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Matrizes em Escada e Condensadas
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Álgebra Linear e Geometria Analítica 2ª aula Mais matrizes especiais Matrizes em escada Exemplo: − −− − −− 100000000 125000000 201130000 243242000 401230021 Exemplo: − −− − −− 100000000 125000000 201130000 243242000 401230021 Exemplo: − −− − −− 100000000 125000000 201130000 243242000 401230021 Matrizes condensadas Exemplo: − − 100000000 021000000 000110000 040201000 000200021 Exemplo: − − 100000000 021000000 000110000 040201000 000200021 Mas afinal como reconhecer se uma matriz está ou não em forma de escada ou está condensada? Definição: Matriz em forma de escada Diz-se que uma matriz Am×n está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer: • Se a linha i é nula todas as linhas abaixo de i são nulas; • Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, todos os elementos da coluna k abaixo de aik são nulos assim como os elementos das colunas anteriores da linha k para baixo. Definição: Matriz em forma de escada (usando notação matemática) Diz-se que uma matriz Am×n está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer: • Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula; • Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, então para p > i e q ≤ k, apq = 0. Definição: PIVOT Quando uma matriz está em forma de escada ao primeiro elemento não nulo de cada linha chama-se pivot. (numa linha nula não há nenhum pivot) (em cada coluna há no máximo um pivot) Exemplo matriz em escada: − −− − −− 100000000 125000000 201130000 243242000 401230021 Exemplo matriz em escada: −− − −− 000000000 000000000 201130000 243242000 401230021 Algumas considerações: • As linhas nulas ficam sempre na parte de baixo da matriz • Pode haver colunas nulas em qualquer posição • Qualquer linha tem sempre o pivot para a direita dos pivots das linhas acima dela Definição: Matriz condensada Diz-se que uma matriz Am×n está na forma condensada se é uma matriz em escada e • Todos os pivots são iguais a 1; • Se aik é o pivot da linha i todos os elementos da coluna k acima de aik são nulos. Exemplo de matriz condensada: − − 100000000 021000000 000110000 040201000 000200021 Exemplo de matriz condensada: − − −− 000000000 000000000 201110000 243201000 401200021 Qualquer matriz pode ser transformada numa matriz em escada ou numa matriz condensada COMO? Operações elementares sobre as linhas de uma matriz Tipos de Operações Elementares −− − 21609 76345 01432 Tipos de Operações Elementares Tipo I: Trocar duas linhas L1 L3 −− − 21609 76345 01432 − −− 01432 76345 21609 Tipos de Operações Elementares Tipo II: Multiplicar uma linha por um escalar não nulo 0.5L1 −− − 21609 76345 01432 −− − 21609 76345 05.025.11 Tipos de Operações Elementares Tipo III: Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar L2 L2- 0.5L1 −− − 21609 76345 01432 −− − 21609 75.555.24 01432 Exemplos: 10100 11001 21010 Exemplos: 10100 11001 21010 10100 21010 11001 Exemplos: 10100 11001 21010 10100 21010 11001 Exemplos: 300 000 321 Exemplos: 300 000 321 000 300 321 Exemplos: 300 000 321 000 300 321 A partir de uma matriz podem- se obter várias matrizes em escada, mas uma única matriz condensada Definição: Característica de uma matriz A característica de uma matriz Am×n é igual ao número de linhas não nulas na sua forma de escada. (é também igual ao número de colunas que têm um pivot e é igual ao número de pivots) Representa-se por car(Am×n ) A uma coluna onde não há um pivot chama-se coluna livre. A uma coluna onde há um pivot chama-se coluna principal. EXEMPLO: Determinar a característica de: − −− = 11001 01110 12101 A Determinar a característica de: − −− = 11001 01110 12101 A L3 L3 + (-1) L1 Determinar a característica de: − −− = 11001 01110 12101 A L3 L3 + (-1) L1 − − −− = 21100 01110 12101 A Determinar a característica de: − −− = 11001 01110 12101 A L3 L3 + (-1) L1 − − −− = 21100 01110 12101 A − − −− = 21100 01110 12101 A A matriz está em forma de escada. Há 3 pivots A matriz tem característica 3. As colunas principais são as 3 primeiras e as duas últimas são as livres; Determinar a característica de: −− − − − −− − = 18411 0530 4864 101193 2532 0321 A Determinar a característica de: −− − − − −− − 18110 0530 4420 10230 2110 0321 −− − − − −− − = 18411 0530 4864 101193 2532 0321 A Determinar a característica de: −− − − − −− − 18110 0530 4420 10230 2110 0321 − − − − −− − 16200 6200 8200 4100 2110 0321 Determinar a característica de: − − − − −− − 16200 6200 8200 4100 2110 0321 − −− − 8000 2000 0000 4100 2110 0321 Determinar a característica de: − −− − 8000 2000 0000 4100 2110 0321 − −− − 0000 2000 8000 4100 2110 0321 Determinara característica de: − −− − 0000 2000 8000 4100 2110 0321 − −− − 0000 0000 8000 4100 2110 0321 Determinar a característica de: − −− − 0000 2000 8000 4100 2110 0321 − −− − 0000 0000 8000 4100 2110 0321 A matriz está em forma de escada. Há 4 pivots. A característica da matriz é 4.
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