ESTUDO DOS LIMITES-Apostila

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ESTUDO DOS LIMITES 
ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
 
 
30/04/2010 
CÁLCULO I 
PROFESSOR: GIL MARCOS JESS 
 
 
 
2 
 LIMITES 
 
O objetivo agora passa a ser o estudo dos Limites e a sua aplicação na análise 
da continuidade de uma função. 
É possível compreender melhor o significado do que é uma tendência fazendo 
a análise das seguintes sucessões: 
Primeira sucessão: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... 
Segunda sucessão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
Na primeira sucessão é possível observar que os termos tornam-se cada vez 
maiores sem que haja qualquer limitação. Resumindo é possível dizer que os 
termos da sucessão tendem ou se encaminham para o infinito, o que também 
significa dizer que o limite da sucessão é infinito. 
 
Esta tendência costuma ser denotada da seguinte forma: , o que se lê 
como sendo: 
 “x tende para o mais infinito”. 
Já na segunda sucessão é possível observar que os termos também crescem, 
mas com certa limitação. Nesse caso os números estão se aproximando cada 
vez mais do valor 1 e portanto é possível dizer que: , ou seja “x tende para 
um”. 
Usando agora uma função ( ) 
 
 
 e observando as tabelas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Na primeira tabela é possível identificar que na medida em que o x aumenta 
seu valor tendendo para o nossa função tendeu para 1. Já na segunda 
tabela na medida em que x diminui seu valor tendendo para o a função 
também tendeu para 1. Ou seja, simbolicamente : 
 ( ) 
E isto costuma ser denotado por: 
x y 
1 0 
2 
 ⁄ 
3 
 ⁄ 
4 
 ⁄ 
... .... 
500 
 ⁄ 
... ... 
1000 
 ⁄ 
x y 
-1 2 
-2 
 ⁄ 
-3 
 ⁄ 
-4 
 ⁄ 
... .... 
-500 
 ⁄ 
... ... 
-1000 
 ⁄ 
 
3 
 ( 
 
 
) 
O que costuma ser lido: “ limite quando x tende para mais ou menos infinito da 
função é igual a 1”. 
Definição: 
Sendo f(x) uma função definida em um intervalo aberto que contém a, exceto 
possivelmente no próprio a. Diz-se que o limite de f(x) quando x se aproximar 
de a é L e se representa como: 
 
 
 ( ) 
 se para todo | ( ) | 
| | 
A unicidade do limite: 
Se ( ) e ( ) , então . 
Propriedades dos Limites: 
 
 
4 
 
 
Antes de exemplificar a solução dos limites é importante identificar o que se 
costuma chamar de indeterminação. E é de fundamental importância que 
algo indeterminado não significa algo sem solução, mas sim que para que a 
solução seja viável, ou seja, para que a chamada indeterminação seja 
levantada é necessário que se estabeleça algum tipo de mudança na 
expressão com a qual se está trabalhando. 
Para exemplificar: Sendo ( ) ( ) , determinar: 
 ( )
 ( )
 
Ao usar o artifício direto para a solução do limite tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 que é uma indeterminação. 
Entretanto se uma modificação como simplificação do for implementada 
antes da resolução tem-se que: 
 
 
 
 
 
 neste caso costuma-se dizer que 
antes de resolver levantou-se a indeterminação. 
Serão considerados casos de indeterminação: 
 
 
Exemplos: 
1) ( ) 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
3) 
√( ) √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
4) 
 
 
 
 
 
5) 
√ 
 
√ 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcular os seguintes limites: 
 
 
 
 
6 
 
Limites Laterais: 
Limite Lateral à Direita: 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( ). Diz-se que um 
número L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escreve-se: 
 ( ) , se para todo , existe um , tal que | ( ) | 
sempre que . 
Portanto, se ( ) diz-se que f(x) tende a L quando x tende para a 
pela direita. E o símbolo indica que os valores de x são sempre maiores 
do que a. 
Limite Lateral à Esquerda: 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( ). Diz-se que um 
número L é o limite à esquerda da função f, quando x tende para , e escreve-
se: 
 ( ) , se para todo , existe um , tal que | ( ) | 
sempre que . 
Portanto, se ( ) diz-se que f(x) tende a L quando x tende para a 
pela esquerda. E o símbolo indica que os valores de x são sempre 
menores do que a. 
Importante: Todas as propriedades de limites são também válidas para os 
limites laterais. 
Exemplos: 
1) Dada a função ( ) √ determinar se houver: 
 
 ( ) e ( ) 
 
2) Tomando como base o gráfico da função dado abaixo: 
Determinar: 
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( ) 
e) ( ) 
f) ( ) 
 
7 
 
 
3) Seja ( ) {
 | |
 
 
 
 fazer um esboço do gráfico da função e 
determinar : ( ) e ( ) 
Nos dois últimos exemplos pode-se perceber que o limite lateral à esquerda 
difere do limite lateral à direita. O que acaba proporcionando uma análise 
quanto ao cálculo de um limite. 
Teorema: Se uma função f é definida em um determinado intervalo aberto 
que contém a, exceto possivelmente no próprio a, então: 
 ( ) se e somente se ( ) e ( ) . 
Ou seja, para que exista o limite da função tendendo para um valor qualquer 
a devem existir os limites laterais à esquerda e à direita e eles devem ser iguais. 
 Exemplo: 
Seja ( ) {
 
 
 
 
Determinar, ( ), ( ) e ( ) e fazer um esboço do gráfico 
da função. 
 
Exercícios: 
1) Seja ( ) {
 
 
 fazer um esboço do gráfico e determinar: 
 
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
d) ( ) 
e) ( ) 
f) ( ) 
 
2) Seja h( ) {
 
 
 fazer um esboço do gráfico e determinar: 
O ( ) 
 
 
8 
3) Seja g( ) {
| |
 
 
 
 esboçar o gráfico de g(x) e determinar se 
existirem: 
 
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
 
Limites com a variável tendendo para o . (Limites no infinito) 
Definições: 
I) Seja f uma função definida no intervalo ( ) escreve-se 
 ( ) quando o número L satisfaz à seguinte condição. 
Para 
qualquer | ( ) | . 
II) Seja f uma função definida no intervalo ( ) escreve-se 
 ( ) quando o número L satisfaz à seguinte condição. 
Para 
qualquer | ( ) | . 
Nesse tipo de limite um teorema acaba sendo extremamente útil para 
proporcionar as resoluções: 
Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então: 
 
 
 e 
 
 
 
 . 
Exemplos: 
1) Determinar: 
 
 
. 
2) Determinar: 
 
√ 
 
Limites infinitos: 
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, 
possivelmente, em x=a. Diz-se que: 
 ( ) ( ) 
 | | 
 ( ) ( ) 
 | | . 
 
Teorema: 
 
9 
Se n é umnúmero inteiro positivo qualquer, então 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 {
 
 
 
Teorema: 
Sejam f(x) e g(x) funções tais que ( ) ( ) então: 
1) 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 para valores de x próximos de a. 
2) 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 para valores de x próximos de a. 
Exemplos: 
1) Determinar ( 
 √ 
 
 
) 
 
2) Determinar ( 
 ) 
 
3) Determinar 
 
 
 
 
4) Determinar 
 
 ( ) 
 
 
5) Determinar 
 
 ( ) 
 
Exercícios: 
Calcular os seguintes limites: 
1) ( 
 ) 
R.: 
 
2) ( 
 
 
 
 
 
) 
R.: 2 
 
3) 
 
 
 
R.: 0 
 
4) 
 
 
 
R.: 0 
 
5) 
 
 
 
R.: ⁄ 
 
6) 
 
 
 
R.: 
 
7) 
 
 
 
R.: 
 
8) 
 
 
 
R.: ⁄ 
 
9) 
 
 
 
R.: 
 
10) 
 √ 
 
 
R.: 0 
 
10 
 
11) 
 
 
 
R.: 
 
12) 
 ( )
 
 
R.: ⁄ 
 
13) 
 √ 
 
 
R.: 
 
14) 
√ 
 
 
 R.: 1 
 
15) 
√ 
 
 
R.: -1 
 
16) (√ √ ) 
R.: 0 
 
17) (√ ) 
R.: ⁄ 
 
18) (√ √ ) 
R.: 
19) 
 
 
 
R.: ⁄ 
 
20) 
 
 
 
R.: 
 
21) 
 
 
 
R.: 0 
 
22) 
√ 
 
 
R.: √ 
 
23) 
 
 
 
R.: 
 
24) 
 
 
 
R.: 
 
25) 
 
 
 
R.: 
 
26) 
 
 
 
R.: 
 
27) 
 
 
 
R.: 
 
28) 
 
 
 
R.: 
 
29) 
 
 
 
R.: 
 
30) 
 
 
 
R.: 
 
 
 
 
 
Limites Fundamentais: 
 Os chamados limites fundamentais são na prática limites previamente 
solucionados e que servem como argumento para que ao desenvolver a 
 
11 
solução de outros limites possam ser usados como elementos que possuem 
valores previamente estabelecidos. 
Teorema 1: O 
 
 
 . 
A prova deste teorema pode ser desenvolvida de diversas maneiras. Abaixo 
está apresentada somente uma delas: 
Tomando como base a figura: 
 
 
 
 
 
 
 E, portanto está provado que: 
 
 
 
Teorema 2: ( )
 
 
Corolário: ( 
 
 
) 
Onde este e é o chamado número de Euler e equivale a 2,71828..... 
Teorema 3: 
 
 
 ( ) 
 
Exemplos: 
Calcular: 
 
12 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
3) 
 
 
 
4) 
 
 
 
5) 
 
 
 
Exercícios: 
Calcular os seguintes limites: 
1) 
 
 
 R.: 9 
 
2) 
 
 
 R.: ⁄ 
 
3) 
 
 
 R.: ⁄ 
 
4) 
 
 
 R.: ⁄ 
 
5) 
 
 
 R.: a 
 
6) 
 
 
 
 
 R.: ⁄ 
 
7) 
 (
 
 
)
( ) 
 R.: ⁄ 
 
8) 
 
 
 R.: 0 
 
9) ( 
 
 ⁄ )
 
 R.: e 
 
10) ( 
 
 ⁄ )
 
 R.: 
 
11) (
 
 
)
 
 R.: ⁄ 
 
12) (
 
 
)
 
 R.: e 
 
13) 
 
( ⁄ )
 
 R.: e 
 
14) 
 
 
 R.: 
 
15) 
 
 
 
 
 R.: 
 
 
 
 
16) 
 
 
 R.: 
 
 
17) 
 
 
 R.: b-a