Q1 AD1 2016 2 Gabarito

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AD1 - GABARITO DA QUESTA˜O 1 - 2016–2
− Coloque seu nome e nu´mero de matr´ıcula na folha de resposta em PDF que sera´ enviada para
correc¸a˜o.
− Esta questa˜o possui dois itens.
Questa˜o 1 [2,5 pontos] A empresa Vaimall S.A. deseja enviar um funciona´rio em uma viagem para
encontrar um cliente, para agilizar a aprovac¸a˜o de alguns contratos pendentes. O funciona´rio deve
embarcar para encontrar o cliente na semana que comec¸a no dia 1 e termina no dia 7 e deve retornar
na semana que comec¸a no dia 8 e termina no dia 14.
Chamaremos de poss´ıvel viagem a cada escolha de data de ida i e de volta v nos crite´rios acima. Por
exemplo, ida no dia 2 e volta no dia 11 e´ uma poss´ıvel viagem, ida em 3 e volta em 9 e´ outra poss´ıvel
viagem. Ida em 1 e volta em 6 na˜o e´ uma poss´ıvel viagem, pois a volta na˜o esta´ na semana de 8 a 14.
O nu´mero de dia´rias de uma poss´ıvel viagem e´ a diferenc¸a entre as datas de ida e volta, isto e´, v− i,
onde i e´ a data de ida e v a de volta. Por exemplo, a poss´ıvel viagem que comec¸a no dia 2 e termina
no dia 11 tem 11− 2 = 9 dia´rias.
(a) Explique como e por que uma poss´ıvel viagem pode ser representada por um par ordenado.
(b) Denote por I o conjunto de datas poss´ıveis para a ida do funciona´rio e por R o conjunto das
datas poss´ıveis para sua volta. Represente os conjuntos I e R, enumerando seus elementos.
(c) De acordo com sua resposta ao item (a) e utilizando os conjuntos I e R descritos no item
(b), determine como representar o conjunto V de todas as poss´ıveis viagens, sem ter que listar
todos os seus elementos.
(d) Como o funciona´rio tera´ muito trabalho em sua ida ao cliente, uma poss´ıvel viagem e´ consi-
derada proveitosa se tiver a durac¸a˜o de, no m´ınimo, 9 dia´rias. Se P e´ o conjunto de todas
as viagens proveitosas, represente o conjunto P por meio de uma propriedade e diga por que
P ⊂ V .
(e) Represente o conjunto P enumerando seus elementos.
O prec¸o da passagem de ida no dia i e´ representado por p(i). Assim, p(2) e´, por exemplo, o prec¸o da
passagem de ida no dia 2. Da mesma forma, o prec¸o da passagem de volta no dia v e´ representado
por p′(v). Assim, p′(10) e´ o prec¸o da passagem de volta no dia 10. Os prec¸os das passagens, para
cada dia, sa˜o dados abaixo:
Viagem de ida:
Dia da viagem 1 2 3 4 5 6 7
Prec¸o em R$ 2000,00 1500,00 1000,00 700,00 500,00 300,00 300,00
Viagem de volta:
Dia da viagem 8 9 10 11 12 13 14
Prec¸o em R$ 500,00 500,00 600,00 700,00 800,00 900,00 1200,00
Como exemplo, temos p(3) = 1000, 00 e p′(12) = 800, 00.
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2
O custo de uma poss´ıvel viagem e´ dado pela soma dos prec¸os das passagens de ida e de volta,
adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria.
Assim, por exemplo, a viagem com ida em 3 e volta em 12 tem custo
p(3) + p′(12) + (12− 3)× 300, 00 = 1000, 00 + 800, 00 + 9× 300, 00 = 4.500, 00.
Note que 12− 3 e´ o nu´mero de dia´rias.
O custo-benef´ıcio de uma poss´ıvel viagem e´ obtido dividindo o custo pelo nu´mero de dia´rias. Assim,
a viagem do exemplo acima, de 3 a 12, tem custo-benef´ıcio igual a 4500, 00/9 = 500, 00.
Como a crise obrigou a empresa a fazer cortes de gastos, uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel,
se o custo benef´ıcio for menor do que R$ 500,00.
(f) Qual e´ o custo de uma viagem de data de ida i e data de volta v? Qual o custo-benef´ıcio
desta viagem?
(g) Se A e´ o conjunto das viagens via´veis, represente o conjunto A por meio de uma propriedade.
Diga por que A ⊂ V .
(h) A empresa quer que a viagem de seu funciona´rio seja proveitosa e via´vel. Represente, por meio
de uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V , P e A, bem como as operac¸o˜es entre conjuntos,
o conjunto das viagens que se enquadram nestes crite´rios.
Por razo˜es de foro ı´ntimo, o funciona´rio diz que na˜o pode voar a`s quintas-feiras e sextas-feiras, que
caem nos dias 5, 6, 12 e 13. As poss´ıveis viagens que possuem algum voo nestas datas sa˜o chamadas,
pelo funciona´rio, de amaldic¸oadas, e o conjunto das viagens amaldic¸oadas e´ denotado por M .
(i) Represente, por uma propriedade, o conjunto M .
(j) Represente, enumerando seus elementos, o conjunto M .
(k) A empresa resolveu compreender as questo˜es ı´ntimas de seu funciona´rio e na˜o deseja submeteˆ-lo
a uma viagem amaldic¸oada, afinal, ele na˜o seria nada produtivo nessas circunstaˆncias. Deter-
mine, por uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V, P,A e M e suas operac¸o˜es, o conjunto
D das viagens que o funciona´rio podera´ fazer.
(l) Represente o conjunto D enumerando seus elementos. [Em algum momento, voceˆ precisara´
calcular o custo-benef´ıcio das viagens. Se prestar atenc¸a˜o ao que esta´ sendo pedido, voceˆ na˜o
precisara´ calcular o custo-benef´ıcio de todas as poss´ıveis viagens (que sa˜o muitas!!!)]
Soluc¸a˜o:
(a) Uma poss´ıvel viagem pode ser pensado como um par ordenado, pois e´ determinada pela escolha
de dois valores, a data de ida e a data de volta, sendo importante a ordem destes valores. Este
par pode ser escrito como (i, v), onde i e´ a data de ida e v a de volta.
(b) I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e R = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
(c) A data de ida de uma poss´ıvel viagem pertence ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a de volta a
{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Assim, (i, v) ∈ I ×R. Portanto,
V = I ×R.
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Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 3
(d) P = {(i, v) ∈ V | v − i > 9}. Temos que P ⊂ V pois todas as viagens proveitosas (isto e´,
todos os elementos de P ) sa˜o, pela pro´pria definic¸a˜o, poss´ıveis viagens (isto e´, elementos de V ).
(e) P = {(1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (2, 11), (2, 12), (2, 13), (2, 14), (3, 12), (3, 13), (3, 14),
(4, 13), (4, 14), (5, 14)}
(f) O custo da viagem de ida em i e volta em v e´ dado pela soma do prec¸o p(i) da passagem de
ida e com o prec¸o p′(v) da volta, adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria, que sendo o
nu´mero de dia´rias e´ dado por v − i. Assim, o custo desta viagem sera´
p(i) + p′(v) + (v − i) · 300, 00.
O custo-benef´ıcio desta viagem sera´ o custo dividido pelo nu´mero de dia´rias, isto e´,
p(i) + p′(v) + (v − i) · 300, 00
v − i .
(g) Utilizando o item acima, podemos escrever
A =
{
(i, v) ∈ V
∣∣∣∣ p(i) + p′(v) + (v − i)× 300, 00v − i 6 500, 00
}
O subconjunto das viagens via´veis e´ um subconjunto de V pela pro´pria definic¸a˜o de viagem
via´vel: “uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel, se...”. Assim, viagens via´veis sa˜o aquelas,
escolhidas dentre as poss´ıveis, que cumpram uma dada propriedade, logo, toda viagem via´vel
(todo elemento de A) e´ tambe´m uma poss´ıvel viagem (um elemento de V ).
(h) As viagens que a empresa gostaria que o funciona´rio fizesse sa˜o proveitosas, logo pertencem a
P , e via´veis, pertencendo portanto a A. Assim, o conjunto destas viagens e´ dada pelo conjunto
P ∩ A.
(i) As viagens amaldic¸oadas sa˜o as poss´ıveis viagens (i, v) ∈ V para as quais a data de ida i seja 5
ou 6 ou a de volta seja 12 ou 13. Assim
M = {(i, v) ∈ V | i = 6 ou i = 5 ou v = 12 ou v = 13}
(j) Listando os elementos, temos
M = {(5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14),
(6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14),
(1, 12), (2, 12), (3, 12), (4, 12), (5, 12), (7, 12),
(1, 13), (2, 13), (3, 13), (4, 13), (5, 13), (7, 13)}.
(k) O conjunto M das viagens que o funciona´rio podera´ fazer sera´ o conjunto das viagens ao mesmo
tempo proveitosas e via´veis, obtido no item vi, excluindo as amaldic¸oadas, logo
D = (P ∩ A)−M.
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(l) Para encontrarmos os elementos do conjunto D = (P ∩ A) −M , precisamos descobrir os que
esta˜o em (P ∩A) e retirar os que estejam em M . Os elementos de (P ∩A) sa˜o os que esta˜o ao
mesmo tempo em P em em A, logo, para cada elementode P , vamos verificar se ele tambe´m
esta´ em A.
Pelo item (e),
P = {(1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (2, 11), (2, 12), (2, 13),
(2, 14), (3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)},
Por agora, vamos calcular o custo benef´ıcio de todas estas viagens para descobrir quem tambe´m
e´ elemento de A (no final da questa˜o, veremos que nem seria necessa´rio fazer todas estas contas,
mas, por enquanto, vamos com cuidado).
Elemento de P Custo-benef´ıcio
(1, 10)
2000 + 600 + 9 · 300
9
' 588, 89
(1, 11)
2000 + 700 + 10 · 300
10
= 570, 00
(1, 12)
2000 + 800 + 11 · 300
11
' 554, 55
(1, 13)
2000 + 900 + 12 · 300
12
' 541, 67
(1, 14)
2000 + 1200 + 13 · 300
13
' 546, 15
(2, 11)
1500 + 700 + 9 · 300
9
' 544, 44
(2, 12)
1500 + 800 + 10 · 300
10
= 530, 00
(2, 13)
1500 + 900 + 11 · 300
11
' 518, 18
(2, 14)
1500 + 1200 + 12 · 300
12
= 525, 00
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Elemento de P Custo-benef´ıcio
(3, 12)
1000 + 800 + 9 · 300
9
= 500, 00
(3, 13)
1000 + 900 + 10 · 300
10
= 490, 00
(3, 14)
1000 + 1200 + 11 · 300
1
= 500, 00
(4, 13)
700 + 900 + 9 · 300
9
' 477, 78
(4, 14)
700 + 1200 + 10 · 300
10
= 490, 00
(5, 14)
500 + 1200 + 9 · 300
9
' 488, 89
Assim,
P ∩ A = {(3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)}
Como
M = {(5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14),
(6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14),
(1, 12), (2, 12), (3, 12), (4, 12), (5, 12), (7, 12),
(1, 13), (2, 13), (3, 13), (4, 13), (5, 13), (7, 13)}.
temos
(P ∩ A)−M = {(3, 14), (4, 14)}.
Pode parecer que fizemos muitas contas na tabela acima, e fizemos mesmo! Mas se tive´ssemos
pensado antes de sair calculando, ter´ıamos percebido que na˜o era necessa´rio calcular o custo-
benef´ıcio das viagens (1, 12), (1, 13), (2, 12), (2, 13), (3, 12), (3, 13), (4, 13) e (5, 13), pois
estas viagens sa˜o elementos de M e, assim, na˜o estariam em (P ∩ A) −M , independente do
custo-benef´ıcio. Assim, bastava termos calculado os custos benef´ıcio de (1, 10), (1, 11), (1, 14),
(2, 11), (2, 14), (3, 14) e (4, 14). As contas se reduziriam a` metade!
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