07 Introdução às Equações Diferenciais II

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Introdução às Equações Diferenciais 
 
 
1. Terminologia e Definições Básicas 
Sabemos que, dada uma função y = f (x), a sua derivada 
)(' xf
dx
dy

, é uma função de 
x e é obtida por regras de derivação apropriadas. Por exemplo, se 
223 xey 
, então sua 
derivada é a função
2212 xxe
dx
dy

. Dada uma equação como 
xy
dx
dy
4
, queremos 
encontrar, de algum modo, uma função que satisfaça a equação. Ou seja, queremos 
resolver equações diferenciais. 
 
1.1 Definição 
 
Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis 
dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é denominada equação 
diferencial (ED). As equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a 
ordem e a linearidade. 
 
1.2 Classificação pelo tipo 
 Equação Diferencial Ordinária (EDO). 
 Equação Diferencial Parcial (EDP). 
 
1.3 Classificação pela ordem 
 
A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a 
ordem da equação. Uma equação diferencial ordinária de n-ésima ordem é 
freqüentemente representada por 
.0,...,,, 





n
n
dx
yd
dx
dy
yxF
 
 
 
 
1.4 Classificação como Linear ou Não-Linear: 
 
Uma equação diferencial é chamada linear quando pode ser escrita na forma 
)()()(...)()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n  


. 
 
Note que as equações diferenciais lineares se caracterizam por duas propriedades: 
 
a) A variável dependente y e suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, a 
potência de cada termo envolvendo y é 1; 
b) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x. 
Uma equação que não é linear é dita não-linear. Exemplos: 
xy
dx
yd
xyyy
yxxyxy
dx
dy
dx
yd
ydxdyx
2'2''
0''3'''2320
3
3
3
23
2
2
2


 
 
As três primeiras equações são EDO lineares de primeira, segunda e terceira ordens, 
respectivamente. As duas últimas equações são EDO não-lineares de segunda e terceira 
ordens, respectivamente. 
 
1.5 Definição 
Toda a função f definida em algum intervalo I, que quando substituída na equação 
diferencial, transforma a equação numa identidade, é chamada de solução para a equação 
no intervalo I. 
De outro modo, uma solução para uma equação diferencial ordinária 
0,...,,, 





n
n
dx
yd
dx
dy
yxF
 
é uma função f que tem pelo menos n derivadas e satisfaz a equação: isto é, 
  0)(),...,('),(, )( xfxfxfxF n
 
para todo x no intervalo I. 
 
Exercício 1.1. Verifique que 
16
4x
y 
 é solução para a equação 
yx
dx
dy

 no intervalo 
),( 
. 
Exercício 1.2 Mostre que a função 
xxey 
 é uma solução para a equação linear 
0'2''  yyy
 no intervalo 
),( 
. 
 
 
Soluções Explícitas e Implícitas 
 
Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f (x) é chamada 
solução explícita. Vimos nos exemplos 1.1 e 1.2 que as funções apresentadas são 
soluções explícitas para as equações citadas. Dizemos que uma relação G (x, y)=0 é uma 
solução implícita para uma EDO em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções 
explícitas em I. 
 
Exercício 1.3 
 
Mostre que a relação 
0422  yx
, no intervalo (-2, 2), é uma solução implícita para a 
equação diferencial
.0
y
x
dx
dy
 
Note que qualquer relação da forma 
022  cyx
 para toda constante c positiva, 
satisfaz a equação diferencial dada. 
 
 
Exercício 1.4 
Mostre que, para qualquer valor de c, a função 
1
x
c
y
 é uma solução da EDO de 
primeira ordem 
1 y
dx
dy
x
 no intervalo (0, +

). 
 
 
Exercício 1.5 
a) Mostre que as funções 
xcy 4cos11 
 e 
xcy 4sen22 
, onde c1 e c2 são constantes 
arbitrárias, são soluções para a equação diferencial 
.016''  yy
 
b) Mostre que a função 
xcxcy 4sen4cos 21 
é também solução para a equação 
.016''  yy
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1.6 
 
Verifique se as seguintes funções 
12121 ,,,,, ceyececyecyecyeyey
xxxxxxx  
 são soluções para a 
EDO 
.0'' yy
 
 
Observação 1.1: Em geral, quando resolvemos uma EDO de primeira ordem 
0)',,( yyxF
, obtemos uma família de curvas ou funções 
0),,( cyxG
, contendo um 
parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é uma solução da equação 
diferencial. Quando resolvemos uma EDO de n-ésima ordem 
0),...,',,( )( nyyyxF
, 
encontramos uma família a n-parâmetros de soluções 
.0),...,,,( 1 nccyxG
 Uma solução 
para uma EDO que não depende de parâmetros arbitrários é chamada solução particular. 
 
Observação 1.2: Para resolver equações diferenciais muitas vezes usamos o cálculo de 
integrais, por exemplo integração por partes, frações parciais, integração por substituição.