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Trabalho de DistribuicaodeProbabilidadeNormal

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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE – UNESC
CURSO DE CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES NORMAIS
CRICIÚMA, OUTUBRO DE 2013
Definição de distribuição de probabilidade normal.
A distribuição normal ou gaussiana é o mais importante tipo de distribuição continua. Uma das principais vantagens da distribuição de probabilidade normal é o Teorema Central do limite, este é um resultado estatístico fundamental em aplicações práticas, pois o mesmo garante que mesmo que os dados não sejam distribuídos conforme uma distribuição normal, a média dos dados converge para a distribuição normal conforme o número de dados aumenta. Para ilustrar, considere os dados da tabela a seguir com o histograma apresentado:
 
	Dados Exponenciais
	0,18039
	0,06105
	0,33264
	1,0589
	0,04611
	2,07919
	0,16426
	0,13756
	2,25764
	0,69611
	0,00666
	0,04858
	0,05189
	0,04937
	4,0006
	2,44309
	1,19279
	0,36034
	0,14896
	1,02117
	0,22775
	0,19664
	2,04899
	0,00578
	0,24781
	0,43687
	0,02991
	0,52321
	1,19931
	0,97063
	0,65404
	1,2899
	0,56337
	0,29371
	0,07804
	0,483
	0,2983
	3,75236
	0,283
	0,01252
	0,07863
	1,51493
	0,58831
	0,40478
	1,82698
	0,9184
	1,30431
	0,68007
	3,9539
	1,00186
	2,1392
	0,65945
	2,44657
	2,26175
	0,04064
	0,70571
	2,32028
	1,44356
	1,04687
	3,07768
	0,91547
	1,0711
	0,78354
	0,10735
	1,8086
	3,58991
	0,10034
	1,09242
	0,11591
	0,93788
	0,86555
	0,11135
	0,22064
	2,54724
	2,32252
	0,21121
	0,99732
	0,18068
	0,03391
	0,33554
	2,82354
	0,21896
	0,61599
	2,70122
	0,59041
	0,9296
	0,37208
	0,96049
	1,67637
	0,3829
	0,66678
	1,27616
	0,15644
	1,49853
	0,2438
	0,69662
	0,03946
	1,68575
	1,68336
	0,75177
	0,14673
	0,85142
	0,60226
	0,10131
	0,00041
	1,04934
	0,71689
	0,6841
	0,40779
	0,655
	1,86995
	0,11694
	1,0702
	5,24055
	0,91629
	0,74449
	1,54706
	1,71929
	0,57949
	0,06082
	4,50549
	1,20456
	1,32523
	0,15098
	3,82457
	2,21574
	1,24752
	3,01742
	0,48124
	0,50226
	0,752
	0,07319
	1,84546
	1,00032
	0,18113
	1,95966
	0,12043
	0,02755
	1,12134
	0,15825
	0,39719
	0,73928
	0,75933
	0,20692
	1,04208
	0,77392
	0,53456
	0,37931
	0,55943
	0,1528
	0,32622
	1,34607
	0,1881
	0,63464
	1,07056
	1,56307
	3,97567
	0,12068
	0,0591
	0,09311
	0,13433
	1,13353
	0,06729
	0,73302
	3,68017
	0,33364
	0,10242
	0,24987
	0,436
	0,63775
	0,92961
	0,1736
	0,5642
	0,07914
	1,69506
	3,81342
	0,835
	1,0241
	1,75904
	0,655
	1,5316
	2,38105
	1,31363
	4,87441
	1,87911
	1,19198
	4,01736
	0,97558
	0,70493
	0,02362
	1,8392
	0,23149
	0,42528
	0,70005
	0,81429
	0,14648
	1,14152
	1,63649
	0,49084
	0,42526
	0,21363
	1,71473
	0,1912
	0,30273
	0,50795
	0,59502
	0,0055
	0,99069
	0,05411
	1,88966
	2,54082
	0,05887
	0,49302
	1,94563
	2,88959
	0,76715
	0,08922
	1,50332
	1,44135
	0,25575
	1,21121
	1,63265
	2,49013
	0,58964
	0,73067
	0,5809
	0,20309
	1,19891
	0,41577
	4,83329
	0,83598
	0,3745
	0,55206
	0,96108
	0,87766
	0,52777
	0,10678
	0,89247
	0,68666
	0,40921
	3,13698
	0,15909
	1,19616
	1,31787
	0,1115
	0,3589
	0,61516
	2,2579
	0,5537
	1,12084
	1,18308
	5,6274
	0,38246
	0,30181
	1,88888
	0,9136
	1,7155
	0,49844
	1,80252
	0,78627
	2,30031
	0,37888
	0,27255
	0,13101
	3,21402
	2,01428
	1,5868
	0,01396
	0,31211
	1,41659
	0,20996
	0,56251
	0,64183
	0,7217
	0,01722
	0,0903
	2,67363
	0,38425
	0,17188
	4,38611
	0,47624
	1,7204
	1,97416
	0,15397
	0,20741
	1,23387
	2,61544
	0,34815
	3,7862
	0,17602
	0,49381
	1,11899
	0,33027
	0,91986
	1,10484
	0,3501
	0,6366
	0,49725
	0,29042
	2,32141
	0,56294
	1,10058
	0,23771
	0,16611
	0,19464
	0,53044
	1,10223
	2,63819
	0,35147
	0,13475
	2,31799
	1,42038
	0,28477
	0,61507
	0,70722
	0,16977
	2,07863
	0,21453
	2,31535
	0,97265
	0,05683
	0,08027
	0,6846
	0,29454
	0,40381
	0,38346
	0,3467
	0,08971
	0,29033
	0,71624
	0,77907
	0,04533
	1,21407
	0,15632
	1,54651
	1,03375
	0,20112
	0,21492
	1,23729
	0,02209
	1,92794
	0,25324
	0,06947
	0,14656
	1,43476
	0,58053
	0,2361
	1,30842
	0,90432
	0,38311
	0,01359
	0,2938
	0,57609
	0,00047
	0,15099
	0,74214
	0,88673
	1,0456
	3,40522
	1,31729
	0,19672
	0,84027
	0,38748
 
Neste gráfico temos um conjunto de dados que segue uma distribuição não simétrica, mas agrupado os valores em grupos de 5, e tirando a media de cada grupo veremos da seguinte forma:
Além do Teorema Central, diversos estudos nos trazem como resultado uma distribuição normal. Por exemplo, uma altura de uma determinada população em geral segue uma distribuição normal. Entre outras características físicas e sociais que seguem uma distribuição normal.
Uma variável aleatória contínua tem uma distribuição normal se a mesma é:
-simétrica
-apresenta em um gráfico a forma de um sino
2. Como interpretar gráficos de distribuições de probabilidade normal.
Como vimos anteriormente a curva normal tem forma de sino, ou seja, é unimodal e simétrica, e o seu valor de máxima frequência, a moda coincide com o valor da média e da mediana.
A média é o centro da curva.
A distribuição de valores maiores e menores que a média é perfeitamente simétrica, ou seja, se passarmos uma linha exatamente pelo centro da curva, teremos duas metades, sendo que cada uma delas é a imagem especular da outra.
As extremidades da curva se estendem de forma indefinida ao longo da sua base sem jamais tocá-la, ou seja, o campo de variação da distribuição normal se estende de infinito negativo a infinito positivo. Sendo assim a curva apresenta uma área central em torno da média, onde se localizam os pontos de maior frequência e também possui áreas menores, progressivamente mais próximas de ambas as extremidades, em que são encontrados valores muito baixos de x a esquerda ou escores muito altos de x a direita, ambos presentes em baixas frequência.
O valor de uma variável tem ocorrência normal quando está entre 95% da área sob a curva em forma de sino, que tem a variável frequência no eixo dos Y, cujas extremidades ocupam 2,5% cada.
Ou seja, algum valor é considerado normal se está na em qualquer ponto entre 0,025 e 0,975 (2,5 e 97,5%) da área sob a curva. Segue o exemplo abaixo:
Portanto, há dois tipos de "anormal". Todos os valores encontrados na área que está entre 0 a 2,5% correspondem a um tipo. E todos os que estão no final da curva, ou seja, entre 97,5 e 100% se refiram ao outro tipo.
3. Como encontrar áreas sob a curva normal padrão.
Para achar a área sob a curva, temos que conhecer dois valores numéricos, a média e o desvio padrão . Para melhor entender, observe a figura a seguir:
Quando a média e o desvio padrão são desconhecidos, estes valores serão estimados por e , como mostra nas fórmulas abaixo:
 
4. Como encontrar probabilidades para distribuições normais.
Para entender como encontrar probabilidades utilizando distribuições normais, veja a resolução dos exercícios a seguir.
Exercício 01
Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.
(a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?
(b) E mais do que 9,5 minutos?
(c) E entre 7 a 10 minutos?
(d) 7 5% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?
Exercício 01- resolução
Seja, 
X: tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico X~N(8, 22)
(a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?
1-0,9332 = 0,0668
Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos é 6,68%.
(b) E mais do que 9,5 minutos?
.
Portanto, a probabilidade de que um atendimentodure mais do que 9,5 minutos é 22,66%.
(c) E entre 7 e 10 minutos?
Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure entre 7 e 10 minutos é 53,28%.
(d)75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?
x é tal que 
.
Então, 
Portanto, 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos 6,7 minutos de atendimento.
Exercício 02
A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuição Normal, com média 5 kg e desvio padrão 0,9 kg. Um abatedouro comprará 5000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso do seguinte modo: 15% dos mais leves como pequenos, os 50% seguintes como médios, os 20% seguintes como grandes e os 15% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação?
Exercício 02 - resolução
Seja, 
X: Peso de coelhos criados em uma granja
X ~ N (5 ; 0,92) 
Classificação do abatedouro
Seja,
x1 o valor do peso que separa os 15% mais leves dos demais,
x2 o valor do peso que separa os 65% mais leves dos demais,
x3 o valor do peso que separa os 85% mais leves dos demais.
 kg
 kg
 kg
Portanto, temos que os limites dos pesos para cada classificação é:
Pequenos são os coelhos que possuem peso inferior a ~x1, ou seja, X < 4,1 Kg
Médios são os coelhos que possuem peso entre x1 e x2, ou seja, 4,1 Kg < X < 5,4 Kg
Grandes são os coelhos que possuem peso entre x2 e x3, ou seja, 5,4 Kg <X < 5,9 Kg
Extras são os coelhos que possuem peso acima de x3, ou seja, X > 5,9 Kg
 Para entender o que é distribuição normal, é necessário, primeiramente, definir evento aleatório. Trata-se de evento cuja ocorrência individual não obedece a regras ou padrões que permitam fazer previsões acertadas, como, por exemplo, qual face de um dado lançado cairá para cima.
 A estatística mostra que, apesar de a ocorrência individual destes eventos aleatórios ser imprevisível objetivamente, é possível tirar algumas conclusões a partir de um conjunto suficientemente grande deles.
 Muitos dos conjuntos de eventos aleatórios apresentam padrões que não são identificáveis em cada evento isoladamente, como a tendência de os eventos se concentrarem próximos a uma posição que representa uma média matemática deles. Assim, a quantidade de eventos diminui constante e gradativamente à medida que nos afastamos da média.
Um levantamento das estaturas de homens adultos, em uma amostragem significativa, tende a posicionar a maioria das medidas na chamada estatura mediana, entre 1,70 e 1,80m. Já as estaturas entre 1,40 e 1,50m e entre 2,00 e 2,10m tendem a apresentar poucas ocorrências.
Eventos aleatórios que seguem este padrão enquadram-se na chamada "distribuição normal", representada pela curva também conhecida como Curva de Gauss ou Curva do Sino (Bell Curve).
	
	Curva de distribuição normal de uma amostragem de estaturas de homens adultos
 Um exemplo bastante próximo de todos sobre como a curva de distribuição normal ajuda a definir padrões esperados é a pressão arterial. Quando o médico infla a almofada em nosso braço, lê o manômetro e nos informa que o resultado é 12 por 8, nos sentimos aliviados.
 Alguém já se perguntou, porém, por que 12/8 e não qualquer outro resultado é considerado padrão de normalidade deste parâmetro médico?
 A resposta é simples: as curvas de distribuição normal para a pressão arterial sistólica e diastólica tendem a concentrar seus resultados em torno de 120 e 80 mmHg, respectivamente.
	
5. Aproximações normais para distribuições binomiais.
 As distribuições que tenham as probabilidades descritas por curvas em forma de sino podem ser aproximadas pela distribuição normal, que é a mais usada em estatística.
. Aproximação da Distribuição Binomial
	A equivalência entre as distribuições binomial e normal é dada por:
			
								
			
							
			
�� EMBED Equation.3 						
A distribuição binomial cumulativa pode ser aproximada pela distribuição normal cumulativa, através da seguinte equação:
			
				
A Figura acima apresenta as distribuições cumulativas binomiais e normais para n=10 e (=0,40. Pela figura, percebe-se que a aproximação foi boa, mesmo para um valor baixo de n.
Vale ressaltar que a aproximação deve ser usada quando não se dispõe de valores da distribuição cumulativa binomial, como por exemplo, n=350 com (=0,578 ou n=1200 com (=0,035.
Exemplo: Um problema comum em engenharia industrial é decidir quando reparos na maquinaria são necessários. Uma maneira eficiente de detectar problemas na linha de produção de uma fábrica é coletar amostras tão logo os itens sejam produzidos. Uma cervejaria amostra rotineiramente 16 latas de cerveja, a fim de determinar se o número de latas cheias de forma incompleta é grande. Cada hora, uma amostra de 100 latas é tirada da linha de produção, sendo seus volumes precisamente medidos. Considere X o número de latas incompletas e ( a probabilidade de existir lata incompleta. A política da cervejaria é:
Parar a produção e ajustar a máquina, se X>6;
Continuar o processo se X(6.
Verifique se as seguintes exigências foram atendidas:
Pode haver no máximo 5% de chance de parar o processo, se (=0.03;
 
			
 Assim, conclui-se que o item (a) é satisfeito.
Deve haver no máximo 15% de chance de continuar o processo, se (=0.10.
 
		
 Que satisfaz o item (b)
 Funções de Distribuições de Probabilidade para Distribuições Binomial e Normal
	A aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal é tanto melhor quanto maior for o valor de n e tanto mais próximo de 0.50 for a probabilidade de sucesso, (. Existem algumas regras usadas para saber se esta aproximação pode ser usada. Uma delas diz que as duas condições abaixo devem ser satisfeitas para que se possa aproximar a distribuição binomial pela normal:
			
								
Exemplo: Considere a binomial com n = 50 e p = 0,2, representada pelo histograma. 
P(Y=13) é igual a área do retângulo de base unitária e altura igual a P(Y=13); similarmente, P(Y=14), etc... Logo, P(Y³13) é igual à soma das áreas dos retângulos correspondentes.
A idéia é aproximar tal área pela área sob uma curva normal, à direita de 13.
X ~ b(n ; p) -> E(X) = np
 Var(X) = np(1 – p)
Y ~ N( μy ; sy2) com μy = np e sy2 = np(1 – p).
Portanto, • P( a £ X £ b) » P(a £ Y £ b)
 • P( X ³ a) » P(Y ³ a)
 • P( X £ b) » P(Y £ b)
com Y ~ N(np; np(1 – p) ).
 O cálculo da probabilidade aproxiimada é feito da forma usual para a distribuição normal:
P( a £ X £ b) » P(a £ Y £ b) com Y ~ N( np ; np(1 – p) ).
Lembrando que: 
Então..
Observações :
1 - A aproximação da distribuição binomial pela
normal é boa quando np(1-p) ³ 3.
2 - A demonstração da validade desta aproximação é
feita utilizando-se o Teorema do Limite Central.
3 - A aproximação pode ser melhorada através do
uso da "Correção de Continuidade".
15%
x1
x2
x3
50%
20%
15%
_985444469.unknown
_985760560.unknown
_985760576.unknown
_1045910968.bin
_985524695.unknown
_985525754.unknown
_985183966.unknown
_985418661.unknown
_985183811.unknown

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