Revisando a Trigonometria

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Matemática 
1. Introdução 
A 
B 
Arco AB 
O 
Ângulo central 
Equivalência:  rd = 180o 
ARCOS e ÂNGULOS 
Matemática 
• São arcos que têm mesma 
origem e mesma 
extremidade. 
• A diferença entre dois 
arcos côngruos é sempre 
um múltiplo de 2. 
• Forma geral: 
 
 
2. Arcos côngruos 
A 
B 
x =  + 2k 
Matemática 
3. Circunferência trigonométrica 
O x 
A’ A 
y 
B 
B’ 
1 
1 
P 
+ 
- 
Matemática 
4. Seno e Cosseno 
O x 
A’ A 
y 
B 
B’ 
P 
M 
N 
 
sen  
cos  
Matemática 
Seno: 
• medido sobre o eixo Y 
• varia de –1 até 1  
 -1  sen  1 
• sinal do seno: 
O x 
A’ A 
y 
B 
B’ 
1 
-1 
4. Seno e Cosseno 
Matemática 
Cosseno: 
• medido sobre o eixo X 
• varia de –1 até 1  
 -1  cos  1 
• sinal do cosseno: 
O x 
A’ A 
y 
B 
B’ 
-1 1 
4. Seno e Cosseno 
Matemática 
5. Tangente 
O x 
A’ A 
y 
B 
B’ 
P 
t 
t // y 
M 
tg  
 
Matemática 
O x 
A’ A 
y 
B 
B’ 
5. Tangente 
Sinal 
Matemática 
6. Redução ao 1º quadrante 
a) 2o quadrante 
• cos ( - x) = - cos x 
• tg ( - x) = - tg x 
a = ( - x) 
O x 
y 
/2 
 0 x 
a 
3/2 
2 • sen ( - x) = sen x 
Matemática 
b) 3o quadrante 
• sen ( + x) = - sen x 
a = ( + x) 
 O x 
y 
/2 
 0 x 
a 
3/2 
2 
6. Redução ao 1º quadrante 
• cos ( + x) = - cos x 
• tg ( + x) = tg x 
Matemática 
c) 4o quadrante 
• sen (2 - x) = - sen x 
a = (2 - x) 
O x 
y 
/2 
 0 x 
a 
3/2 
2 
6. Redução ao 1º quadrante 
• cos (2 - x) = cos x 
• tg (2 - x) = - tg x 
Matemática 
7. Relações entre arcos complementares 
y = /2 - x 
sen x = cos y 
sen y = cos x 
O x 
y 
/2 
 0 x 
3/2 
2 
y 
x 
Matemática 
8. Relações fundamentais 
I. sen2 x + cos2x = 1 
III. cotg x = 
x sen 
x cos 
x tg 
1 
= 
II. tg x = 
x cos 
x sen 
Matemática 
8. Relações fundamentais 
 VI. sec2x = 1 + tg2x 
 VII. csc2x = 1 + cotg2x 
 V. csc x = 
x sen 
1 
IV. sec x = 
x cos 
1 
continuação... 
Matemática 
9. Aplicações práticas 
1. Sabendo-se que cos x = ½ , determine o valor de 
2. Se x é um arco do 1º quadrante e tg x = 2, calcule o valor 
de A = sen x + cos x . 
3. Demonstrar a identidade 
tg x + cotg x = tg x . csc2x 
x g cot 1 
x csc x sec 
y 
- 
- 
= 
Matemática 
10. Soma e diferença de arcos 
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b 
b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b 
c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a 
d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a 
Matemática 
10. Soma e diferença de arcos 
e) 
b a.tg tg 1 
b tg a tg 
- 
+ 
b) tg(a = + 
f) b) - tg(a 
b a.tg tg 1 
b tg - a tg 
+ 
= 
Matemática 
11. Arcos duplos 
a) cos(2a) = cos2a – sen2a 
b) sen(2a) = 2.sen a.cos a 
c) tg(2a) = 
x tg2 1 
x 2.tg 
2 
- 
Matemática 
12. Arcos metade 
2 
cosx 1 
2 
x 
cos a) 
+ 
± = 
2 
cosx - 1 
2 
x 
sen b) ± = 
cosx 1 
cosx - 1 
2 
x 
tg c) 
+ 
± = 
Matemática 
13. Transformação de soma em produto 
2 
q p 
.cos 
2 
q p 
2sen senq senp a) 
- + 
= + 
2 
q p 
.cos 
2 
q - p 
2sen senq - senp b) 
+ 
= 
2 
q p 
.cos 
2 
q p 
2cos cosq cosp c) 
- + 
= + 
2 
q p 
.sen 
2 
q p 
2sen cosq cosp d) 
- + 
- = - 
Matemática 
a) sen x = a ; 
1a1 
O x 
y 
/2 
 0 y 
3/2 
2 
a • sen x = sen y 
 x = y + 2k 
• sen x = sen ( - y) 
 x = ( - y) + 2k 
14. Equações trigonométricas 
Matemática 
ex. Resolva as equações: 
b) sen (2x - ) = 
2 
3 
- 
a) sen x = 
2 
1 
14. Equações trigonométricas 
Matemática 
O x 
y 
/2 
 0 y 
3/2 
2 a 
• cos x = cos y 
 x = y + 2k 
• cos x = cos (2 - y) 
 x = - y + 2k 
b) cos x = a ; 1 a 1    
14. Equações trigonométricas 
Matemática 
ex. Resolva as equações: 
b) cos 2x = 0 
a) cos x = 
2 
2 
14. Equações trigonométricas 
Matemática 
c) tg x = b ; b  IR 
O x 
y 
/2 
 0 y 
3/2 
2 
b 
• tg x = tg y 
 x = y + k 
t 
14. Equações trigonométricas 
Matemática 
ex. Resolva as equações: 
3
a) tg 3x = 
b) tg (2x - ) = 1 
14. Equações trigonométricas 
Matemática 
d) Outras equações: 
1) sen2x + 4cos x = - 4 
2) cos (2x) + cos x = 0 
3) 2sec x = cotg x + tg x ; x [ 0 , 2] 
4) tg2x - 3tg x + 2 = 0 ; x [ 0 , /4 ] 
5) 1 + cos x + cos(2x) = 0 ; x [- , ] 
14. Equações trigonométricas 
Matemática 
a) Função seno : 
 f : IR  IR 
 f(x) = sen x 
A função associa cada arco x da circunferência 
trigonométrica a um número real y = sen x. 
  x  IR  -1  sen x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] 
15. Funções trigonométricas 
Matemática 
a) gráfico : 
15. Funções trigonométricas 
- - 
y 
x 0  3 
2 
2  
2 
 
2 
- 
- 
- 
Matemática 
a) Função seno : 
Periodicidade : sen x = sen ( x + 2) 
Paridade : sen x = - sen (- x) 
• A função y = sen x é ímpar. 
• A função y = sen x é periódica e tem período igual 
a 2 radianos. 
• Se f(x) = a + b.sen(cx + d)  período de f = 
 c 
2  
15. Funções trigonométricas 
Matemática 
b) Função cosseno : 
 f : IR  IR 
 f(x) = cos x 
A função associa cada arco x da circunferência 
trigonométrica a um número real y = cos x. 
  x  IR  -1  cos x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] 
15. Funções trigonométricas 
Matemática 
b) gráfico : 
15. Funções trigonométricas 
- - 
y 
x 0  3 
2 
2  
2 
 
2 
- 
- 
- 
Matemática 
b) Função cosseno : 
Periodicidade : cos x = cos ( x + 2) 
Paridade : cos x = cos (- x) 
• A função y = cos x é par. 
• A função y = cos x é periódica e tem período igual 
a 2 radianos. 
• Se f(x) = a + b. cos(cx + d)  período de f = 
 c 
2  
15. Funções trigonométricas 
Matemática 
ex. Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais 
positivos, uma função periódica de período 3/ 2. 
c) Determine os valores de x onde f assume o seu valor 
máximo. 
b) Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3 , 5 ], 
determine a e b. 
a) Determine c. 
15. Funções trigonométricas 
Matemática 
c) Função tangente : 
 f : D  IR 
 f(x) = tg x 
A função associa cada arco x, x   / 2 + k , da 
circunferência trigonométrica a um número real 
y = tg x. 
Im(f) = IR 
D = { x  IR / x   / 2 + k  } 
15. Funções trigonométricas 
Matemática 
- - 
15. Funçõestrigonométricas 
c) gráfico : 
y 
x 0  3 
2 
2  
2 
 
2 
- 
Matemática 
c) Função tangente : 
Periodicidade : tg x = tg ( x + ) 
Paridade : tg x = - tg (- x) 
• A função y = tg x é ímpar. 
• A função y = tg x é periódica e tem período igual a 
 radianos. 
• Se f(x) = a + b. tg(cx + d)  período de f = 
 c 
 
15. Funções trigonométricas 
Matemática 
ex. Determine o domínio e o período da função 
 f(x) = tg (4x). 
15. Funções trigonométricas