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Cálculo de Reações e Momentos em Lajes de Concreto Armado

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
ESTRUTURAS DE 
©2004 by Pearson Education 1-1
PROF. DR. JOSÉ NERES DA SILVA FILHO
CONCRETO ARMADO II
PROF. DR. JOSÉ NERES DA SILVA FILHO
PROF. DR.RODRIGO BARROS
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
AULA 05
CÁLCULO DAS REAÇÕES E MOMENTOS 
©2004 by Pearson Education 1-2
CÁLCULO DAS REAÇÕES E MOMENTOS 
EM LAJES MACIÇAS ISOLADAS
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
1- VÃO LIVRE, VÃO TEÓRICO E CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES
©2004 by Pearson Education 1-3
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
O vão efetivo “ℓef ” (lajes e vigas) é definido a partir da seguinte
expressão:
com a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor
valor entre (t2/2 e 0,3h)
©2004 by Pearson Education 1-4
ATENÇÃO!
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
©2004 by Pearson Education 1-5
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
• Nas lajes armadas em duas direções, as duas armaduras são calculadas para
resistir os momentos fletores nessas direções.
• As denominadas lajes armadas em uma direção, na realidade, também têm
©2004 by Pearson Education 1-6
armaduras nas duas direções. A armadura principal, na direção do menor vão,
é calculada para resistir o momento fletor nessa direção, obtido ignorando-se a
existência da outra direção.
•Portanto, a laje é calculada como se fosse um conjunto de vigas-faixa na
direção do menor vão.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
ATENÇÃO TURMA!
“Nas lajes armadas em uma direção, na direção do maior vão, coloca-se 
armadura de distribuição, com seção transversal mínima dada pela NBR 6118 
(2014). Como a armadura principal é calculada para resistir à totalidade dos 
©2004 by Pearson Education 1-7
(2014). Como a armadura principal é calculada para resistir à totalidade dos 
esforços, a armadura de distribuição tem o objetivo de solidarizar as faixas de 
laje da direção principal, prevendo-se, por exemplo, uma eventual 
concentração de esforços”.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
2- VINCULAÇÃO
©2004 by Pearson Education 1-8
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
©2004 by Pearson Education 1-9
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ESTRUTURAS DE CONCRETOARMADO II
ATENÇÃO TURMA!
“As tabelas para dimensionamento das lajes, em geral, consideram as bordas 
livres, apoiadas ou engastadas, com o mesmo tipo de vínculo ao longo de toda a
extensão dessas bordas. Na prática, outras situações podem acontecer, 
©2004 by Pearson Education 1-10
devendo-se utilizar um critério, específico para cada caso, para o cálculo dos 
momentos fletores e das reações de apoio”.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
• Pode ocorrer, por exemplo, uma borda com uma parte engastada e a outra
apoiada, como mostrado na figura 3. Um critério aproximado, possível para
este caso, é indicado na Tabela 3.
©2004 by Pearson Education 1-11
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
©2004 by Pearson Education 1-12
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
• No caso de lajes adjacentes, como indicado anteriormente, vários aspectos
devem ser analisados para se adotar o tipo de apoio, nos vínculos entre essas
lajes.
©2004 by Pearson Education 1-13
• Uma diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes
adjacentes poderia levar à consideração de borda engastada para uma das lajes
e simplesmente apoiada para a outra, em vez de engastada para ambas.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
©2004 by Pearson Education 1-14
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
3- ESPESSURAS, COBRIMENTOS MÍNIMOS E PRÉ-
DIMENSIONAMENTO
a) Espessuras mínimas
• De acordo com a NBR 6118 (2014), as espessuras das lajes devem respeitar os
seguintes limites mínimos:
©2004 by Pearson Education 1-15
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
3- ESPESSURAS, COBRIMENTOS MÍNIMOS E PRÉ-
DIMENSIONAMENTO
a) Espessuras mínimas
No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo 
a serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn, 
de acordo com o indicado na Tabela
©2004 by Pearson Education 1-16
de acordo com o indicado na Tabela
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
b) Cobrimentos mínimos
• São especificados também os valores mínimos de cobrimento para armaduras
das lajes, de acordo com a agressividade do meio em que se encontram.
©2004 by Pearson Education 1-17
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
c) Pré-dimensionamento da altura útil e da espessura
• Para lajes retangulares com bordas apoiadas ou engastadas, a altura útil d
(em cm) pode ser estimada por meio da expressão:
©2004 by Pearson Education 1-18
• Para lajes em balanço, pode ser usado o critério da NBR 6118 (1978):
Obs: Os coeficientes ψ2 e ψ3 dependem da vinculação e do tipo de aço,
respectivamente. Podem ser encontrados nas tabelas de Pinheiro (1993).
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
4- ESFORÇOS
a) Ações
• As ações devem estar de acordo com as normas NBR 6120 e NBR6118.
• Nas lajes geralmente atuam, além do seu peso próprio, pesos de revestimentos
©2004 by Pearson Education 1-19
de piso e de forro, peso de paredes divisórias e cargas de uso.
• Na avaliação do peso próprio da NBR 6118 (2014), admite-se o peso
específico de 25 kN/m3 para o concreto armado.
• As cargas relativas aos revestimentos de piso e da face inferior da laje
dependem dos materiais utilizados (NBR 6120).
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
b) Reações de apoio
• As ações atuantes nas lajes são transferidas para as vigas de apoio. Embora
essa transferência aconteça com as lajes em comportamento elástico, segundo
a NBR 6118-2014, para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças
retangulares com carga uniforme, podem ser feitas as seguintes aproximações:
©2004 by Pearson Education 1-20
a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos
triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas
correspondentes à análise efetivada com os critérios de 14.7.4 (Análise
plástica), sendo que essas reações podem ser, de maneira aproximada,
consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que
lhes servem de apoio;
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras plásticas
(procedimento conhecido como PROCESSO DAS ÁREAS) podem ser
aproximadas por retas inclinadas, a partir dos vértices, com os seguintes
ângulos :
©2004 by Pearson Education 1-21
— 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
— 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado;
— 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
• Este processo é ilustrado na figura abaixo:
c) Processo das Áreas
©2004 by Pearson Education 1-22
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
• Com base na figura apresentada, as reações de apoio por unidade de largura
serão dadas por:
©2004 by Pearson Education 1-23
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
• Convém destacar que as reações de apoio vx ou v’x distribuem-se em uma
borda de comprimento ly, e vice-versa.
• As reações assim obtidas são consideradas uniformemente distribuídas nas
vigas de apoio, o que representa uma simplificação de cálculo.
©2004 by Pearson Education 1-24
• Vale salientar que na verdade, as reações têm uma distribuição não uniforme,
em geral com valores máximos na parte central das bordas, diminuindo nas
extremidades. Porém, a deslocabilidade das vigas de apoio pode modificar a
distribuição dessas reações.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
d) Cálculo por Tabelas
• O cálculo das reações pode ser feito mediante o uso de tabelas, como as
encontradas em Pinheiro (1993).
• Tais tabelas, baseadas no Processo das Áreas, fornecem coeficientes
adimensionais ( νx , ν'x , νy , ν'y ), a partir das condições de apoio e da relação
©2004 by Pearson Education 1-25
λ = l y / l x , com os quais se calculam as reações, dadas por:
• O fator de multiplicação depende de lx e é o mesmo para todos os casos.
• Para as lajes armadas em uma direção, as reações de apoio são calculadas a
partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição λ =l y / l x > 2.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
Tabelas de Pinheiro,(USP-2007)
©2004 by Pearson Education 1-26
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
5- MOMENTOS FLETORES
• As lajes são solicitadas essencialmente por momentos fletores e forças
cortantes. O cálculo das lajes pode ser feito por dois métodos: o elástico, que
será aqui utilizado, e o plástico (não será visto no curso).
a) Cálculo elástico
©2004 by Pearson Education 1-27
• O cálculo dos esforços solicitantes pode ser feito pela teoria clássica de placas
delgadas (Teoria de Kirchhoff), supondo material homogêneo, isótropo,
elástico e linear.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
• A partir das equações de equilíbrio, das leis constitutivas do material (Lei de
Hooke) e das relações entre deslocamentos e deformações, fazendo-se as
operações matemáticas necessárias, obtém-se a equação fundamental que rege
o problema de placas - Equação de Lagrange:
©2004 by Pearson Education 1-28
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
b) Cálculo por meio de tabelas
• Esses processos numéricos também podem ser utilizados na confecção de
tabelas, como as de Czerny e as de Bares, obtidas por diferenças finitas.
• As tabelas de Pinheiro (2007), empregadas neste trabalho, foram baseadas
©2004 by Pearson Education 1-29
• As tabelas de Pinheiro (2007), empregadas neste trabalho, foram baseadas
nas de Bares (1972), com coeficiente de Poisson igual a 0,15.
• O emprego dessas tabelas é semelhante ao apresentado para as reações de
apoio. Os coeficientes tabelados ( μ x , μ'x , μ y , μ'y ) são adimensionais.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
• Os momentos fletores por unidade de largura são dados pelas expressões:
©2004 by Pearson Education 1-30
• Para as lajes armadas em uma direção, os momentos fletores são calculados a
partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição
λ = l y / l x > 2.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
Tabelas de Pinheiro,(USP-2007)
©2004 by Pearson Education 1-31
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
6- COMPATIBILIZAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES
• Os momentos fletores nos vãos e nos apoios também são conhecidos como
momentos positivos e negativos, respectivamente.
• No cálculo desses momentos fletores, consideram-se os apoios internos de
©2004 by Pearson Education 1-32
lajes contínuas como perfeitamente engastados. Na realidade, isto pode não
ocorrer.
• Em um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas condições de
apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos, resultando, no apoio comum,
dois valores diferentes para o momento negativo. Daí a necessidade de fazer a
compatibilização desses momentos.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
ARMADO II
ATENÇÃO! 
•Se essa correção tende a
diminuir o valor do momento
positivo, como ocorre nas lajes
L1 e L4 da, ignora-se a redução
(a favor da segurança).
• Caso contrário, se houver
acréscimo no valor do momento
positivo, a correção deverá ser
feita, somando-se ao valor deste
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feita, somando-se ao valor deste
momento fletor a média das
variações ocorridas nos
momentos fletores negativos
sobre os respectivos apoios,
como no caso da laje L2.
• Pode acontecer da
compatibilização acarretar
diminuição do momento
positivo, de um lado, e
acréscimo, do outro. Neste caso,
ignora-se a diminuição e
considera-se somente o
acréscimo, como no caso da
laje L3.

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