Revisando conjuntos

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INDICE
INTRODUÇÃO
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
DETERMINAÇÃO DE CONJUNTOS
DIAGRAMAS DE VENN
CONJUNTOS ESPECIAIS
RELACÕES ENTRE CONJUNTOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
UNIÃO DE CONJUNTOS
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
DIFERENÇA SIMÉTRICA 
COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO
Na Matemática o conceito de 
conjunto é considerado primitivo 
e portanto não recebe uma 
definição. A palavra CONJUNTO 
deve então ser aceita como um 
termo não definido.
Um conjunto pode ser entendido como 
uma coleção ou agrupamento bem 
definido de objetos de uma 
determinada classe. Os objetos que 
formam um conjunto são chamados 
membros ou elementos do conjunto. 
Exemplo:
Na figura ao lado temos 
um Conjunto de 
Pessoas.
NOTAÇÃO
Todo conjunto é escrito entre chaves { } 
e é representado mediante letras 
maiúsculas A, B, C, ...,seus elementos 
são separados mediante ponto e vírgula.
Exemplo:
O conjunto das letras do alfabeto; a, b, 
c, ..., x, y, z. Pode ser escrito: 
L={ a; b; c; ...; x; y; z}
Exemplo:
A= {a;b;c;d;e} cardinal n(A)=
B= {x;x;x;y;y;z} cardinal n(B)= 
Na teoria de conjuntos não se costuma 
repetir os elementos,por exemplo:
O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplesmente 
será { x; y; z }.
O número de elementos de um conjunto Q é 
chamado de CARDINAL DO CONJUNTO e é 
representado por n(Q).
5
3
INDICE
Para indicar que um elemento pertence a 
um conjunto usa-se o símbolo: Î
Se um elemento não pertence a um 
conjunto usa-se o símbolo: Ï
Exemplo: Seja M = {2;4;6;8;10}
2 MÎ ...lê-se 2 pertenece ao conjunto M
5 MÏ ...lê-se 5 não pertenece ao conjunto M
INDICE
I) POR EXTENSÃO
Há duas formas de determinar um conjunto, 
por Extensão e por Compreensão.
É aquela forma mediante a qual se indica 
cada um dos elementos do conjunto.
Exemplos:
A) O conjunto dos números pares maiores que 5 
e menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
INDICE
B) O conjunto de números negativos 
ímpares maiores que -10.
B = {-9;-7;-5;-3;-1 }
II) POR COMPREENSÃO
É aquela forma mediante a qual se usa uma 
propiedade que caracteriza a todos os 
elementos do conjunto.
Exemplo:
se pode entender que o conjunto P está formado 
pelos números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { os dígitos numéricos }
Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito }
lê-se “ P é o conjunto formado pelos 
elementos x tal que x é um dígito “
Exemplo:
Expressar por extensão e por compreensão o 
conjunto de dias da semana.
Por Extensão: D = { Segunda-feira; Terça-feira; 
Quarta-feira; Quinta-feira; Sexta-feira; Sábado; 
Domingo }
Por Compreensão : D = { x / x = dia da semana }
INDICE
Os diagramas de Venn são devidos ao 
filósofo inglês John Venn (1834-1883) 
servem para representar conjuntos de 
maneira gráfica mediante desenhos ou 
diagramas que podem ser círculos, 
retângulos, triângulos ou qualquer curva 
fechada.
A
MT7
2
3
6
9
ae
i
o
u
(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)84
1 5
INDICE
A = ou A = { } lê-se: “A é o conjunto 
vazio” ou “A é o conjunto nulo “
CONJUNTO VAZIO
É um conjunto que não tem elementos, 
também é chamado de conjunto nulo. 
Geralmente é representado pelos 
símbolos: ou { }
f
f
Exemplos:
M = { números maiores que 9 e menores 
que 5 }
P = { x / }
1 0
X
=
CONJUNTO UNITÁRIO
É o conjunto que tem um único elemento.
Exemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 } G = }{ 2x / x 4 x 0= Ù <
CONJUNTO FINITO
É o conjunto que tem um número limitado 
de elementos.
Exemplos:
E = { x / x é um número ímpar positivo menor 
que 10 }
N = { x / x2 = 4 }
;
CONJUNTO INFINITO
É o conjunto com número ilimitado de 
elementos.
Exemplos:
R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par }
CONJUNTO UNIVERSO
É um conjunto referencial que contem 
todos os elementos de uma situação 
particular, geralmente é representado pela 
letra U
Exemplo: O conjunto universo
;
de todos os números é o conjunto dos 
NÚMEROS COMPLEXOS. INDICE
INCLUSÃO
Um conjunto A está incluso em outro conjunto B 
,se e somente se, todo elemento de A é também 
elemento de B
NOTAÇÃO : ÌA B
Lê-se : A está incluído em B, A é subconjunto de 
B, A está contido em B , A é parte de B.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :
B A
PROPRIEDADES:
I ) Todo conjunto está contido em sí mesmo. ÌA A
II ) O conjunto vazio é considerado contido em 
qualquer conjunto. f Ì A
III ) A está contido em B ( ) equivale a dizer 
que B contém A ( )
ÌA B
ÉB A
IV ) Se A não está contido em B ou A não é 
subconjunto de B significa que pelo menos um 
elemento de A não pertence a B. ( )ËA B
V ) Simbolicamente: Ì Û " Î Þ ÎA B x A x B
CONJUNTOS COMPARÁVEIS
Um conjunto A é COMPARÁVEL com outro 
conjunto B se entre estes dois conjuntos existe 
uma relação de inclusão.
A é comparável com B A B B A
Exemplo: A={1;2;3;4;5} e B={2;4}
1
2 3
4
5A
B
Observe que B está 
contido em A ,e 
portanto A e B são 
COMPARÁVEIS 
Û Ì ÌÚ
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos são iguais se tiverem os mesmos 
elementos.
Exemplo:
A = { x / x2 = 9 } e B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolvendo a equação de cada conjunto 
obtemos em ambos os casos que x é igual a 3 ou 
-3, ou seja : A = {-3;3} e B = {-3;3} ,portanto A=B.
Simbolicamente : = Û Ì Ù ÌA B (A B) (B A)
CONJUNTOS DISJUNTOS
Dois conjuntos são disjuntos quando não têm 
elementos comuns.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :
A B
1
7
5 3
9
2
4
8
6 ý
ü
þ
observe que os 
conjuntos A e B 
não têm elementos 
comuns, portanto 
são CONJUNTOS 
DISJUNTOS
CONJUNTO DE CONJUNTOS
É um conjunto cujos elementos são conjuntos.
Exemplo:
F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} }
Observe que os elementos do conjunto F também 
são conjuntos.
{a} é um elemento do conjunto F então {a} F Î
É correto dizer que {b} F ?Ì Não
Porque {b} é um elemento do conjunto F ,o 
correto é {b} F Î
CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO
O conjunto das partes de um conjunto A 
denotado por P(A) é o conjunto formado por 
todos os subconjuntos de A.
Exemplo: Seja A = { m;n;p }
Os subconjuntos de A são
{m},{n},{p}, {m;n}, {n;p},{m;p}, {m;n;p},Φ
Então o conjunto das partes de A é:
P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ }
QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO das 
partes de A ?
Observe que o conjunto A tem 3 elementos e 
seu conjunto potência P(A) tem 8 elementos.
PROPRIEDADE:
Dado um conjunto A cujo número de elementos é 
n , então o número de elementos de seu conjunto 
potência é 2n.
Exemplo:
Dado o conjunto B ={x / x é um número par e
5< x <15 }. Determinar o cardinal de P(B).
RESPOSTA
Se 5<x<15 e é um 
número par então B= 
{6;8;10;12;14}
Observe que o conjunto 
B tem 5 elementos então:
Card P(B)=n P(B)=25=32
INDICE
EXEMPLOS:
Expressar por extensão os seguintes conjuntos:
A ) { }2P x N/ x 9 0= Î - =
B )
C )
D ) }{T x Q /(3x 4)(x 2) 0= Î - - =
E ) }{B x I /(3x 4)(x 2) 0= Î - - =
{ }2Q x Z / x 9 0= Î - =
{ }2F x R / x 9 0= Î + =
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
{ }4T
3
=
{ }B 2=
RESPOSTAS
INDICE
7
6
55
6
A B
O conjunto “A união B” que se representa por é 
o conjunto formado por todos os elementos que 
pertenecem a A,a B ou a ambos os conjuntos.
ÈA B
}{È = Î Ú ÎA B x / x A x B
Exemplo:
}{ }{= =A 1; 2; 3; 4; 5;6;7 e B 5;6;7;8; 9
9
87
3
1
4
2
}{È =A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9
REPRESENTACÕES GRÁFICAS DA UNIÃO 
DE CONJUNTOS
Se A e B são não 
comparáveis
Se A e B são comparáveis
Se A e B são 
conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
B
AUB AUB=A
AUB={{A};{B}}
PROPIEDADES DA UNIÃO DE 
CONJUNTOS
1. A U A = A
2. A U B = B U A
3. A U Φ = A
4. A U U = U
5. (AUB)UC =AU(BUC)
6. Se AUB=Φ A=Φ Ù B=Φ
INDICEÛ
7
6
55
6
A B
O conjunto “A interseção B” que se representa é o 
conjunto formado por todos os elementos que pertencem a 
A e pertencem a B.
ÇA B
}{A B x / x A x BÇ = Î Ù Î
Exemplo:
}{ }{= =A 1; 2; 3; 4; 5;6;7 e B 5;6;7;8; 9
9
87
3
1
4
2
}{A B 5;6;7Ç =
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA 
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis
Sa A e B são 
conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
A B A B=B
B
A B=Φ
I
I
I
PROPRIEDADES DA INTERSEÇÃO DE 
CONJUNTOS
1. A A = A
2. A B = B A
3. A Φ = Φ
4. A U = A
5. (A B) C =A (B C)
6. AU(B C) =(AUB) (AUC)
A (BUC) =(A B)U(A C)
INDICE
Ç
Ç
Ç
Ç
Ç Ç Ç
Ç Ç
Ç Ç Ç
ÇÇ
7
6
55
6
A B
O conjunto “A menos B” que se representa é 
o conjunto formado por todos os elementos que 
pertencem a A e não pertencem a B.
A B-
}{A B x / x A x B- = Î Ù Ï
Exemplo:
}{ }{= =A 1; 2; 3; 4; 5;6;7 e B 5;6;7;8; 9
9
87
3
1
4
2
}{A B 1;2;3;4- =
7
6
55
6
A B
O conjunto “B menos A” que se representa é 
o conjunto formado por todos os elementos que 
pertencem a B e não pertencem a A.
B A-
}{B A x / x B x A- = Î Ù Ï
Exemplo:
}{ }{= =A 1; 2; 3; 4; 5;6;7 e B 5;6;7;8; 9
9
87
3
1
4
2
}{B A 8;9- =
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA 
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparaveis
Se A e B são 
conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
A - B A - B
B
A - B=A
INDICE
7
6
55
6
A B
O conjunto “A diferença simétrica B ” representado 
é o conjunto formado por todos os elementos que 
pertencem a (A-B) ou(B-A).
A BD
}{A B x / x (A B) x (B A)D = Î - Ú Î -
Exemplo:
}{ }{= =A 1; 2; 3; 4; 5;6;7 e B 5;6;7;8; 9
9
87
3
1
4
2
}{ }{A B 1;2;3;4 8;9D = È
Também é correto afirmar que:
A B (A B) (B A)D = - È -
A B (A B) (A B)D = È - Ç
A B
A-B B-A
A B
Dado um conjunto universo U e um conjunto 
A,chama-se complemento de A ao conjunto 
formado por todos os elementos do universo 
que não pertencem ao conjunto A.
Notação: A’ o AC
Exemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}e
Simbolicamente: }{A ' x / x U x A= Î Ù Ï
A’ = U - A
1
2 3
4
5
6
7
8
9
U AA
A’={2;4;6,8}
PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO
1. (A’)’=A
2. AUA’=U
3. A A’=Φ
4. U’=Φ
5. Φ’=U
INDICE
Ç
Complementar
• Sejam A e B dois conjuntos não vazios e 
. Denomina-se complementar de B 
em ralação a A o conjunto diferença A – B 
e indica-se por CA B (lê-se complementar 
de B em A) dado portanto por:
AB Ì
)(,CA ABBAB Ì-=
Números Naturais ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Inteiros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionais (Q) 
Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Números Irracionais ( I ) I={...; ;....}2; 3; p
Números Reais ( R )
R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2 ; 3
1
2
- 1
5
1
2
4
3
Números Complexos ( C )
C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2 ; 312-
N
Z
Q
I
R
C