxa constante.
Expresse D como uma função linear de t, o número de anos após o ano 2000 e desenhe o gráfico correspondente.
Use a função obtida para estimar qual foi a divida média dos usuários de cartões no ano de 2010.
Em que ano, aproximadamente, a dívida média dos usuários de cartões de crédito será duas vezes maior que no ano de 2000?
Uma construtora compra R$ 180.000,00 em equipamentos; esses equipamentos sofrem uma depreciação linear que reduz seu valor para R$ 130.000,00 em 5 anos.
Expresse o valor dos equipamentos em função do tempo e desenhe o gráfico associado.
Determine o valor dos equipamentos 3 anos após a aquisição.
Após quanto tempo os equipamentos perdem totalmente o valor? Para o empresário, talvez não seja interessante esperar tanto tempo para se desfazer dos equipamentos. Discuta os fatores que o empresário pode levar em conta para decidir qual é a melhor ocasião para vender os equipamentos.
Em algumas regiões do mundo, observou-se que o número N de mortes por semana está relacionado à concentração x de dióxido de enxofre no ar. Suponha que tenha havido 97 mortes quando x = 100 mg/m³ e 110 mortes quando x = 500 mg/m³.
Qual é a relação funcional entre N e x?
Use a função obtida no item (a) para determinar o número de mortes por semana quando x = 300 mg/m³.
Para que concentração de dióxido de enxofre 100 pessoas morrem por semana?
Leia a respeito dos efeitos da poluição sobre a taxa de mortalidade. Escreva um texto dissertativo com pelo menos 20 linhas, a respeito do assunto e dizendo se é possível e de que forma um Engenheiro pode contribuir para a redução destes índices de mortalidade devido à poluição do ar.
Durante uma seca, os moradores do condado de Marin, na Califórnia, tiveram que enfrentar uma séria escassez de água. Para combater o desperdício, as autoridades aumentaram drasticamente as tarifas. O preço para uma família de quatro pessoas passou a ser de 1,22 dólares por 100 pés cúbicos de água para os primeiros 1.200 pés cúbicos, 10 dólares por 100 pés cúbicos para os 1.200 pés cúbicos seguintes e 50 dólares por 100 pés cúbicos para consumos maiores. 
Expresse o valor de água para uma família de quatro pessoas em função do consumo de água em centenas de pés cúbicos.
Faça um gráfico representativo do custo em função do consumo de água.
Qual a relação entre 1 m³ e 1 pé³?
Faça uma pesquisa a respeito de como é cobrado o custo de água de sua cidade em função do consumo.
Na sua cidade existe um plano para diminuição de consumo de água, caso ocorra uma estiagem considerável? Como é este plano?
Você como um futuro Engenheiro Civil, poderia criar um plano para diminuição deste consumo, que não se baseasse somente no aumento de preço por consumo? De que maneira?
Uma Empresa de Máquinas de Terraplenagem A cobra R$ 90,00 a título de deslocamento da máquina mais R$ 20,00 por hora trabalhada. Outra empresa B cobra R$ 95,00 mais R$ 15,00 por hora trabalhada. Se você tiver que contratar uma destas empresas, em que condições contrataria A ou B, para obter um lucro maior?
Para que valores de x o volume do prisma B é maior que o volume do prisma A?
 A B
 x + 3
 3
 5 x + 1 
 2 5 
Um aluno do curso de Engenharia Civil representou a casa onde mora por meio do esquema.
Quais são as medidas reais da cozinha da casa deste aluno, sabendo que essa casa tem 10 m de comprimento por 7,5 m de largura?
Qual foi a escala utilizada por ele ao fazer o esquema de sua casa?
Escreva uma função que permita calcular as medidas reais m, em metros, de cada cômodo da casa, por meio das medidas x, em centímetros, indicadas no esquema.
Qual é a constante de proporcionalidade da função que você escreveu no item c?
Faça um esquema representativo de sua casa, usando este conceito.
A figura abaixo representa um terreno em formato triangular e outro em formato retangular, com as medidas de seus lados em função de uma variável x.
 10
2x 2x 2x 2x 
 x 10
Qual a função que expressa o perímetro p de cada terreno, em relação à medida x?
Qual é o maior valor inteiro que x pode assumir para que o perímetro do terreno triangular seja menor que o retangular?
Quando há redução no preço de um produto, geralmente a procura dos consumidores por ele se torna maior. Em Economia, essa situação representa a chamada lei de demanda, segundo a qual, ao reduzir o preço de determinado produto, a quantidade demandada, ou seja, a quantidade máxima do produto que os compradores estão dispostos a adquirir aumenta.
Em relação ao mercado, acontece uma situação inversa. Quando o preço de um produto sofre uma elevação, há um aumento na quantidade ofertada; quando o preço é reduzido, a quantidade ofertada diminui. Esta é a chamada lei da oferta, também utilizada em Economia.
Quando as variações de preço tendem a não ocorrer, pode-se dizer que há um equilíbrio no mercado. Esse equilíbrio acontece para o preço do produto em que a quantidade ofertada é igual à quantidade demandada, ou seja, compradores adquirem e vendedores comercializam a quantidade desejada. Veja no quadro abaixo o preço e a quantidade diária de demanda e oferta de certo produto.
	Preço
	Quantidade diária demandada
	Quantidade diária ofertada
	R$ 45,00
	65
	120
	R$ 40,00
	75
	105
	R$ 35,00 
	85
	90
	R$ 30,00
	95
	75
Em relação ao quadro apresentado, represente os dados graficamente e escreva a função f que associa o preço x à quantidade diária demandada pelos consumidores e a função g que associa o preço x à quantidade diária ofertada pela distribuidora.
Utilizando as duas funções, determine o ponto de equilíbrio do mercado.
Pensando agora, se esses produtos fossem apartamentos que uma construtora de sua propriedade estivesse vendendo no mercado e que estivesse havendo um excesso de oferta, que estratégias você proporia para tentar uma quantidade maior de vendas?
Se a demanda por apartamentos estiver superior à quantidade de apartamentos colocados à venda, o que isto poderia acarretar?