4ª Lista Derivada I

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Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I
Engenharia Metalu´rgica - PUC Minas
Livro do Stewart: Sec¸o˜es 3.4 e 3.5.
Regra da Cadeia:
1-6. Escreva na forma f(g(x)) a func¸a˜o composta. [Identifique a func¸a˜o de dentro
u = g(x) e a de fora y = f(u).] Enta˜o encontre a derivada
dy
dx
:
1. y = sen(4x) 2. y =
√
4 + 3x
3. y = (1− x2)10 4. y = tg(senx)
5. y = e
√
x 6. y = sen(ex)
7-42. Encontre a derivada da func¸a˜o:
7. F (x) = (x3 + 4x)7 8. F (x) = (x2 − x+ 1)3
9. F (x) = 4
√
1 + 2x+ x3 10. F (x) = (1 + x4)
2
3
11. g(t) =
1
(t4 + 1)3
12. f(t) = 3
√
1 + tgt
13. y = cos(a3 + x3) 14. y = a3 + cos3(x)
15. y = e−mx 16. y = 4 sec(5x)
17. g(x) = (1 + 4x)5(3 + x− x2)8 18. h(t) = (t4 − 1)3(t3 + 1)4
19. y = (2x− 5)4(8x2 − 5)−3 20. y = (x2 + 1) 3√x2 + 2
21. y = xe−x
2
22. y = e−5x cos(3x)
23. y = ex cosx 24. y = 101−x
2
25. F (z) =
√
z − 1
z + 1
26. G(y) =
(y − 1)4
(y2 + 2y)5
27. y =
r√
r2 + 1
28. y =
e2u
eu + e−u
29. y = tg(cosx) 30. y =
sen2x
cosx
31. y = 2sen(pix) 32. y = tg2(3θ)
33. y = (1 + cos2 x)6 34. y = xsen
(
1
x
)
35. y = sec2 x+ tg2x 36. y = ektg
√
x
37. y = cotg2(senθ) 38. y = sen(sen(senx))
39. y =
√
x+
√
x 40. y =
√
x+
√
x+
√
x
41. y = sen(tg
√
senx) 42. y = 23
x2
43-46. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado:
43. y = (1 + 2x)10, (0, 1) 44. y = senx+ sen2x, (0, 0)
45. y = sen(sen x), (pi, 0) 46. y = x2e−x
(
1,
1
e
)
53. Suponha que F (x) = f(g(x)) e g(3) = 6, g′(3) = 4, f ′(3) = 2 e f ′(6) = 7.
Encontre F ′(3).
1
54. Suponha que w = u ◦ v e u(0) = 1, v(0) = 2, u′(0) = 3, u′(2) = 4, v′(0) = 5 e
v′(2) = 6. Encontre w′(0).
55. E´ dada uma tabela de valores para f, g, f ′ e g′.
x f(x) g(x) f’(x) g’(x)
1 3 2 4 6
2 1 8 5 7
3 7 2 7 9
(a) Se h(x) = f(g(x)), encontre h′(1).
(b) Se H(x) = g(f(x)), encontre H ′(1).
56. Sejam f e g as func¸o˜es do Exerc´ıcio 55.
(a) Se F (x) = f(f(x)), encontre F ′(2).
(b) Se G(x) = g(g(x)), encontre G′(3).
Derivac¸a˜o Impl´ıcita:
5-20. Encontre
dy
dx
derivando implicitamente.
5. x2 + y2 = 1 6. x2 − y2 = 1
7. x3 + x2y + 4y2 = 6 8. x2 − 2xy + y3 = c
9. x2y + xy2 = 3x 10. y5 + x2y3 = 1 + yex
2
11. x2y2 + xseny = 4 12. 1 + x = sen(xy2)
13. 4 cosx seny = 1 14. ysen(x2) = xsen(y2)
15. ex
2y = x+ y 16.
√
x+ y = 1 + x2y2
17.
√
xy = 1 + x2y 18. tg(x− y) = y
1 + x2
19. xy = cotg(xy) 20. senx+ cos y = senx cos y
21. Se 1 + f(x) + x2[f(x)]3 = 0 e f(1) = 2, ache f ′(1).
22. Se g(x) + xseng(x) = x2 e g(1) = 0, ache g′(1).
23-24. Considere y como uma varia´vel independente e x como a varia´vel dependente
e use a diferenciac¸a˜o impl´ıcita para encontrar
dx
dy
.
23. y4 + x2y2 + yx4 = y + 1 24. (x2 + y2)2 = ax2y
27. Use a derivac¸a˜o impl´ıcita para achar uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no
ponto dado:
x2 + y2(2x2 + 2y2 − x)2, no ponto
(
0,
1
2
)
. (Cardio´ide)
2