Lista de Exercícios Cônicas e vetores.pdf

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PUC-Minas
Engenharia
Geometria Analitica
Lista 1: Retas em R2, Cônicas e Vetores
Professora Luciana Miranda de Souza.
1. Esboce e determine a equação da reta que satisfaz as seguintes propriedades:
(a) a reta que passa pelos pontos (1,−2) e (−3,−5);
(b) a reta que passa pelos pontos (
√
3, 1) e (−2,√2);
(c) a reta paralela à reta y = 3x− 4 e passa pelo ponto P = (1, 2);
(d) a reta perpendicular à reta y = −2x+ 5 e passa pelo ponto P = (1,−2).
2. Determine se os três pontos dados são colineares.
(a) (1,−4) , (−2,−13) e (5, 8);
(b) (1,−7) , (4, 2) e (2, 1);
(c) (
1
2
,−3
2
) , (
1
4
,−13
8
) e (−1
2
,−2);
3. Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção.
(a) y = x− 2 e y = −2x+ 4
(b) y = 2x− 7 e y = −2x+ 1
(c) y = 3x− 1 e y = −5x+ 2
(d) y = 2x− 5 e y = 2x+ 5
4. Considere o quadrilátero ABCD, de vértices A = (−1, 2) , B = (1, 3) ,C = (2,−2) e
D = (0,−3). Determine as coordenadas do ponto de interseção de suas diagonais.
5. Da família de retas 3x−my +m2 = 0, determine as equações daquelas que passam pelo
ponto (−4, 4).
6. Determine o(s) valor(es) de k para que a reta (k + 4)x+ (9− k2)y + (k − 6)2 = 0
(a) seja paralela ao eixo x.
(b) seja paralela ao eixo y.
(c) passe pela origem.
7. Considere as retas r : kx− (k + 2)y = 2 e s : ky − x = 3k. Determine k de modo que r e
s sejam:
(a) concorrentes
(b) paralelas
(c) coincidentes
1
8. Para todo número real p, a equação (p−1)x+4y+p = 0 representa uma reta. Determine
p de modo que a reta seja:
(a) paralela à reta 4x− 2y + 6 = 0.
(b) perpendicular à reta 4y − x = 1.
Cônicas
9. Questões sobre cônicas: Livro Vetores e Geometria Analítica; WINTERLE Paulo, Ed.
Pearson, 2012.)
Cap 8- Cônicas
Parábolas: páginas 172 à 175 - exercícios 1 ao 40, os ímpares.
Elípses: páginas 189 e 191 - exercícios 1 ao 33, os ímpares.
Hipérboles: páginas 204 e 209 - exercícios 1 ao 43, os ímpares.
Vetores
10. Dados os vetores ~p = (2, k) e ~q = (3, 5), determine o valor de k para que:
(a) Os vetores ~p e ~q sejam paralelos.
(b) Os vetores ~p e ~q sejam perpendicutares.
(c) O ângulo θ entre os vetores ~p e ~q seja de 60o.
11. Encontre um vetor ~v que seja paralelo ao vetor ~u = (1,−4, 5) e que tenha norma igual a
7
√
42 e que forme um ângulo obtuso com ~k.
12. O ângulo entre os vetores ~v e~i é agudo, e além disso, ~v é paralelo ao vetor ~u = (−2,−1, 6).
Se ||~v|| = 11, quais são as coordenadas de ~v?
13. Quais são as coordenadas de ~v ∈ R3, se ele é um vetor perpendicular aos vetores ~u1 =
(0, 2,−4) e ~u2 = (3, 0, 0) e ||~v|| = 13
√
5?
14. Encontre o vetor ~v ∈ R3,que é perpendicular aos vetores ~u1 =~i−2~j+~k e ~u2 = −~i+3~j+2~k
e tem comprimento
√
59. Dentre os vetores encontrados, qual forma um ângulo obtuso
com
~i?
15. Você está puxando uma mala com uma força
~F (mostrada a seguir) cuja magnitude é
|~F | = 10N . Encontre as componentes nas direções ~i e ~j de ~F .
2
16. Uma linha exerce uma tração de 12N (|~F | = 12) sobre uma pipa e forma um ângulo de
45
o
com a horizontal. Encontre as componentes horizontal e vertical de
~F , considerando
que a pipa está na origem do sistema de coordenadas.
17. Um avião está voando a 25
o
oeste de norte a 800 Km/h. Encontre a forma componente
da velocidade do avião, considerando que o eixo x positivo representa o sentido leste e o
eixo y positivo, o sentido norte.
18. Um pássaro está voando de seu ninho 5 Km a 60
o
norte de leste, onde pousa em uma
árvore para descansar. Então, ele voa 10 Km no sentido sudeste (45
o
sul de leste) e pousa
em um poste telefônico. Estabeleça um sistema de coordenadas xy de tal maneira que
a origem seja o ninho do pássaro, o eixo x aponte para o leste e o eixo y aponte para o
norte.
(a) Em que ponto está localizada a árvore?
(b) Em que ponto está localizado o poste telefônico?
19. Um carrinho está sendo puxado ao longo de uma superfície horizontal lisa com uma força
F de 20N que forma um ângulo de 45o com a superfície, como mostrado na figura abaixo.
Qual é a força �efetiva� que move o carrinho para frente?
20. Uma abelha se localiza em um ponto P e deseja chegar em um ponto Q localizado 12 m
ao norte de P , em 4s. No local existe um vento para o oeste cuja rapidez (modulo da
velocidade) é de
√
27 m/s. Em que direção e com que rapidez a abelha deve voar para
atingir Q no tempo desejado? (Dica: Considere que o ponto P está na origem do sistema
de coordenadas.)
3
21. (Trabalho realizado por uma força)
Se uma força
~F move um objeto ao longo de um deslocamento ~D = ~PQ, o trabalho
realizado pela componente da força
~F na direção de ~D é dado por: T = |proj ~D ~F || ~D|
(a) Encontre o trabalho realizado por uma força
~F = 5~i ao mover um objeto ao longo
de um tragetória retilínia a partir da origem até o ponto (1,1).
(b) O vento passando sobre a vela de um barco exerce uma força
~F de magnitude de
1000N, conforme mostrado na figura abaixo. Quanto trabalho é realizado pelo vento
para mover o barco 1 Km para frente?
Respostas:
1c)y = 3x− 1;
2a) sim, b) não, c) sim;
3a)(2, 0), b) (2,−3), c) (3
8
, 1
8
), d) @;
4) (1
2
, 0);
5) 3x− 6y − 36 = 0 e 3x+ 2y + 4 = 0;
6a)k = 4, b) k = ±3, c) k = 6;
7a) k 6= 1 e k 6= 2, b) k = 1 ou k = 2, c) @k ∈ R;
8a) p = −7, b) p = 17;
10a) k = 10
3
, (b) k = −6
5
, (c) k = 60±34
√
3
33
;
11) ~v = (−7, 28,−35);
12) ~v = (− 22√
41
,− 11√
41
, 66√
41
) ou ~v = ( 22√
41
, 11√
41
,− 66√
41
);
13) ~v = (0, 26, 13) ou ~v = (0,−26,−13);
14) ~v = (1,−3,−7) ou ~v = (−1, 3, 7);
15)
~F = (5
√
3, 5);
16)
~F = (−6√2,−6√2);
17) ~v = (−338, 09; 725, 05);
18) (a) árvore = (5
2
; 5
√
3
2
) ' (2, 5; 4, 33) (b) poste= = (5+10
√
2
2
; 5
√
3−10√2
2
) ' (9, 59;−2, 74);
19) componente horizontal : 10
√
2 ' 14, 14;
20) Deve voar na direção (−√27, 3) que tem velocidade 6m/s.
4
Lista Para Entregar
(As questões a seguir são para entregar na data marcada no cronograma anexado no
SGA, e valerá 6,0 pontos: Livro Vetores e Geometria Analítica; WINTERLE Paulo, Ed.
Pearson, 2012.)
Retas no plano: Da lista acima - exercícios 4, 5, 6, 7 e 8.
Cap 8
Parábolas: páginas 172 à 175 - exercícios 7, 10, 15, 25, 35 e 40.
Elípses: páginas 189 e 191 - exercícios 3, 7, 12, 18, 28 e 32.
Hipérboles: páginas 204 e 209 - exercícios 3, 14, 33, 37, 39 e 43.
Cap 1 - exercícios 11, 17, 29, 30, 33, 46 e 51;
Cap 2- exercícios 2, 10, 15, 19, 27, 39, 41 e 50;
Cap 3- exercícios 5, 15, 18 e 27;
Cap 4- exercícios 6, 10, 15, 19 e 20.
Bons Estudos!
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