P1 CálculoIIIA 2016 1 - P.Guarino

Prévia do material em texto

Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
1a¯ prova de Ca´lculo III A (2016-1) - 02/06/2016
Questa˜o Pontos Notas
1 2,5
2 3
3 2
4 2,5
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova. Responda cada questa˜o
de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem justificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados.
Qualquer aluno pego consultando alguma fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O
mesmo ocorrera´ com o aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Observac¸a˜o: Se for necessa´rio em alguma questa˜o, lembre-se que:
∂
∂x
[
x
2
√
x2 + y2 +
y2
2
ln
(
x +
√
x2 + y2
)]
=
√
x2 + y2 , para x, y > 0 .
Questa˜o 1 (2,5 pontos)
(a) Calcule
∫∫
P
(4x2 +y2−4xy) ln(1−x+y) dA , onde P ⊂ R2 e´ o paralelogramo cujos ve´rtices
sa˜o os pontos (0, 0), (1, 2), (3, 4) e (2, 2).
(b) Calcule
∫∫
Ωa,b
ln(x2 +y2) dA , onde Ωa,b ⊂ R2 e´ a regia˜o do primeiro quadrante limitada por
x2 + y2 = a e x2 + y2 = b, onde 0 < a < b.
Questa˜o 2 (3 pontos)
Seja B a bola unita´ria em R3, isto e´, a bola de centro na origem e raio 1.
(a) Calcule
∫∫∫
B
exp(x2 + y2 + z2)3/2 dV .
(b) Calcule
∫∫∫
B
dV√
2 + x2 + y2 + z2
.
Questa˜o 3 (2 pontos)
Calcule
∫∫∫
Ω
(x2 + y2 + z2)−1/2 dV , onde Ω ⊂ R3 e´ a regia˜o do primeiro octante dada por
x2 + y2 + z2 ≤ 1 e √2 z − 1 ≥ 0 .
Questa˜o 4 (2,5 pontos)
Calcule o volume em R3 da regia˜o dada por:
x2 + y2 ≤ 1
5
z2 e 0 ≤ z ≤ 5 +
√
5− x2 − y2 .