Apostila de Algebra Linear

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Fortaleza, Fevereiro/2010 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL 
 
 
 
 
APOSTILA DE Álgebra Linear 
 
 
Realização: 
 
II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear 
 
 
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Sumário 
 
1. Matrizes .......................................................................................................................................................... 3 
1.1. Operações com matrizes ............................................................................................................................. 4 
1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz ...................................................................................... 5 
1.3. Questões ..................................................................................................................................................... 6 
2. Determinantes ................................................................................................................................................ 7 
2.1. Regra de Chió .............................................................................................................................................. 8 
2.2. Teorema de Laplace .................................................................................................................................... 9 
2.3. Questões .................................................................................................................................................... 10 
3. Sistemas Lineares ........................................................................................................................................... 11 
3.1. Método do escalonamento ......................................................................................................................... 11 
3.2. Regra de Cramer ........................................................................................................................................ 13 
3.3. Questões .................................................................................................................................................... 13 
4. Vetores ........................................................................................................................................................... 14 
4.1. Adição de Vetores ...................................................................................................................................... 15 
4.2. Multiplicação por escalar ........................................................................................................................... 15 
4.3. Questões .................................................................................................................................................... 16 
5. Operações com vetores .................................................................................................................................. 16 
5.1. Módulo ....................................................................................................................................................... 16 
5.2. Produto escalar (ou produto interno) ......................................................................................................... 16 
5.3. Produto vetorial (ou produto externo)........................................................................................................ 17 
5.4. Questões .................................................................................................................................................... 19 
6. Espaços vetoriais ............................................................................................................................................ 19 
6.1. Questões .................................................................................................................................................... 21 
7. Subespaços vetoriais ...................................................................................................................................... 22 
7.1. Questões .................................................................................................................................................... 24 
8. Interseção, união e soma de subespaços ........................................................................................................ 25 
8.1. Interseção .................................................................................................................................................. 25 
8.2. Soma .......................................................................................................................................................... 26 
8.3. União ......................................................................................................................................................... 27 
8.4. Questões .................................................................................................................................................... 27 
9. Combinação linear .......................................................................................................................................... 27 
9.1. Questões .................................................................................................................................................... 28 
10. Subespaços gerados ................................................................................................................................... 29 
10.1. Questões .................................................................................................................................................... 30 
11. Dependência e Independência Linear ......................................................................................................... 31 
11.1. Questões .................................................................................................................................................... 32 
12. Base de um espaço vetorial ........................................................................................................................ 33 
12.1. Questões .................................................................................................................................................... 36 
13. Dimensão ................................................................................................................................................... 36 
13.1. Questões .................................................................................................................................................... 37 
14. Mudança de base ....................................................................................................................................... 38 
14.1. A inversa da matriz de mudança de base ................................................................................................... 39 
14.2. Questões .................................................................................................................................................... 40 
 
II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear 
 
 
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1. Matrizes 
Sejam m e n inteiros positivos. Chama-se matriz m × n (sobre R) qualquer lista ordenada de m-n 
números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Os números que constituem uma matriz são chamados 
de termos da matriz. 
Uma matriz A, m × n, pode ser denotada como se segue: 
A = 
a11 ⋯ a1n
⋮ ⋱ ⋮
am1 ⋯ amn
 
Ou, simplesmente, A = (aij ), onde 1 < 𝑖 < 𝑚 e 1 < 𝑗 < 𝑛. Notamos que os índices i e j indicam a 
posição que o termo ocupa na matriz. O termo aij está na i-ésima linha e na j-ésima coluna. 
Seja A = (aij ) uma matriz n × n. Chama-se diagonal principal, ou simplesmente diagonal da matriz A, 
a lista ordenada (a11, a22 , . . . , ann ). Chama-se diagonal secundária da matriz A, a lista ordenada 
(a1n , a2(n−1), an1). A soma dos índices dos termos da diagonal secundária é sempre igual a n+1. 
 Igualdade de Matrizes: 
Sendo A = (aij ), e B = (bij ), matrizes, A e B são iguais, se e somente se, aij = bij para quaisquer 
valores de i e de j. 
 Tipos de Matrizes: 
o Chama-se matriz linha toda matriz 1 × 𝑛, ou seja, toda matriz constituída de uma só linha. 
o Chama-se matriz coluna toda matriz 𝑚 × 1, ou seja, toda matriz constituída de uma só 
coluna. 
o Chama-se matriz nula aquela cujos termos são todos nulos. 
o Uma matriz 𝑚 × 𝑛 chama-se quadrada se 𝑚 = 𝑛. 
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular superior se todos os termos que ficam 
abaixo da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 > 𝑗. 
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular inferior se todos os termos que ficam 
acima da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 < 𝑗. 
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se diagonal se todos os termos fora da diagonal 
principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 ≠ 𝑗. 
o Chama-se matriz identidade 𝑛 × 𝑛 a matriz diagonal 𝑛 × 𝑛 cujos termos da diagonal principal 
são todos iguais a 1. Ela é denotada por 𝐼𝑛 ou simplesmente por I. 
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 para quaisquer que sejam i 
e j, isto é, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são iguais. 
o Exemplos: 
2 −1
−1 0
 , 
5 1 3
1 0 2
3 2 1
 , 𝐼𝑛 , toda matriz diagonal. 
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se anti-simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 para quaisquer que 
sejam i e j, ou seja, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são 
números reais simétricos e os termos da diagonal são todos nulos. 
 
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o Exemplos: 
0 1
−1 0
 , 
0 4 8
4 0 −1
−8 1 0
 , matriz quadrada nula. 
1.1. Operações com matrizes 
 Adição de Matrizes: 
Sejam A = (aij ), e B = (bij ) matrizes m × n. Definimos a soma das matrizes A e B como sendo a 
matriz A + B = (cij ), em que cij = aij + bij . Ou seja, somar A com B consiste em somar termos 
correspondentes. 
Propriedades (1): Para quaisquer matrizes m × n, A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ), as seguintes 
propriedades são válidas: 
o Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C; 
o Comutatividade: A + B = B + A; 
o Elemento neutro: A + O = A, onde O é a matriz m × n nula; 
o Matriz oposta: A + (-A) = O, onde −A = (aij ). Chamamos (–A) de matriz oposta de A; 
o Multiplicação de um escalar por uma matriz: Sejam x ∈ R e A = (aij ) uma matriz 
m × n. Definimos o produto da matriz A pelo escalar x como x. A = (x. aij ). Isto é, 
multiplicar x por A consiste em multiplicar x por todos os termos de A. 
Propriedades (2): Para quaisquer que sejam as matrizes m × n, A = (aij ) e B = (bij ) e os números 
reais x e y, valem as seguintes propriedades: 
o x.(A + B) = x.A + x.B (Distributiva para escalar) 
o (x + y).A = x.A + y.A (Distributiva para matrizes) 
o x.(y.A) = (xy).A (Associativa) 
o 1.A = A (1 é o escalar que representa o elemento neutro dessa operação) 
 
 Multiplicação de Matrizes: 
Seja A = (aij ) uma matriz m × n. Denotaremos por Ai a i-ésima linha de A e A
j a j-ésima coluna de A. 
Isto é: 
𝐴𝑖 = 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑛 e 𝐴
𝑗 = 
𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
⋮
𝑎𝑚𝑗
 
Sejam A = (aij ) uma matriz m × n e B = (bjk ) uma matriz n × p. Definimos o produto da matriz A pela 
matriz B como A. B = C = (cij ) = aij bjk
n
j=1 . 
Observação 1: O produto A.B é uma matriz m × p; 
Observação 2: O termo de A.B que se situa na i-ésima linha e na j-ésima coluna é Ai . B
k. 
Observação 3: Quando existe uma matriz A−1 tal que A. A−1 = I, dizemos que A é uma matriz 
invertível, e chamamos A−1 de matriz inversa de A. 
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 Propriedades: 
o Se A é uma matriz m × n, então A. In = Im . A. Isso indica que a matriz identidade é o 
elemento neutro para a multiplicação de matrizes. 
o Se A é uma matriz m × n e B e C são matrizes n × p, então A(B + C) = AB + AC, ou 
seja, a multiplicação se distribui à esquerda em relação à soma de matrizes. 
o Para as mesmas matrizes A, B e C, temos (A + B) = BA + CA, ou seja, a multiplicação 
se distribui à direita em relação à soma de matrizes. 
o Seja A uma matriz m × n, B uma matriz n × p e x ∈ ℝ, então x. (AB) = A(x. B). 
o Se A, B e C são, respectivamente, matrizes m × n, n × p e p × q, então A(BC) =
(AB)C (comutatividade). 
 
 Transposição de Matrizes: 
Seja A uma matriz m × n, definimos a transposta de A como sendo a matriz n × m At = (bji ), em que 
bji = aij . 
Exemplo: 
 
2 3 4 5
−1 0 2 1
 
𝑡
= 
2 −1
3 0
4 2
5 1
 
Propriedades: Sejam x um número real, A e B matrizes m × n e C uma matriz n × p. Então valem as 
seguintes propriedades: 
o At t = A 
o (A + B)t = At + Bt 
o (xA)t = x(A)t 
o (BC)t = CtBt 
1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz 
Seja A uma matriz m × n. Chama-se operação elementar com linhas de A qualquer uma das 
operações descritas a seguir: 
Permutação de duas linhas de A; 
Multiplicação de uma linha de A por um número real não nulo; 
Substituição de Ai por Ai + xAj, em que j ≠ i e x é um número real qualquer. 
Exemplo: 
 
3 0 3 12
2 1 −1 3
 
1
3
𝐴1
 
1 0 1 4
2 1 −1 3
 
𝐴2−2𝐴1
 
1 0 1 4
0 1 −3 −5
 
A primeira operação acima consistiu em multiplicar a primeira linha por 1/3 e a segunda operação em 
substituir a segunda linha por ela mais (-2) vezes a primeira (A2 − 2A1). 
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Sejam A e B matrizes m × n. Dizemos que A é linha-equivalente a B se B pode ser obtida a partir de A 
através de operações elementares com linhas. (No exemplo anterior, notamos que a primeira matriz é 
linha-equivalente à terceira) 
Matriz na forma escada: 
Seja A uma matriz m × n. Dizemos que A é uma matriz na forma escada, se as seguintes condições 
são satisfeitas: 
As possíveis linhas nulas ficam abaixo das possíveis linhas não nulas. 
O primeiro termo não nulo de cada linha não nula é igual a 1. 
Os demais termos da coluna à qual pertence o primeiro termo não nulo de uma linha não nula são 
todos nulos. 
A coluna à qual pertence primeiro termo não nulo de uma linha não nula fica à direita do primeiro 
termo não nulo da linha anterior, isto é, se p é o número de linhas não nulas e se o primeiro termo não 
nulo da i-ésima linha não nula ocorre na ki-ésima coluna, então k1 < k2 < ⋯ < kp . 
 
Exemplos: 
 
1 0 1 4
0 1 −3 5
 , 
1 0 0 −1
0 0 1 5
0 0 0 0
 , 
1 −2 0 0
0 0 1 3
0 0 0 0
 , O, I. 
 
Teorema: Toda matriz m × n é linha-equivalente a uma matriz na forma escada. 
Exemplo: 
 
2 3 −1
−4 0 2
1 1 3
 
1
2
A1
 
1 3/2 −1/2
−4 0 2
1 1 3
 
A2+4A1
A3−A1
 
 
1 3/2 −1/2
0 6 0
0 −1/2 7/2
 
1
6
A2
 
1 3/2 −1/2
0 1 0
0 −1/2 7/2
 
A1−
3
2
A2
A3+
1
2
A2
 
 
1 0 −1/2
0 1 0
0 0 7/2
 
1
7
A3
 
1 0 −1/2
0 1 0
0 0 1
 
A1+
1
2
A3
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
1.3. Questões 
1) Se A = 
1 −2
3 −6
 e B = 
4 2
2 1
 , calcule AB e BA. 
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2) Se A= 
3 −2
−4 3
 , ache B, de modo que B2 = A. 
 
3) Suponha que A≠0 e AB=AC onde A,B,C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida. 
a) B=C? 
b) Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, onde I é a matriz identidade, então B=C? 
 
4) Diz-se que as matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Encontre todas as matrizes 
x y
z w
 que 
sejam comutativas com 
1 1
0 1
 
 
5) Seja A = 
2 2
3 −1
 . 
a) Encontre A2 e A3 . 
b) Se f x = x3 − 3x2 − 2x + 4 , encontre f A 
c) Se g x = x2 − x − 8, encontre g(A) 
 
6) Paracada uma das matrizes a seguir, encontra uma matriz na forma escada, à qual a matriz dada 
é linha equivalente. 
a) 
2 1 5
6 3 15
 
b) 
2 0 −2 0
0 2 −1 0
 
c) 
2 1 5
1 −3 6
 
d) 
1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1
 
e) 
2 −1 3
1 4 2
1 −5 1
4 16 8
 
f) 
0 2 0 2
1 1 0 3
3 −4 0 2
2 −3 0 1
 
 
7) Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução, 
que (𝐴𝐵𝐴−1)𝑛 = 𝐴𝐵𝑛𝐴−1 para todo inteiro positivo n. 
2. Determinantes 
Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Seu cálculo é feito 
somando os termos ligados pelas diagonais paralelas à diagonal principal, e subtraindo deste valor a soma 
dos produtos dos termos ligados pelas setas paralelas à diagonal secundária: 
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Temos que: 
det A = (a11 ∙ a22 ∙ a33 + a12 ∙ a23 ∙ a31 + a21 ∙ a32 ∙ a13) − (a13 ∙ a22 ∙ a31 + a12 ∙ a21 ∙ a33 + a23 ∙ a32
∙ a11) 
Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n, e x um escalar qualquer, essas são algumas das 
propriedades dos seus determinantes: 
o det(x ∙ A) = xn ∙ det A 
o det A = det⁡(At) 
o Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante 
desta matriz será zero. 
o Se A tem duas filas iguais, então detA = 0 
o Se permutarmos duas linhas ou colunas de A, então o determinante muda de sinal. 
o Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det AB = detA. det⁡B 
Observação 1: O determinante de uma matriz triangular ou diagonal é o produto dos termos de sua 
diagonal principal. 
Observação 2: O determinante permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são 
precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. 
A. A−1 = I, aplicando determinante dos dois lados, temos: 
det A. A−1 = detI 
detA. det A−1 = 1 
det A−1 =
1
det A
 
Assim, se o determinante da matriz A for nulo, a matriz inversa não pode existir. 
2.1. Regra de Chió 
Através dessa regra é possível diminuir de n para (n − 1) a ordem de uma matriz quadrada A sem 
alterar o valor do seu determinante. 
A regra prática de Chió consiste em: 
1) Escolher um elemento aij = 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o 
elemento 1). 
2) Suprimir a linha i e a coluna j do elemento aij = 1, obtendo-se o menor complementar do 
referido elemento. 
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3) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam 
nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas. 
4) Multiplicar o determinante obtido no item anterior por (−1)i+j onde i e j designam as ordens da 
linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1 do primeiro item. 
Exemplo: 
det 𝐴 = 
1 5 7
2 4 3
3 2 4
 = 
4 − 5.2 3 − 2.7
2 − 3.5 4 − 3.7
 . (−1)1+1 = 
−6 −11
−13 −17
 = 6.17 − 13.11 = −41 
2.2. Teorema de Laplace 
Chama-se de menor complementar (Dij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A o determinante 
que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz. 
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem a seguir: 
A = 
2 0 3
5 7 9
3 5 1
 , podemos escrever: 
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A. Pela definição, D23 será igual ao 
determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja: 
D23 = 
2 0
3 5
 = 2.5 − 3.0 = 10 
Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matriz o seguinte produto: 
cof aij = (−1)
i+j . Dij 
Assim, por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior é igual a: 
cof a23 = (−1)
2+3. D23 = (−1)
5 . 10 = −10 
 Observações sobre o teorema: 
o O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma 
fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. 
o Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já 
conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só 
recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. Seu uso 
possibilita diminuir a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 
4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. 
o Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha 
ou coluna) que contenha mais zeros, para que seu produto seja nulo. 
 
 
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2.3. Questões 
1) Dadas as matrizes A = 
1 2
1 0
 e B = 
3 −1
0 1
 , calcule 
a) det 𝐴 + det 𝐵 
b) det(A + B) 
 
2) Sejam A e B matrizes do tipo n × n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas: 
a) det(AB) = det(BA) 
b) det A’ = det A 
c) det(2A) = 2 det A 
d) det(A²) = (det A)² 
 
3) Calcule o det A, onde: 
a) A = 
3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
 
b) A = 
i 3 2 −i
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1
 
 
4) Prove que 
 
𝑎1 0 0 0
𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4
𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4
𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4
 = 𝑎1 
𝑏2 𝑏3 𝑏4
𝑐2 𝑐3 𝑐4
𝑑2 𝑑3 𝑑4
 
 
5) Mostre que det 
1 1 1
a b c
a² b² c²
 = a − b b − c (c − a). 
 
6) Verdadeiro ou falso? 
a) Se det A = 1, então A-1 = A. 
b) Se A é uma matriz triangular superior e A-1 existe, então também A-1 será uma 
matriz triangular superior. 
c) Se A é uma matriz escalar n × n da forma kIn , então det A = k
n . 
d) Se A é uma matriz triangular, então det A = a11+. . . +ann . 
 
7) Calcule 
a2 (a + 2)2 (a + 4)2
(a + 2)2 (a + 4)2 (a + 6)2
(a + 4)2 (a + 6)2 (a + 8)2
 . 
 
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8) Mostre que 
cos2a cos2a sen2a
cos2b cos2b sen2b
cos2c cos2c sen2c
 = 0. 
3. Sistemas Lineares 
 Definição 1: Seja 𝑛 um inteiro positivo. Chama-se equação linear a 𝑛 incógnitas toda equação 
do tipo 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 em que 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑛 , 𝑏 são constantes reais e 𝑥1, 𝑥2, ..., 
𝑥𝑛 são incógnitas. Chamamos cada 𝑎𝑖 de coeficiente de 𝑥𝑖 e 𝑏 de termo independente da 
equação. 
 Definição 2: Sejam 𝑚 e 𝑛 inteiros positivos. Chama-se sistema linear a 𝑚 equações e 𝑛 
incógnitas todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas. 
Denotaremos o sistema citado como se segue: 
 
a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = b2
⋮
a31x1 + a32x2 + ⋯ + a3nxn = b3
 
Chama-se solução do sistema toda lista ordenada (x1 , x2 , … , xn) de números reais que satisfaz a 
todas as equações do sistema linear e chama-se conjunto solução do sistema o conjunto constituído de 
todas as soluções. 
Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível 
indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos. 
3.1. Método do escalonamento 
O método do escalonamento consiste em transformar uma matriz qualquer em uma matriz na 
forma escada através de operações elementares com linhas. O objetivo disso é resolver sistemas lineares. 
Para tanto, devemos saber que cada sistema linear tem duas matrizes correspondentes: uma chamada 
matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema e outra chamada matriz completa do sistema. 
Listemos a seguir as matrizes referentes a um sistema genérico: 
 
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn
 
Matriz incompleta 
 
Matriz completa 
 
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Se A é a matriz dos coeficientes, X = 
x1
x2
⋮
xn
 e B = 
b1
b2
⋮
bm
 , então o sistema pode ser representado 
(matricialmente) pelas seguintes equações: 
 
A1 . X = b1
A2 . X = b2
⋮
Am . X = bm
 
O método do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa é C consiste 
em encontrar uma matriz C’, tal que C’ seja linha-equivalente a C e o sistema cuja matriz é C’ já explicite o 
seu conjunto solução.Para tanto, essa matriz deverá estar na forma escada. 
Exemplo: Resolvamos o sistema 
2x + 3y − z = 6
−4x + 2z = −1
x + y + 3z = 0
 , que tem a seguinte matriz completa: 
 
2 3 −1 6
−4 0 2 −1
1 1 3 0
 
Devemos operar essa matriz com linhas, de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma 
escada. 
 
2 3 −1 6
−4 0 2 −1
1 1 3 0
 → 
1 3/2 −1/2 3
−4 0 2 −1
1 1 3 0
 → 
→ 
1 3/2 −1/2 3
0 6 0 11
0 −1/2 7/2 3
 → 
1 3/2 −1/2 3
0 1 0 11
0 −1/2 7/2 3
/6 → 
→ 
1 0 −1/2 1/4
0 1 0 11/6
0 0 7/2 −25/12
 → 
1 0 −1/2 1/4
0 1 0 11/6
0 0 1 −25/42
 → 
1 0 0 −1/21
0 1 0 11/6
0 0 1 −25/42
 
Assim, o sistema inicial é equivalente a 
x = −1/21
y = 11/6
z = −25/42
 . Portanto, está resolvido. 
Observações: 
o Um sistema linear AX = B chama-se homogêneo se B = O. Isto é, se todos os termos 
independentes são nulos. Neste caso, uma solução óbvia é a trivial, composta apenas de 
zeros. (Por exemplo, para n = 3, a solução trivial é (0,0,0).) 
o Se, num sistema linear homogêneo, o número de incógnitas é maior do que o número de 
equações, ele admite solução não trivial. 
o Se m = n, então o sistema linear AX = B tem uma única solução, então A é linha-
equivalente a In . 
 
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3.2. Regra de Cramer 
A regra de Cramer é utilizada para a resolução de um sistema linear a partir do cálculo de 
determinantes. Vamos considerar aqui um sistema linear Ax = B, sendo x uma matriz de incógnitas. 
Seja A uma matriz invertível n × n e seja B ∈ ℝn . Seja Ai a matriz obtida substituindo a i-ésima 
coluna de A por B. Se x for a única solução de Ax = B, então 
xi =
det⁡(Ai)
det⁡(A)
 para i = 1,2, … , n 
Com i variando até n, é possível encontrar as matrizes-solução do sistema, e descobrir se ele é 
possível determinado (quando há somente uma matriz-solução), possível indeterminado (infinitas 
matrizes-solução) ou impossível (nenhuma solução). 
Exemplo: Considerando o sistema de equações: 
x1 + 2x2 + x3 = 5 
2x1 + 2x2 + x3 = 6 
x1 + 2x2 + 3x3 = 9 
Solução: 
det A = 
1 2 1
2 2 1
1 2 3
 = −4 
det A1 = 
5 2 1
6 2 1
9 2 3
 = −4 det A2 = 
1 5 1
2 6 1
1 9 3
 = −4 det A3 = 
1 2 5
2 2 6
1 2 9
 = −8 
Portanto: 
x1 =
−4
−4
= 1 x2 =
−4
−4
= 1 x3 =
−8
−4
= 2 
Então temos como solução a matriz x = 
1
1
2
 e o sistema é possível determinado. 
3.3. Questões 
1) Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) única solução, (ii) 
nenhuma solução, (iii) mais de uma solução. 
a) 
𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1
 
b) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 2
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
 
 
2) Ache as soluções dos problemas dados ou prove que não existem soluções 
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c) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 3𝑦 + 7𝑧 = 0
3𝑥 − 2𝑦 + 8𝑧 = 4
 
d) 
x − y + 2z = 4
3x + y + 4z = 6
x + y + z = 1
 
e) 
2x − y + 5y = 19
x + 5y − 3z = 4 
3x + 2y + 4z = 25
 
f) 
x + 3y + z = 0
2x + 7y + 4z = 0
x + y − 4z = 0
 
 
3) Dado o sistema: 
 
1 2
1 0
0 −1
2 −1
1 2
3 4
2 −1
4 −3
 
𝑥
𝑦
𝑧
𝑤
 = 
2
2
4
8
 
 
a) Encontre uma solução dele sem resolvê-lo (atribua valores para x, y, z e w). 
b) Resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-solução. 
c) Resolva também o sistema homogêneo associado. 
d) Verifique que toda matriz-solução obtida em (b) é a soma de uma matriz-solução 
encontrada em (c) com a solução particular que você encontrou em (a). 
 
4) Dado o sistema linear: 
 
3𝑥 + 5𝑦 + 12𝑧 − 𝑤 = −3
𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 − 𝑤 = −6
2𝑦 + 2𝑧 + 𝑤 = 5
 
a) Discuta a solução do sistema. 
b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que 
torne o sistema impossível. 
 
5) Dê o conjunto solução do seguinte sistema linear: 
 
𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 − 8𝑥4 = 1
𝑥1 + 4𝑥2 + 13𝑥3 − 3𝑥4 = 1
−2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 21𝑥4 = −2
3𝑥2 + 8𝑥3 + 5𝑥4 = 0
 
4. Vetores 
Um vetor é definido por três características: intensidade, direção e sentido. Força, deslocamento 
e velocidade são representados por vetores, mas um vetor pode ser bem mais do que isso. Ao longo do 
curso de Álgebra Linear, o seu conceito será desenvolvido de forma bem mais ampla. Soluções de 
sistemas lineares poderão, por exemplo, ser representadas por vetores. 
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Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma origem e uma extremidade. 
Os segmentos orientados cuja origem é o ponto (0,0) são chamados de vetores no plano, e são muito 
mais fáceis de trabalhar. Para representá-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda à sua 
extremidade, pois já conhecemos seu ponto inicial. A definição segue para vetores no espaço, caso em 
que a origem dos vetores é o ponto (0,0,0), e assim por diante. 
De tal forma, para representar um vetor V = OP com ponto inicial na origem, usa-se usualmente 
a notação de coordenadas V = (a, b, c), mas também existe a notação de matriz coluna V = 
a
b
c
 e matriz 
linha V = a b c . 
Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do vetor por um escalar são operações 
que ficam bem mais simples. 
4.1. Adição de Vetores 
Propriedades: 
o Associatividade: A + B + C = A + B + C, ∀ A, B, C ∈ ℝn 
o Comutatividade: A + B = B + A, ∀ A, B ∈ ℝn . 
o Elemento neutro: 
o Seja O o vetor nulo. Então A + O = A, para qualquer A ∈ ℝn. Assim, O é o elemento neutro 
em relação à operação de adição, o qual chamaremos de elemento nulo de ℝn . 
o Elemento oposto: 
o Dado A = a1 , a2 , … , an , denotaremos por – A o vetor (−a1, −a2, … , −an). Então 
A + (−A) = O. Chamaremos (−A) de elemento oposto a A. 
o Considerando que: A − B = A + −B e as quatro propriedades anteriores, teremos três 
propriedades conseqüentes: 
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐶 ⟹ 𝐵 = 𝐶 
2. 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 ⟹ 𝐴 = 𝐶 − 𝐵 
3. 𝐴 + 𝐴 = 𝐴 ⟹ 𝐴 = 𝑂 
 
Exemplo: 
Sendo v = 1,2 e w = (3,5), temos: 
v + w = 1,2 + 3,5 
v + w = (4,7) 
Do mesmo modo, 2v = (2,4). 
4.2. Multiplicação por escalar 
Sejam A = (a1 , a2 , … , an) ∈ ℝ
n e λ ∈ ℝ. Definimos a multiplicação de A por λ como sendo: 
λ ∙ A = (λa1 , λa2 , … , λan) 
 
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A seguir as propriedades de vetores: 
1. Associativa na adição: 
2. Comutativa: 
3. Existência de elemento neutro na adição: 
4. Existência de elemento oposto: 
5. Distributiva por vetor: 
6. Distributiva por escalar: 
7. Associativa na multiplicação: 
8. Existência de elemento neutro na multiplicação: 
 
4.3. Questões 
1) Determine o vetor X, tal que , para vetores V e U dados. 
 
2) Determine os vetores X e Y, tal que e para vetores V e U 
dados. 
5. Operações com vetores 
5.1. Módulo 
Seja , definimos o módulo ou a norma de um vetor como sendo: 
 
Observação: para , note que o módulo de um vetor é o seu comprimento. Chamaremos de 
vetor unitário todo vetor cuja norma é 1. 
5.2. Produto escalar (ou produto interno) 
Sejam e dois vetores não nulos nos reais. Considere os vetores 
A+B e A - B. 
 
Temos que se, e somente se , pois as diagonais de um paralelogramo só são 
iguais se o paralelogramo é um retângulo. Como consequência dessa condição podemos observar que: 
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𝐴 ⊥ 𝐵 ⟺ 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + … + 𝑎𝑛𝑏𝑛 = 0 
Esta condição é necessária para que dois vetores sejam perpendiculares. 
 
Sejam 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛) e 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛) dois vetores quaisquer em ℝ
𝑛 . O produto escalar é 
definido como a multiplicação termo a termo e a soma dos produtos: 
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + … + 𝑎𝑛𝑏𝑛 
Assim, dois vetores não nulos 𝐴 e 𝐵 em ℝ𝑛 são perpendiculares apenas se 𝐴 ∙ 𝐵 = 0. 
 
Propriedades do produto escalar: 
i. 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴,para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑛 
ii. 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑛 
iii. 𝐴 ∙ 𝜆𝐵 = 𝜆 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝜆𝐴 ∙ 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑛 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ 
iv. 𝐴 ∙ 𝐴 ≥ 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ𝑛 e 𝐴 ∙ 𝐴 = 0 ⟺ 𝐴 = 𝑂 
 
A norma (ou módulo) de um vetor pode ser caracterizada pelo produto escalar: 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴, como é 
provado a seguir: 
𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎1𝑎1 + 𝑎2𝑎2 + … + 𝑎𝑛𝑎𝑛 
 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎12 + 𝑎22 + … + 𝑎𝑛 2 
 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴 
5.3. Produto vetorial (ou produto externo) 
Consideremos dois vetores em 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3) e 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3). Queremos encontrar um vetor 𝐶, em 
ℝ3, de preferência não nulo, de tal forma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B. 
Devemos ter 𝐶. 𝐴 = 0 e 𝐶. 𝐵 = 0. Se 𝐶 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), então: 
 
𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑧 = 0
𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏3𝑧 = 0
 
Tentaremos resolver este sistema. Para isso, começaremos multiplicando a primeira equação por 𝑏2, a 
segunda por −𝑎2 e, em seguida, somaremos as duas equações. 
A seguinte equação é obtida: 
 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 . 𝑥 = 𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2 . 𝑧 
Depois, multiplicando a primeira equação do sistema acima por −𝑏1, a segunda por 𝑎1 e, em seguida, 
somando as duas equações, chegamos a: 
 
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Enfim, temos as seguintes equações: 
 
Agora fica fácil visualizar os valores das variáveis. Se x assumir o valor do coeficiente de z na primeira 
equação, y assumi o valor do coeficiente de z na segunda equação, basta que z assuma o valor dos 
coeficientes de x e de y (que são iguais) para as equações serem verdadeiras. O conjunto-solução é: 
 
Há mais soluções do sistema. Contudo, esta é especialmente chamada de produto vetorial de A por B e 
será denotado por 𝐴 × 𝐵. 
 
 
Note que 𝐴 × 𝐵 é o determinante formal: 
 
em que 
Observe ainda que: , visto que cada gerador (pois temos os 
três vetores que formam a base de ) está num eixo diferente, x, y ou z. 
Nós o chamamos de determinante formal uma vez que não é um determinante formado só por números. 
A primeira linha é constituída de vetores. 
 
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Como vimos, o produto vetorial de dois vetores já surgiu com uma propriedade importante: é um vetor 
simultaneamente perpendicular aos dois vetores. Vejamos a seguir mais propriedades do produto 
vetorial: 
i. 𝐴 × 𝐵 = −(𝐵 × 𝐴) ∈ ℝ3 
ii. 𝐴 × (𝜆𝐵) = 𝜆(𝐴 × 𝐵) = (𝜆𝐴) × 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ 
iii. 𝐴 × 𝜆𝐴 = 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ3 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ 
iv. 𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + (𝐴 × 𝐶) e 
(𝐵 + 𝐶) × 𝐴 = (𝐵 × 𝐴) + (𝐶 × 𝐴), para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3 
v. (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 = (𝐴. 𝐶)𝐵 − (𝐵. 𝐶)𝐴, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3 
vi. (𝐴 × 𝐵). (𝐴 × 𝐵) = (𝐴. 𝐴)(𝐵. 𝐵) − (𝐴. 𝐵)2 
vii. Se A e B são dois vetores não nulos de ℝ3 e θ é a medida do ângulo formado por A e B, então: 
 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 . 𝐵 . 𝑠𝑒𝑛θ 
viii. (Produto misto) 𝐴. 𝐵 × 𝐶 = 
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑐1 𝑐2 𝑐3
 , em que 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3), 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3), e 
𝐶 = (𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3) 
 
5.4. Questões 
1) Ache dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor (5, 2, -1). 
2) Calcule 𝑢. 𝑣, onde: 
a) 𝑢 = (2, −3, 6) e 𝑣 = (8,2, −3) 
b) 𝑢 = (1, −8,0,5) e 𝑣 = (3,6,4) 
c) 𝑢 = (3, −5,2,1) e 𝑣 = (4,1, −2,5) 
 
3) Sejam 𝑢 = (1, −2,5), 𝑣 = (3, 1, −2). Encontre: 
a) 𝑢 + 𝑣 
b) −6𝑢 
c) 2𝑢– 5𝑣 
d) 𝑢. 𝑣 
 
4) Ache dois vetores mutuamente ortogonais de comprimento unitário, e ambos ortogonais ao vetor (2,-
1,3). 
5) Determine o número real positivo c de maneira que os pontos (−1,1, 𝑐) e (−1,1, −𝑐) e a origem sejam 
vértices de um triângulo retângulo em (0,0,0). 
6) Sabendo que o ângulo entre os vetores (2, 1,-1) e (1,-1,m+2) é 60°, determine 𝑚. 
7) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (-1,-2,4), (-4,-2,0) e (3,-2,1). 
6. Espaços vetoriais 
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores. As oito propriedades citadas acima devem ser satisfeitas, 
além de duas operações: soma e multiplicação por escalar. Considerando dois vetores quaisquer de um 
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espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um 
vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V. 
Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: 
 Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉; 
 Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉. 
Se uma dessas duas operações não for válida para um conjunto W, então é porque o conjunto não é um 
espaço vetorial. Dizemos que um espaço vetorial é fechado em relação às duas operações (soma e 
multiplicação por escalar). Para saber se um conjunto é um espaço vetorial, verifica-se se as duas 
operações são válidas e depois se as oito propriedades dos vetores também são válidas. 
 
Observação: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial. Deste modo, os vetores 
desse espaço são matrizes 2x2.Tal conjunto é designado assim: 𝑉 = 𝑀 2,2 . 
 
Exemplo: Seja o conjunto W = { 𝑎, 1 /𝑎 ∈ ℝ}. Com as duas operações de soma e multiplicação por 
escalar definidas, verifique se W é um espaço vetorial. 
Solução: Considere os elementos 3,1 e (5,1) ∈ 𝑊. 
Assim, 
i) Soma: 3,1 + 5,1 = (8,2) ∉ 𝑊 
ii) Produto: 𝛼 3,1 = 3𝛼, 𝛼 ∉ 𝑊 𝑠𝑒 𝛼 ≠ 1, assim não é válido para todo 𝛼 
Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço 
vetorial. 
 
Exemplo: Verifique se o conjunto ℝ3 é um espaço vetorial. 
Solução: Sejam 𝑢 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑣 = 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 e 𝑤 = (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3) vetores de ℝ
3 e 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. 
i) Soma: 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2) ∈ ℝ
3 
Multiplicação por escalar: 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1) ∈ ℝ
3 
ii) 
1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 
= 𝑥2 + 𝑥1 , 𝑦2 + 𝑦1 , 𝑧2 + 𝑧1 = 𝑣 + 𝑢 
2. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 
= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 , 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 , 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 
= 𝑥1 + (𝑥2 + 𝑥3 , 𝑦1 + (𝑦2 + 𝑦3), 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3)] 
= 𝑢 + (𝑣 + 𝑤 ) 
3. ∃0 = 0,0,0 ∈ ℝ3 / 𝑢 + 0 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 0,0,0 = 𝑥1 + 0, 𝑦1 + 0, 𝑧1 + 0 
= 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 
4. ∃ −𝑢 = −𝑥1 , −𝑦1 , −𝑧1 ∈ ℝ
3 / 𝑢 + −𝑢 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + −𝑥1 , −𝑦1 , −𝑧1 
= 𝑥1 − 𝑥1 , 𝑦1 − 𝑦1 , 𝑧1 − 𝑧1 
= 0,0,0 = 0 
5. 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 
= 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝛼 𝑦1 + 𝑦2 , 𝛼 𝑧1 + 𝑧2 
= (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2 , 𝛼𝑦1 + 𝛼𝑦2 , 𝛼𝑧1 + 𝛼𝑧2) 
= (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1) + (𝛼𝑥2 , 𝛼𝑦2 , 𝛼𝑧2) 
= 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 𝛼 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 
= 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 
6. 𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼 + 𝛽 𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 = [ 𝛼 + 𝛽 𝑥1, 𝛼 + 𝛽 𝑦1 , 𝛼 + 𝛽 𝑧1] 
= [𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥1 , 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦1 , 𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧1] 
= 𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 + (𝛽𝑥1 , 𝛽𝑦1 , 𝛽𝑧1) 
= 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 
= 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢 
7. 𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝛼𝛽𝑥1 , 𝛼𝛽𝑦1 , 𝛼𝛽𝑧1 = [𝛼 𝛽𝑥1 , 𝛼 𝛽𝑦1 , 𝛼 𝛽𝑧1 ] 
= 𝛼[(𝛽𝑥1), (𝛽𝑦1), (𝛽𝑧1)] 
= 𝛼[𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ] 
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= 𝛼(𝛽𝑢 ) 
8. 1𝑢 = 1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1 = 1𝑥1 , 1𝑦1 , 1𝑧1 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝑢 
 
Exemplo: Considere em V = ℝ2 o produto por escalar usual, mas com a adição, a operação definida por: 
 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2). Determine se V, com essas operações, é um espaço vetorial. 
Solução: 
i) 
1. Soma: 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2) ∈ 𝑉 
2. Produto por escalar: 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1) ∈ 𝑉 
Logo, V é um espaço fechado em relação a essas duas operações. Portanto, temos que verificar as oito 
propriedades. 
ii) 
1. Associativa na adição: 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2) 
𝑣 + 𝑢 = 𝑥2 , 𝑦2 + 𝑥1 , 𝑦1 = (𝑥2 + 𝑥1 , 𝑦2 + 2𝑦1) 
Como 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 já não é satisfeita, não precisamos mais testar as outras propriedades. V não é 
espaço vetorial. 
 
Exemplo: O conjunto que contém um único objeto, com as operações definidas por: 
 
𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 + 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜
 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜, com 𝛼 ∈ ℝ
 
Solução: 
i) Da própria definição no enunciado, o conjunto é fechado em relação às operações de soma e 
multiplicação por escalar e, portanto, não precisamos verificá-las; 
ii) Substituindo 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 por 𝑥 : 
1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 
𝑣 + 𝑢 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 
 ⇒ 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
2. 
 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 
 ⇒ 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 
3. Seja 𝑛 o vetor nulo. Logo, 𝑢 + 𝑛 = 𝑢 ⇒ 𝑥 + 𝑛 = 𝑥 ⇒ 𝑛 = 𝑥 . Assim, existe vetor nulo, que 
equivale ao próprio 𝑥 . 
4. Seja 𝑝 o vetor oposto. Logo, 𝑢 + 𝑝 = 𝑛 ⇒ 𝑥 + 𝑝 = 𝑥 ⇒ 𝑝 = 𝑥 . Assim, existe vetor oposto, que 
também equivale ao próprio 𝑥 . O vetor oposto de 𝑢 é 𝑢 . 
5. 
𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥 + 𝑥 = 𝛼𝑥 = 𝑥 
𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 
 ⇒  𝑢 + 𝑣 = 𝑢 + 𝑣 
6. 
  + 𝛽 𝑢 =  + 𝛽 𝑥 = 𝑥 
𝑢 + 𝛽𝑢 = 𝑥 + 𝛽𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 
 ⇒ ( + 𝛽)𝑥 = 𝑎𝑢 + 𝛽𝑣 
7. 
 𝛽𝑢 =  𝛽𝑥 = 𝑥 = 𝑥 
 𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥 = 𝑥 
  ⇒  𝛽𝑢 = β 𝑢 
8. 1𝑢 = 1𝑥 = 𝑥 = 𝑢 
 
6.1. Questões 
1) Verifique que 𝑀 2,2 = 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 ∈ ℝ é um espaço vetorial com as operações. 
2) Seja 𝐹 o conjunto de todas as funções reais, de variável real, ou seja 𝐹 = {𝑓: ℝ → ℝ}. O vetor soma 
𝑓 + 𝑔, para quaisquer funções 𝑓 e 𝑔 em 𝐹 é definido por: 
 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 
e para qualquer escalar 𝑟 ∈ ℝ e qualquer 𝑓 ∈ 𝐹 o produto 𝑟𝑓 é tal que: 
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 𝑟𝑓 𝑥 = 𝑟. 𝑓 𝑥 
Mostre que 𝐹, com essas operações, é um espaço vetorial. 
7. Subespaços vetoriais 
Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só 
que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. 
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem 
válidas as mesmas duas operações de antes: 
 Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉; 
 Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉. 
Se ambas as operações forem válidas em W, não é necessário verificar as oito propriedades dos vetores 
para dizer que W é espaço vetorial, pois elas já são válidas em V, que contém W. 
 
Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados triviais): 
1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a origem). 
2. O próprio espaço vetorial: V é subconjunto de si mesmo. 
 
Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de 
multiplicação por escalar: quando 𝛼 = 0 ⇒ 𝛼𝑢 = 0 . 
 
Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que 𝑣 + 𝛼𝑢 ∈ 𝑊, para quaisquer 
𝑣 𝑒 𝑢 ∈ 𝑉 e qualquer 𝛼 ∈ ℝ, em vez de checar as duas operações separadamente. 
 
Exemplo: Em ℝ3, os únicos subespaços são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e o 
próprio ℝ3. 
 
Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(3,3), ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes 
triangulares superiores. W é subespaço de V? 
Solução: 
Está implícito que V é um espaço vetorial. Assim, verificamos as duas operações para W: 
i) 
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑑 𝑒
0 0 𝑓
 + 
𝑔 𝑕 𝑖
0 𝑗 𝑘
0 0 𝑙
 = 
𝑎 + 𝑔 𝑏 + 𝑕 𝑐 + 𝑖
0 𝑑 + 𝑗 𝑒 + 𝑘
0 0 𝑓 + 𝑙
 ∈ 𝑊 
ii) 𝛼 
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑑 𝑒
0 0 𝑓
 = 
𝛼𝑎 𝛼𝑏 𝛼𝑐
0 𝛼𝑑 𝛼𝑒
0 0 𝛼𝑓
 ∈ 𝑊 
Logo, W é subespaço de V. 
Observação: as matrizes triangulares inferiores formam um conjunto que também é subespaço, o que 
também é o caso das matrizes diagonais e das simétricas. 
 
Exemplo: Verifique se o conjunto-solução do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço de 
𝑉 = 𝑀(3,1). 
 
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
 
Solução: Temos o seguinte sistema: 
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
 
𝑥
𝑦
𝑧
 = 
0
0
0
 
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Desta forma, estamos procurando, dentro do espaço vetorial 𝑀(3,1), os vetores que satisfazem o 
sistema, isto é, o conjunto dos vetores-solução. Depois precisamos saber se esse conjunto é subespaço de 
𝑀(3,1). 
Assim, considere os vetores-solução: 
𝑥1
𝑦1
𝑧1
 e 
𝑥2
𝑦2
𝑧2
 
i) 
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
 
𝑥1
𝑦1
𝑧1
 + 
𝑥2
𝑦2
𝑧2
 = 
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
 
𝑥1
𝑦1
𝑧1
 + 
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
 
𝑥2
𝑦2
𝑧2
 = 
0
0
0
 + 
0
0
0
 = 
0
0
0
 
ii) 
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
 𝛼 
𝑥1
𝑦1
𝑧1
 = 𝛼 
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
 
𝑥1
𝑦1
𝑧1
 = 𝛼 
0
0
0
 = 
0
0
0
 
O resultado de (i) e (ii) ainda pertence ao conjunto dos vetores-solução e, portanto, ele é subespaço de 
𝑀(3,1). 
 
Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ2 e 𝑊 = { 𝑥, 𝑥2 / 𝑥 ∈ ℝ}. Verifique se W é subespaço de V. 
Solução: Se escolhermos 𝑢 = 1,1 e 𝑣 = (2,4), temos 𝑢 + 𝑣 = (3,5) ∉ 𝑊. Logo, W não é subespaço. 
 
Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e W o subconjunto de todas as matrizes em que 𝑎11 < 0. Verifique se W é 
subespaço de V. 
Solução: 
i) A condição de soma é satisfeita, pois ainda gera uma matriz em que 𝑎11 < 0. 
ii) Se fizermos 𝛼𝑀, com 𝛼 < 0, temos que 𝑎11 da nova matriz será maior que zero. 
Assim, W não é subespaço. 
 
Exemplo: Verifique se o conjunto solução do sistema linear não-homogêneo abaixo é um subespaço. 
 
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
 
Solução: 
Temos o seguinte sistema: 
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
 
𝑥
𝑦
𝑧
 = 
1
1
0
 e os seguintes vetores-solução: 
𝑥1
𝑦1
𝑧1
 e 
𝑥2
𝑦2
𝑧2
 . 
Assim, 
i) 
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
 . 
𝑥1
𝑦1
𝑧1
 + 
𝑥2
𝑦2
𝑧2
 = 
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
 . 
𝑥1
𝑦1
𝑧1
 + 
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
 . 
𝑥2
𝑦2
𝑧2
 = 
1
1
0
 + 
1
1
0
 = 
2
2
0
 
O vetor dos termos independentes resultante 
2
2
0
 é diferente do vetor do sistema linear 
1
1
0
 . 
Logo, o conjunto dos vetores-solução não é um subespaço de M(3,1). 
 
Exemplo: Seja 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 / 𝑥2 = 2𝑥1 . Sendo S subconjunto de ℝ
2, verifique se S é subespaço de ℝ2. 
Solução: 
i) 𝑐1 , 2𝑐1 + 𝑐2 , 2𝑐2 = 𝑐1 + 𝑐2 , 2𝑐1 + 2𝑐2 = 𝑐1 + 𝑐2 , 2(𝑐1 + 𝑐2) ∈ 𝑆 
ii)  𝑐1 , 2𝑐1 = 𝑐1 , 2𝑐1 ∈ 𝑆 
 
Exemplo: Verifique se 𝑊 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑦 = −2𝑥 + 1 é subespaço de ℝ2. 
 Solução: 
i) 𝑊 = 𝑥, −2𝑥 + 1 / 𝑥 𝜖 ℝ . Como (0,0) ∉ 𝑊, pode-se concluir que o subconjunto 𝑊não é um 
subespaço vetorial de ℝ2. 
 
Exemplo: Verifique se 𝑊 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 / 𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 6 é subespaço de ℝ3. 
 Solução: 
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i) 𝑊 = 6 + 2𝑦 + 4𝑧, 𝑦, 𝑧 ; 𝑦, 𝑧 𝜖 ℝ . Tomando 𝑦 = 0 e 𝑧 = 0 temos (6,0,0). Como (0,0,0) ∉ 
𝑊, então 𝑊não é um subespaço vetorial de ℝ3. 
 
 
7.1. Questões 
1) Mostre que os seguintes subconjuntos de ℝ4 são subespaços 
a) W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 / x + y = 0 e z – t = 0} 
b) U = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 / 2x + y – t = 0 e z = 0} 
 
2) Considere o subespaço S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] de ℝ4. 
a) O vetor ( 
2
3
, 1, -1, 2) pertence a S? 
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S? 
 
3) Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial: 
a) 𝑉 = ℝ3, 𝑊1 = 𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥0𝑦, 𝑊2 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑥 = 𝑦 = 𝑧} e 𝑊3 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑥 = 𝑦} 
b) 𝑉 = ℝ2; 𝑊 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1}; 
4) Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ℝ3? 
a) (x,y,z), tais que z = x3 
b) (x,y,z), tais que z = x + y; 
c) (x,y,z), tais que z >= 0; 
d) (x,y,z), tais que z = 0 e xy >= 0; 
e) (x,y,z), tais que x = z = 0; 
f) (x,y,z),tais que x = -z; 
g) (x,y,z), tais que y = 2x + 1; 
h) (x,y,z), tais que z2 = x2 + y2. 
5) Determine se W é subespaço de ℝ3 ou não, onde W consiste nos vetores (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ3 para os quais: 
a) a = 2b 
b)a ≤ b ≤ c 
c)ab = 0 
d)a = b = c 
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6) Seja W o conjunto de todos os vetores em ℝ4 de forma (x, x+y, y, 2x + 3y), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. 
W é um subespaço de ℝ4? 
 
7) Seja W o conjunto de todos os vetores do ℝ3 da forma (x, y, x2 + y2), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. 
W é um subespaço de ℝ3? 
8) Seja W o conjunto de todos os vetores ℝ4 da forma (x, y, x+1, 2x + y – 3), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. 
W é um subespaço de ℝ4? 
9) Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim: 
i) Reescreva W apresentando seu vetor genérico; 
ii) Verifique se W é subespaço vetorial de V. 
a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4; 𝑥 = 𝑦 e 𝑧 = 2𝑡} sendo 𝑉 = ℝ4; 
b) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem 𝑛 × 𝑛, sendo 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛); 
c) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑦 ≤ 0} sendo 𝑉 = ℝ2; 
d 𝑊 = {(𝑎, 2𝑎, 3𝑎); 𝑎 ∈ ℝ} sendo 𝑉 = ℝ3. 
 
10) Considere o subespaço de ℝ3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(1,1,1). O espaço 
gerado por esses vetores é igual ao ℝ3? Por quê? 
 
8. Interseção, união e soma de subespaços 
8.1. Interseção 
Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 sempre será subespaço de V. 
 
Prova: Inicialmente observamos que 𝑊1 ∩ 𝑊2 nunca é vazio, pois ambos contêm o vetor nulo de V. Assim, 
basta verificar as condições de soma e produto por escalar apresentadas anteriormente para os 
subespaços. Suponha então 𝑤 𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2 
 W1 é subespaço ↔ 
𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1
𝛼𝑣 ∈ 𝑊1
 
 W2 é subespaço ↔ 
𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊2
𝛼𝑣 ∈ 𝑊2
 , deste modo → 
𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2
𝛼𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2
 
 
Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ3, 𝑊1 ∩ 𝑊2 é a reta de interseção dos planos 𝑊1 e 𝑊2. 
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Exemplo: 
Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e 
𝑊1 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 
𝑊2 = {𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠}
 , então 
 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 . 
 
8.2. Soma 
Podemos construir um conjunto que contenha 𝑊1 e 𝑊2 e ainda é subespaço de V. Este conjunto será 
formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W2. 
𝑊1 + 𝑊2 = 𝑢 ∈ 𝑉 / 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 𝑐𝑜𝑚 𝑣 ∈ 𝑊1𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2 
 
Prova: 
Dados: 
𝑢 = 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2
𝑢′ = 𝑤′ + 𝑣′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣′ ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤′ ∈ 𝑊2
 
Temos que: 
𝑢 + 𝑢′ = 𝑤 + 𝑣 + 𝑤 ′ + 𝑣 ′ = 𝑣 + 𝑣′ + 𝑤 + 𝑤 ′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2 
𝛼𝑢 = 𝛼 𝑤 + 𝑣 = 𝛼𝑤 + 𝛼𝑣 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛼𝑤 ∈ 𝑊1 𝑒 𝛼𝑣 ∈ 𝑊2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝛼𝑢 ∈ 𝑊1 + 𝑊2 
Caso os dois subespaços sejam retas não-colineares, a soma deles equivale ao plano formado por elas. 
Se as parcelas 𝑊1 e 𝑊2 têm interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 , a soma 𝑊1 + 𝑊2 é dita soma direta e é denotada 
por 𝑊1⨁𝑊2. 
 
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Exemplo: Seja 𝑊1 = 
𝑎 𝑏
0 0
 e 𝑊2 = 
0 0
𝑐 𝑑
 , onde a, b, c, d ∈ ℝ, então 𝑊1 + 𝑊2 = 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 = 𝑀(2,2). 
Esta é uma soma direta, pois 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 
0 0
0 0
 = 0 . 
 
8.3. União 
A união de dois subespaços 𝑊1 e 𝑊2, diferente da soma, é um conjunto que contém exatamente todos os 
elementos de 𝑊1 e de 𝑊2. Deste modo, nem sempre a união de subespaços é um subespaço. 
 
Exemplo: 
𝑊1 = (𝑥, 0) / 𝑥 ∈ ℝ = 𝑥(1,0) / 𝑥 ∈ ℝ 
𝑊2 = (0, 𝑦) / 𝑦 ∈ ℝ = 𝑦(0,1) / 𝑦 ∈ ℝ 
 
 
W1 e W2 são retas que passam pela origem. Assim, 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 e 𝑊1 ∪ 𝑊2 é o feixe formado pelas 
duas retas, que não é subespaço vetorial de ℝ3. De fato, se somarmos os dois vetores 𝑣 𝑒 𝑤 , vemos que 
𝑣 + 𝑤 está no plano que contém 𝑊1 e 𝑊2, mas 𝑣 + 𝑤 ∉ 𝑊1 ∪ 𝑊2. 
8.4. Questões 
1) Sejam 𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ
4|𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑧 − 𝑡 = 0} e 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ
4|𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0} 
subespaços de ℝ4. 
a) Determine 𝑊1 ∩ 𝑊2 
b) Exiba uma base para 𝑊1 ∩ 𝑊2 
c) Determine 𝑊1 + 𝑊2 
d) 𝑊1 + 𝑊2 é soma direta? Justifique. 
e) 𝑊1 + 𝑊2 = ℝ
4? 
 
9. Combinação linear 
Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente a um espaço vetorial V. Já foi mostrado que 
somar estes vetores entre si em qualquer combinação resultará em um vetor pertencente a V. Também 
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foi mostrado que multiplicar cada vetor por um escalar também gera um resultado pertencente a V, caso 
contrário V não seria um espaço vetorial. 
De fato, sejam 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉 e sejam os escalares 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ. Então qualquer vetor 𝑣 da forma 
𝑣 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 + … + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 
é um elemento do mesmo espaço vetorial V. 
Por ter sido gerado pelos vetores primitivos 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 , o vetor 𝑣 é denominado o resultado de uma 
combinação linear de 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 . 
O conjunto de escalares {𝑎1 , … , 𝑎𝑛} é arbitrário, mas sendo um conjunto de números reais, o vetor 𝑣 
sempre pertencerá a V. 
O vetor 𝑣 não é único, pois para cada combinação de escalares pode gerar um vetor 𝑣 diferente. 
 
Exemplo: O vetor 𝑣 = (−4, −18,7) é combinação linear dos vetores 𝑣 1 = 1, −3,2 e 𝑣 2 = (2,4, −1), já 
que 𝑣 pode ser escrito como 𝑣 = 2𝑣 1 − 3𝑣 2. 
 
9.1. Questões 
1) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3? 
𝑥1 = 4,2, −3 , 𝑥2 = (2,1, −2) e 𝑥3 = (−2, −1,0) 
a) (1,1,1) 
b) 4,2, −6 
c) −2, −1,1 
d) (−1,2,3) 
2) Escreva 𝐸 como combinação linear de 𝐴 = 
1 1
0 −1
 , 𝐵 = 
1 1
−1 0
 , 𝐶 = 
1 −1
0 0
 , onde: 
a) 𝐸 = 
3 −1
1 −2
 
b) 𝐸 = 
2 1
−1 −2
 
3) Considere os vetores 𝑢 = (1, −3,2) e 𝑣 = (2, −1,1) em ℝ3. 
a) Escreva (1,7, −4) como combinação linear de 𝑢 e 𝑣. 
b) Escreva (2, −5,4) como combinação linear de 𝑢 e 𝑣. 
c) Para que valor de 𝑘 o vetor (1, 𝑘, 5) é uma combinação linear de 𝑢 e 𝑣? 
d) Procure uma condição para 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de modo que (𝑎, 𝑏, 𝑐) seja combinação linear de 𝑢 e 𝑣. 
4) Determinar o valor de 𝑘 para que o vetor 𝑢 = (−1, 𝑘, −7) seja combinação linear de 𝑣1 = (1,3,2) e 
𝑣2 = (2,4,1). 
 
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10. Subespaços gerados 
Um conjunto de vetores {𝑣 1, 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛} pode construir vetores 𝑣 por meio de combinação linear. Fazendo 
todas as combinações possíveis (isto é, fazendo cada escalar ter todos os valores reais possíveis), o 
conjunto constrói uma infinidade de vetores que compõem um conjunto expandido. Esse conjunto é um 
subespaço vetorial. O conjunto 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 é chamado de conjunto de vetores de base, pois, em termos 
formais, ele gerou o subespaço W, definido abaixo. 
 
Definição: Um subespaço gerado por um conjunto de vetores 𝐵 = 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 é o conjunto de todos os 
vetores V que são combinações lineares dos vetores 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉. 
𝑊 = 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 = {𝑣 ∈ 𝑉 / 𝑣 = 𝑎1𝑣 1+. . . +𝑎𝑖𝑣 𝑖+. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} 
Obs.: A notação de colchetes informa que o conjunto W é o conjunto gerado por 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 . Não 
confundir com o próprio conjunto gerador 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 . Ou seja, 𝑣 1 , 𝑣 2 é um conjunto com infinitos 
vetores formados da combinação destes dois e {𝑣 1, 𝑣 2} é um conjunto com apenas dois vetores. 
 
Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ3 e 𝑣 ∈ 𝑉 (sendo 𝑣 ≠ 0 ), então 𝑣 = {𝑎𝑣 , 𝑎 ∈ ℝ} é a reta que contém o vetor 𝑣 , 
pois é o conjunto de todos os vetores com a mesma direção de 𝑣 que tem origem em (0,0). 
 
 
Exemplo: Se 𝑣 1 , 𝑣 2 ∈ ℝ
3 são tais que 𝛼𝑣 1 ≠ 𝑣 2 qualquer que seja 𝛼 ∈ ℝ, então 𝑣 1 , 𝑣 2 será o plano que 
passa pela origem e contém𝑣 1 e 𝑣 2: 
 
A condição 𝛼𝑣 1 ≠ 𝑣 2 é importante para garantir que os dois vetores gerem um plano. Caso ela não seja 
satisfeita, os vetores 𝑣 1 e 𝑣 2 seriam colineares, e não existira nenhuma combinação deles que pudesse 
gerar um vetor que não pertencesse à reta que eles geram. 
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Nota-se que um conjunto gerador de dois elementos que um é combinação linear do outro equivale a um 
conjunto gerador com apenas um desses dois elementos. 
Assim, se 𝑣 3 ∈ 𝑣 1 , 𝑣 2 , então 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 = 𝑣 1 , 𝑣 2 , pois todo vetor que pode ser escrito como 
combinação linear de 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 é uma combinação linear apenas de 𝑣 1 e 𝑣 2, já que 𝑣 3 é combinação 
linear de 𝑣 1 e 𝑣 2. 
 
Exemplificando: 
Seja 𝐵 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3} tal que 𝑣 3 = 𝑝𝑣 1 + 𝑞𝑣 2. 
Um elemento qualquer do conjunto gerado por B é da forma: 
𝑣 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 + 𝑎3𝑣 3 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 + 𝑎3(𝑝𝑣 1 + 𝑞𝑣 2) 
= 𝑎1 + 𝑝𝑎3 𝑣 1 + 𝑎2 + 𝑞𝑎3 𝑣 2 = 𝑏1𝑣 1 + 𝑏2𝑣 2 
 
Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ2, 𝑣 1 = (1,0) e 𝑣 2 = (0,1). 
Assim, 𝑉 = 𝑣 1 , 𝑣 2 , pois dado 𝑣 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉, temos 𝑥, 𝑦 = 𝑥 1,0 + 𝑦(0,1), ou seja, 𝑣 = 𝑥𝑣 1 + 𝑦𝑣 2. 
Exemplo: Seja 𝑣 1 = 
1 0
0 0
 e 𝑣 2 = 
0 1
0 0
 , então 𝑣 1 , 𝑣 2 = 
𝑎 𝑏
0 0
 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ ℝ 
 
Observa-se que se em um conjunto gerador existir algum vetor que é combinação linear de outros 
elementos do próprio conjunto gerador, esse elemento é inútil. Eliminá-lo do conjunto gerador não 
modifica o conjunto gerado. Tal propriedade pode ser verificada lembrando que a combinação linear é 
uma soma de vetores, e que a parcela da soma do vetor que é gerado por outros pode ser substituída 
pelos próprios vetores que o geram. 
Assim, qualquer elemento do conjunto gerado por B pode ser escrito como combinação linear de apenas 
𝑣 1 e 𝑣 2. Surge então a necessidade de verificar quando um vetor é combinação linear de outros. 
 
10.1. Questões 
1) Quais dos seguintes conjuntos de vetores é um conjunto gerador de ℝ4? 
a) {(1,0,0,1); (0,1,0,0); (1,1,1,1); (0,1,1,1)} 
b) {(1, −1,0,2); (3, −1,2,1); (1,0,0,1)} 
c) {(0,0,1,1); (−1,1,1,2); (1,1,0,0); (2,1,2,1)} 
2) Resolva o seguinte sistema, usando a Regra de Cramer: 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 = 3
𝑦 − 5𝑧 = 4
 
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11. Dependência e Independência Linear 
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando 
nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de 
combinação linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores é dito 
linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. 
 
Sejam V um espaço vetorial e 𝑣 1, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉. 
Dizemos que o conjunto 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 ou que os vetores 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 são linearmente independentes (LI) se a 
equação 
𝑎1𝑣 1+. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 = 0 
admitir apenas a solução trivial, isto é: 𝑎1 = . . . = 𝑎𝑛 = 0 
Se existir algum 𝑎𝑗 ≠ 0, dizemos que 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 ou que os vetores 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 são linearmente 
dependentes (LD). 
Em outras palavras, o conjunto 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear 
dos outros. 
 
Prova: 
Sejam 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 LD e 𝑎1𝑣 1+. . . +𝑎𝑗𝑣 𝑗 +. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 = 0. Suponha que 𝑎𝑗 ≠ 0 (para ser LD). 
Então 𝑣 𝑗 =
−1
𝑎𝑗
 𝑎1𝑣 1+. . . +𝑎𝑗−1𝑣 𝑗−1 + 𝑎𝑗 +1𝑣 𝑗+1+. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 . 
Portanto, 𝑣 𝑗 é combinação linear. 
Por outro lado, se tivermos 𝑣 1, … , 𝑣 𝑗 , … , 𝑣 𝑛 tal que para algum 𝑗 
𝑣𝑗 = 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑏𝑗−1 ∙ 𝑣𝑗−1 + 𝑏𝑗+1 ∙ 𝑣𝑗+1 + ⋯ + 𝑏𝑛 ∙ 𝑣𝑛 
Então, 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯− 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑏𝑛 ∙ 𝑣𝑛 = 0 
Logo, 𝑏𝑗 = −1 e, portanto, V é LD. 
 
A Independência Linear tem uma interpretação geométrica útil: 
i) Seja 𝑉 = 𝑅2 e 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉. 𝑣1 , 𝑣2 é LD se e somente se 𝑣1 e 𝑣2 estiverem na mesma reta quando 
colocados com seus pontos iniciais na origem 𝑣1 = 𝜆 ∙ 𝑣2 *são pararlelos: 
 
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ii) Seja 𝑉 = 𝑅3 e 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 e 𝑉. 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 é LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando 
colocados com seus pontos iniciais na origem: 
 
 
Exemplo: Os vetores 
1 (2,2,0)v 
 , 
2 (0,5, 3)v  
 e 
3 (0,0,4)v 
 são LI ou LD? 
Solução: Verificando a expressão 
1 2 3(2,2,0) (0,5, 3) (0,0,4) (0,0,0)a a a   
 
 
1 1
1 2 2
2 3 3
2 0 0
2 5 0 0
3 4 0 0
a a
a a a
a a a
   
 
     
      
 
Logo, como o sistema admite somente a solução trivial, os vetores são LI. 
11.1. Questões 
1) Considere dois vetores (𝑎, 𝑏) e (𝑐, 𝑑) no plano. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0, mostre que eles são LD. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠
0, mostre que eles são LI. 
2) Para quais valores de 𝑎 o conjunto de vetores {(3,1,0); (𝑎2 + 2,2,0)} é LD? 
3) Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. 
a) 𝑡2 − 2𝑡 + 3, 2𝑡2 + 𝑡 + 8 e 𝑡2 + 8𝑡 + 7 
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b) 𝑡2 − 1, 𝑡 + 1 e 𝑡 + 2 
4) Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores. 
a) (2,1,1), 3, −4,6 e (4, −9,11) ∈ ℝ3 
b) (2,1), (−1,3) e (4,2) ∈ ℝ2 
c) (1,0,2,4), 0,1,9,2 e (−5,2,8, −16) ∈ ℝ4 R4 
d) (1,4), 3, −1 e (2,5) ∈ ℝ2 
5) Verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI: {(1,2𝑥, −𝑥2), (2, −𝑥, 3𝑥2), (3, −4𝑥, 7𝑥2)}. 
 
 
12. Base de um espaço vetorial 
Considere um espaço vetorial V. Admita a existência de um subconjunto B desse espaço (não 
necessariamente um subespaço) tal que B gere V por combinação linear. Notar que para um espaço 
particular V, B não é único, vários conjuntos B distintos podem gerar V. De fato, o próprio V pode gerar 
ele mesmo. Porém, é mais simples trabalhar com conjuntos menores, e é de interesse resumir um grande 
conjunto V em um pequeno conjunto B. Foi verificado acima que dentro de B quaisquer elementos 
formados por combinações lineares dos outros são “inúteis”. Ou seja, se B for um conjunto LD, existe pelo 
menos um vetor “inútil”, que pode ser eliminado para tornar B menor e mais simples. O processo pode 
continuar até que B se torne LI. Se B é LI, e ainda consegue gerar V (Lembre-se que a eliminação de 
elementos LD de um conjunto gerador não modifica o conjunto gerado) é denominado base. 
 
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto LI gerador deste espaço. É também a maneira mais 
simples de “resumir” o espaço. 
Condições: 
i) {𝑣1 , … , 𝑣𝑛 } é LI 
ii) 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = 𝑉 (O conjunto gera V) Atenção! Todo conjunto LI de um vetorial V é base de um 
subespaço gerado por ele. 
 
Exemplo: Prove que 
{(1,1),( 1,0)}B  
 é base de 2R 
Solução: 
i) 
(1,1) ( 1,0) (0,0)a b    ( , ) (0,0) 0a b a a b B      
é LI 
ii) 
(1,1) ( 1,0) ( , )a b x y    
 
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2( , ) ( , ) gera 
a b x b y x
a b a x y B R
a y
     
     
 
 
 
Exemplo: Prove que 
{(0,1),(0,2)}
 Não é base de 2
R
 
Solução: 
i) 
(0,1) (0,2) (0,0)
(0, 2 ) (0,0) 2
a b
a b a b
   
       
 
Mas como 𝑎 e 𝑏 não são necessariamente zero, o conjunto é LD. 
 
Exemplo: 1,0,0 , 0,1,0 não é base de ℝ3. É LI, mas não gera todo ℝ3, isto é, 1,0,0 , 0,1,0 ≠ ℝ3 
𝑎 ∙ 1,0,0 + 𝑏 ∙ 0,1,0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 
 𝑎, 𝑏, 0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⟹ 𝑧 = 0 
Como o ℝ3 não é composto apenas de pontos com a coordenada z nula, os dois vetores não podem ser 
base. 
 
Exemplo: 𝑉 = 𝑀 2,2 . 
1 0
0 0
 ; 
0 1
0 0
 ; 
0 0
1 0
 ; 
0 0
0 1
 é uma base de 𝑉. 
 
Observação: Existem espaços quenão tem base finita, principalmente quando trabalhamos com espaços 
de funções. Então, precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço. Isto não implica 
que estamos trabalhando com combinações lineares infinitas, mas sim, que cada vetor do espaço é uma 
combinação linear finita daquela “base infinita”. Ou seja, para cada vetor dado, podemos escolher uma 
quantidade finita de vetores da base para escrevê-lo. Por exemplo, o conjunto de todos polinômios de 
coeficientes reais formam um espaço vetorial. Uma base naturalmente definida é {1, 𝑥, 𝑥2 , 𝑥3 , . . . }, que é 
infinita, pois não há restrição para o grau do polinômio. Porém, para formar um polinômio particular é 
possível utilizar um número finito de elementos da base. 
 
Teorema: Sejam 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 vetores não nulos que geram um espaço vetorial 𝑉. Dentre estes vetores 
podemos extrair uma base de 𝑉. 
Prova: 
i) Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 são LI, eles cumprem as condições para uma base e não temos mais nada a fazer. 
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ii) Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 são LD, então existe uma combinação linear deles com algum coeficiente diferente de zero, 
dando o vetor nulo: 𝑥1 ∙ 𝑣1 + … + 𝑥𝑛 ∙ 𝑣𝑛 = 0 
 
Por exemplo, seja 𝑥𝑢 ≠ 0, então: 
𝑣𝑛 = −
𝑥1
𝑥𝑛
∙ 𝑣1 −
𝑥2
𝑥𝑛
∙ 𝑣2 − ⋯− −
𝑥𝑛−1
𝑥𝑛
∙ 𝑣𝑛−1 . 
Ou seja, 𝑣𝑛 é uma combinação linear de 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 e, portanto 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 ainda geram 𝑉. 
Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 ainda for LD, podemos prosseguir da mesma forma até chegar a um subconjunto 
 𝑣1 , … , 𝑣𝑟 com 𝑟 ≤ 𝑛 que ainda geram 𝑉, ou seja, formaremos uma base. 
 
Isto é, de um espaço gerador qualquer é possível retirar elementos “inúteis” até que ele se torne uma 
base. Veremos agora uma propriedade curiosa dos espaços vetoriais: o número de elementos de 
qualquer base de um espaço vetorial particular é constante, independe da base escolhida. Este número é 
uma propriedade inerente à natureza do espaço. 
 
Teorema: Seja um espaço vetorial 𝑉 gerado por um conjunto de vetores 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 . Então, qualquer 
conjunto LI tem no máximo "𝑛" vetores. 
Prova: Como 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = 𝑉, então podemos extrair uma base para 𝑉. Seja {𝑣1 , … , 𝑣𝑟 } com 𝑟 ≤ 𝑛, esta 
base. Considere agora 𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑚 , 𝑚 vetores de 𝑉, com 𝑚 > 𝑛. 
 
Então, existem constantes tais que: 
 (𝑖) 
𝑤1 = 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟 
𝑤2 = 𝑎21 ∙ 𝑣1 + 𝑎22 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎2𝑟 ∙ 𝑣𝑟 
⋮
𝑤𝑚 = 𝑎𝑚1 ∙ 𝑣1 + 𝑎𝑚2 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟 
 
Consideremos agora uma função linear de 𝑤1 , … , 𝑤𝑛 dando zero: 
 (𝑖𝑖)0 = 𝑥1 ∙ 𝑤1 + 𝑥2 ∙ 𝑤2 +. . . +𝑥𝑚 ∙ 𝑤𝑚 
 
Substituindo (𝑖) em (𝑖𝑖), temos: 
0 = 𝑥1 ∙ 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟 +. . . +𝑥𝑚 ∙ 𝑎𝑚1 ∙ 𝑣1 + 𝑎𝑚2 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟 
0 = 𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎21 ∙ 𝑥2+. . . +𝑎𝑚1 ∙ 𝑥𝑚 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1 + 𝑎2𝑟 ∙ 𝑥𝑟+. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑥𝑚 ∙ 𝑣𝑟 
 
Como 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 são LI, então os coeficientes dessa equação devem ser nulos: 
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𝑎11 ∙ 𝑥1+. . . 𝑎𝑚1 ∙ 𝑥𝑚 = 0
⋮
𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1+. . . 𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑥𝑚 = 0
 
 
Temos então um sistema linear homogêneo com 𝑟 equações e 𝑚 incógnitas 𝑥1 , … , 𝑥𝑚 e, como 
𝑟 ≤ 𝑛 < 𝑚, ele admite uma solução não trivial, ou seja, existe uma solução com algum 𝑥𝑖 não nulo. 
Portanto 𝑤1 , … , 𝑤𝑚 são LD. 
12.1. Questões 
1) Quais são as coordenadas de x = (1,0,0) em relação à base β = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}? 
13. Dimensão 
A dimensão de um espaço vetorial 𝑉 é definida como o número de vetores de uma base de 𝑉 e é 
denotada por 𝑑𝑖𝑚 𝑉. Se 𝑉 não possui base, 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 0. 
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e o número de bases 
para cada espaço vetorial é infinito. 
 
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ2 = 2, pois toda base do ℝ2 tem dois vetores, como { 1,0 ; 0,1 } ou { 1,1 ; 0,1 }. 
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ𝑛 = 𝑛. 
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 2,2 = 4. 
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 𝑚, 𝑛 = 𝑚𝑥𝑛. 
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑃𝑛 = 𝑛 + 1 (polinômios de grau n). 
Exemplo: dim 0 = 0, pois a origem é apenas um ponto. 
 
Observação: Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de 
dimensão finita. 
 
Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser 
completado de modo a formar uma base de V. 
Prova: Seja 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 e 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 vetores LI, com 𝑖 ≤ 𝑛. 
i) Se 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 = 𝑉, então 𝑖 = 𝑛 e o conjunto forma uma base. 
ii) Se existe 𝑣 𝑖+1 ∈ 𝑉 
tal que 𝑣 𝑖+1 ∉ 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , isto é, 𝑣 𝑖+1 não é uma combinação linear de 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 
então {𝑣 1, … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1} é LI. Se 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 = 𝑉, então {𝑣 1, … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1} é a base procurada. Caso 
contrário, existe 𝑣 𝑖+2 ∉ 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 e {𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1, 𝑣 𝑖+2} é LI. Se 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+2 = 𝑉, 
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nossa prova está concluída. Se não, prosseguimos analogamente. Como não poderemos ter mais do 
que n vetores LI em V, então após um número finito de passos teremos obtido uma base de V. 
 
Teorema: Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V. 
Prova: Se não formasse uma base, poderíamos completar o conjunto até formá-la e dessa forma teríamos 
uma base com mais do que n vetores em V, o que é um absurdo. 
 
Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤
𝑑𝑖𝑚𝑉 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉. Além disso: 
dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim⁡(𝑈 ∩ 𝑊) 
 
Para permitir uma interpretação geométrica, consideramos o espaço tridimensional ℝ3. A dimensão de 
qualquer subespaço S de ℝ3 só poderá ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos: 
i) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 0, então 𝑆 = {0 }. Ou seja, o subespaço é a origem (apenas um ponto); 
ii) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 1, então S é uma reta que passa pela origem; 
iii) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 2, então S é um plano que passa pela origem; 
iv) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 3, então S é o próprio ℝ3. 
 
13.1. Questões 
1) Ilustre com um exemplo a proposição: “se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem 
dimensão finita então dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim⁡(𝑈 ∩ 𝑊)”. 
2) Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes 2 × 2. Qual a dimensão desse espaço? 
3) Resolva a questão anterior considerando o espaço das matrizes 3 × 3. E qual seria a dimensão de um 
espaço de matrizes 𝑛 × 𝑛? 
4) Seja V o espaço das matrizes 2 × 2, e seja W o subespaços gerado por 
 
1 −5
−4 2
 , 
1 1
−1 5
 , 
2 −4
−5 7
 , 
1 −7
−5 1
 
Encontre uma base e a dimensão de W. 
5) Considere o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores 𝑣1 = (1, −1,0,0), 𝑣2 = (0,0,1,1), 
𝑣3 = −2,2,1,1 e 𝑣4 = (1,0,0,0). 
a) O vetor (2, −3,2,2) pertence a [𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4]? Justifique. 
b) Exiba uma base para [𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4]. Qual a dimensão? 
c) 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 = ℝ
4? Por quê? 
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14. Mudança de base 
Sejam 𝛽 = {𝑢 𝑖 , … , 𝑢 𝑛} e 𝛽′ = {𝑤 𝑖 , … , 𝑤 𝑛} duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V de 
dimensão 𝑛. Dado 𝑣 ∈ 𝑉, podemos escrevê-lo como: 
(i)
1 1
1 1
...
...
n n
n n
v x u x u
v y w y w
  

  
  
  
 
Devemos relacionar 𝑣 𝛽 = 
𝑥1
…
𝑥𝑛
 com 𝑣 𝛽′ = 
𝑦1
…
𝑦𝑛
 . 
Já que {𝑢 1 , …𝑢 𝑛} é base de V, podemos escrever os vetores 𝑤 𝑖 como combinação linear dos vetores 𝑢 𝑖 : 
(ii)
1 11 1 21 2 1
2 12 1 222 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
n n n nn n
w a u a u a u
w a u a u a u
w a u a u a u
   

   


    
   
   
   
 
Substituindo (ii) na segunda equação de (i), temos: 
1 1 ... n nv y w y w  
  
 
= 
1y
(
11 1 21 2 1... n na u a u a u  
  
) + ... + 
ny
(
1 1 2 2 ...n n nn na u a u a u  
  
) 
11 1 1 1 1 1( ... ) ... ( ... )n n n nn n na y a y u a y a y u      
 
 
Mas 
1 1 ... n nv x u x u  
  
, e, como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos: 
1 11 1 1
1 1
...
...
...
n n
n n nn n
x a y a y
x a y a y
  


   
 ↔ 
𝑥1
…
𝑥𝑛
 = 
𝑎11 … 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛
 
𝑦1
…
𝑦𝑛
 
A matriz dos coeficientes está atuando como uma matriz de mudança de base, pois transforma o vetor 
 𝑣 𝛽′ = 
𝑦1
…
𝑦𝑛
 em outro 𝑣 𝛽 = 
𝑥1
…
𝑥𝑛
 , numa segunda base. Assim: 
 
𝑎11 … 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛
 = 𝐼 𝛽
𝛽 ′
 
Esta é a matriz de mudança de base da base 𝛽′para a base 𝛽. 
 
Uma vez obtida 𝐼 𝛽
𝛽 ′
, podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor 𝑣 em relação à base 𝛽 
multiplicando a matriz pelas coordenadas de 𝑣 em relação à base 𝛽′ (ambas as bases supostamente 
conhecidas). 
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 𝑣 𝛽 = 𝐼 𝛽
𝛽 ′ 𝑣 𝛽′ 
 
Observação: Note que a matriz 𝐼 𝛽
𝛽 ′
é obtida de (ii) transpondo a matriz dos coeficientes. 
 
Questão: Calcule 𝑣 𝛽de 𝑣 = (5, −8) para 𝛽 = { 2, −1 ; 3,4 } e 𝛽
′ = { 1,0 ; 0,1 }. 
Solução 1: 
i) Inicialmente, procurando 𝐼 𝛽
𝛽 ′
, então colocamos 𝛽′em função de 𝛽: 
 
w1 = 1, 0 = a11 2, −1 + a21 3, 4 = 2a11 + 3a21 , −a11 + 4a21 
w2 = 0, 1 = a12 2, −1 + a22 3, 4 = 2a12 + 3a22 , −a12 + 4a22 
 
 
𝑎11 =
4
11
 ; 𝑎12 =
−3
11
 ; 𝑎21 =
1
11
 ; 𝑎22 =
2
11
 
 
Dessa forma, 
  11 12
21 22
4 3
11 11
1 2
11 11
a a
I
a a



 
  
    
   
  
 
ii)      
4 3
5 411 11
5, 8 5, 8
1 2 3 1
11 11
I

 


 
     
                    
  
 
Isto é, 
(5, 8) 4(2, 1) 1(3,4)   
; 
Solução 2: Basta resolver o sistema: 
(5, 8) (2, 1) (3,4)a b   
 
 2 3 5
4 8
a b
a b
 

   
  4
1
a
b


 
 
 
Observação: O cálculo feito da matriz de mudança de base só é vantajoso quando se trabalha com vários 
vetores, para não ter que resolver um sistema de equações a cada vetor. 
14.1. A inversa da matriz de mudança de base 
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Um fato importante é que a matriz 𝐼 𝛽
𝛽′
é invertível e 𝐼 𝛽
𝛽′
 
−1
= 𝐼 𝛽′
𝛽
. Dessa forma, podemos usá-la 
para encontrar 𝑣 𝛽′ pois 𝑣 𝛽′ = 𝐼 𝛽′
𝛽 𝑣 𝛽 . 
14.2. Questões 
1) Se [𝐼]𝛼
𝑎′ = 
1 1 0
0 −1 1
1 0 −1
 , ache [𝑣]𝑎′ onde [𝑣]𝛼 = 
−1
2
3
 . 
 
2) Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [𝐼]𝛼
𝛼? 
 
3) Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam 𝛽 e 𝛽′ duas bases de V tais 
que 𝛽 = 
1 0
0 0
 , 
0 1
0 0
 , 
0 0
0 1
 e 𝛽′ = 
1 0
0 0
 , 
1 1
0 0
 , 
1 1
0 1
 . 
a) Ache [𝐼]𝛽
𝛽′
. 
b) Mostre que 𝐼 𝛽
𝛽′
 
−1
= 𝐼 𝛽′
𝛽
. 
 
4) Uma elipse em uma base cartesiana está rotacionada em um ângulo de 45° e sua base é formada pelos 
vetores {(1,0); (0,1)}. Ache a matriz de mudança de base para uma nova base onde os vetores sejam 
respectivamente (−1,1) e (2,2).