metodos de avaliação do MMQ

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UFPB – Departamento de Economia Disciplina – Econometria 2004.02 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE ESTUDOS SÓCIO-ECONÔMICOS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
Avaliação do Modelo de Regressão
Objetivos
Apresentar os critérios de avaliação do Modelo Econométrico.
Bibliografia Básica
GUJARATI, D. N. Econometria Básica. São Paulo: MAKRON Books, 2000. 
Capítulos 3 e 5
3.5 – O Coeficiente de Determinação r2 (pg.64)
5.2, 5.3, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5,9, 5.11 e 5.12 – Avaliação do Modelo Estimado 
Bibliografia Complementar
HILL, C.; GRIFFITHS,W.; JUDGE,G. Econometria. São Paulo: Saraiva, 1999.
KMENTA, Jan. Elementos de econometria. São Paulo: Atlas, 1988.
MATOS, O. C. Econometria básica: teoria e aplicação. São Paulo: Atlas, 1995.
SALVATORE, Dominic. Estatística e econometria. São Paulo: McGraw-Hill, 1983.
WONNACOTT, R. J. e WONNACOTT, T.H. Econometria. Rio de Janeiro: LTC, 1976.
�1. - Três critérios de avaliação do modelo
a) Critério Estatístico
 - R2 = Coeficiente de Determinação;
 - F = Teste de F-Snedecor;
 - “t” = Teste de t de Student;
 - IC = Intervalo de Confiança.
b) Critério Econométrico
 -Validade dos pressupostos;
 . Normalidade dos Resíduos;
 . Multicolinearidade
 . Heterocedasticidade;
 . Autocorrelação dos Resíduos;
 -Validade das propriedades dos parâmetros.
c) Critério Econômico
 -Sinais dos parâmetros ((0 e (1);
 -Magnitudes dos parâmetros ((0 e (1).
2. - AVALIAÇÃO DOS PARÂMETROS DA REGRESSÃO – CRITÉRIO ESTATÍSTICO
Objetivo: Verificar se a estimação do modelo especificado gera uma equação consistente e em que medida os parâmetros estimados ((0 e (1) são desejáveis.
2.I - Teste do Ajustamento Global do Modelo de Regressão
A) Coeficiente de Determinação ou “Explicação”: (R2)
	Medida descritiva da qualidade do ajustamento do modelo. O objetivo desse indicador é saber se o modelo está se ajustando aos dados coletados. Em geral o modelo deve ajustar-se aos dados para poder representá-los. Graficamente temos:
Se o modelo se ajustar aos dados, as observações estarão próximas da RETA de Regressão.
Admita:
: Variação de Y em torno de sua média;
: Variação de Y explicada pelas variações de X: (Yi = (o + (1Xi). 
: Mede o grau de dispersão entre os valores observados e o estimado (não explicado por X - é o chamado residual). X causa impacto em Y, mas existem impactos causados pelos ERROS. Variação dos pontos observados nem sempre pertencem à reta de regressão.
Soma dos Quadrado Total = Soma dos Quadrado da Regressão + Soma dos Quadrado dos Resíduos
SQT = SQReg + SQRes
Variação Total = Variação Explicada pela Variação de X + Variação Residual
Operação Simplificadora:
 ( 
 ( Proporção explicada pela variável X
1 = R2 + 
 ( R2 = 1 - 
 
Assim, 
 e indica o percentual de variação de Y explicada pelas variáveis independentes. Dito de outra forma, o coeficiente de determinação representa a proporção (ou porcentagem) da variação total em Y explicada pelo modelo de regressão. Ex. R2 = 0,48 ( 48% das variações de Y são atribuídas à variação da variável X. 
OBSERVAÇÕES:
1. Modelos de Regressão com dados de seção cruzada (cross section) tendem a apresentar um R2 mais baixo do que para dados de séries temporais.
2. R2 é uma função não decrescente do número de variáveis explicativas do modelo, o que faz com que o aumento do número de regressores, aumente quase invariavelmente o R2. Se:
 é independente do número de variáveis explicativas, mas 
 depende do número de variáveis explicativas presentes no modelo (conforme aumenta o número de variáveis explicativas, provavelmente 
 irá diminuir, fazendo com que o R2 aumente). Ao comparar dois modelos de regressão com a mesma variável dependente e diferente número de variáveis dependentes, a escolha do modelo, pelo R2 mais alto, deve ser feita com cautela.
Para comparar os dois R2, devemos levar em conta o número de variáveis explicativas presentes no modelo, através do R2 Ajustado(
):
onde: k é o número de parâmetros do modelo.
Em síntese, o R2 indica que percentual as variações de Y são “explicadas” pelas variações das variáveis explicativas (Xis), ou seja, o R2 representa uma medida de intensidade da relação linear entre as variáveis. Em particular, para o caso de regressão ser obtido por meio do coeficiente de correlação da seguinte forma:
Coeficiente de Correlação (r) = 
Assim, para o caso de regressão linear simples, o coeficiente de determinação é dado pelo quadrado do coeficiente de correlação 
r2 = R2
Teste de Hipótese – comentários iniciais 
O problema do teste de hipótese estatística pode ser exposto simplesmente assim: Uma dada observação ou descoberta é compatível ou não com alguma hipótese formulada? A palavra compatível, aqui, significa suficientemente próxima do valor admitido por uma hipótese para que não rejeitemos a hipótese formulada. Na linguagem estatística, a hipótese formulada é conhecida como hipótese nula, indicada por H0. A hipótese nula é testada com uma hipótese alternativa, indicada por H1. 
A teoria do teste de hipótese se preocupa em desenvolver regras ou procedimentos para decidir se uma hipótese nula deve ser rejeitada ou não. Há duas abordagens, a intervalo de confiança e o teste de significância. Ambas pressupõem que a variável (estatística ou estimador) que esta sendo considerada tenha alguma distribuição de probabilidade e que o teste de hipótese faça declarações ou afirmações sobre o valor do parâmetro dessa distribuição. 
A abordagem do teste de significância, que será muito empregada aqui, foi desenvolvida independentemente por R.A Fisher e conjuntamente por Pearson e Neyman. Ela consiste em um procedimento pelo qual os resultados de uma amostra são usados para verificar a validade ou falsidade de uma hipótese nula. A idéia chave por trás do teste é de uma estatística de teste (estimador) e a distribuição de amostragem dessa estatística conforme a hipótese nula. A decisão de aceitar ou rejeitar H0 é tomada com base no valor da estatística do teste obtida com os dados disponíveis. 
Na linguagem do teste, o intervalo de confiança fornecido pela estatística é conhecido como região de aceitação da hipótese nula e a região fora do intervalo de confiança é conhecida como região de rejeição da hipótese nula. Os limites de confiança são conhecidos como valores críticos. 
Na linguagem do teste de significância diz-se que uma estatística é significante se o valor da estatística do teste se encontra na região critica. Neste caso, a hipótese nula é rejeitada. Pelo mesmo motivo, diz-se que um teste é estatisticamente insignificante e o valor da estatística se encontra na região de aceitação. Nesta situação a hipótese nula não é rejeitada. Então, se um valor da estatística é alto, é um indício contra a hipótese nula. No entanto, para sabermos se um valor da estatística é alto ou não depende do valor tabelado da estatística. 
B) Análise de Variância (ANOVA) e Teste de F
Partindo do Modelo de Regressão: 
O Teste de F tem por finalidade testar o efeito conjunto das variáveis explicativas sobre a variável dependente. Isso significa verificar se pelo menos uma das variáveis explicativas do modelo exerce efetivamente influência sobre a variável dependente. No modelo simples à função do teste de F é a de testar a significância do efeito de X sobre o Y.
Em geral o teste da significância global da regressão indica se a regressão como um todo faz sentido. Intuitivamente, representa um teste do próprio coeficiente de determinação (R2).
Obs: este teste exige normalidade dos erros.
O Cálculo da estatísticaF pode ser efetuado da seguinte forma:
 TABELA DA ANOVA
	Causas de Variações
	S.Q.
	G.L.
	SQ Médio
	
	Devido à Regressão
	SQ Reg
	p-1
	SQ Me Reg = SQRg/p-1
	F
	Devido ao Erro
	SQ Resíduos
	n-p
	SQ Me Res= 
SQ Res/n-p
	
	Total
	SQ Total
	n-1
	
	
Onde SQReg = soma dos quadrado devido à regressão. SQRes= soma dos quadrado devido aos erros. SQ Total= soma dos quadrados totais. p = número de variáveis do modelo e n = numero de observações. 
F = (SQ Me Reg)/(SQ Me Res) 
Análise de Variância Simples
A decomposição da variação de Y é normalmente utilizada para a análise de variância. A análise de variância mostra as diversas relações no desenvolvimento de estatística de avaliação na estimação de modelos.
Observação:
No caso da regressão simples o teste de “t” equivale ao teste realizado com o teste de F desde que:
�
Interpretação
Se o F-calculado for MAIOR que o F-tabelado, com (p-1) e (n-p) graus de liberdade (dado (% de nível de significância) REJEITA-SE a Hipótese Nula.
Exemplo
Fcalculado = 13,32 
n = 12 ( numerador (p-1) = 2
p = 3 ( denominador (n-p) = 9 ( Ftabelado= 4,26 a 5% 
Diz-se que a distribuição F tem m1 (p-1) graus de liberdade no numerador e m2 (n-p) graus de liberdade no denominador. Os valores m1 e m2 definem a forma da distribuição, que, em geral, se apresenta como a figura abaixo.
F não significativo implica dizer que não tem modelo (ou está errado). Caso F seja significativo estatisticamente, indica que a regressão como um todo faz sentido e, as variáveis explicativas influenciam (globalmente) a variável explicada.
C) Erro-Padrão da Estimativa: (Se)
Erro-Padrão:
O Erro-Padrão da estimativa é uma medida de variabilidade da distribuição condicional de Y para valores fixos de X. Utilizam-se todos os resíduos da reta ajustada de regressão para calcular o erro-padrão, pois se supõe que todas as distribuições condicionais tenham a mesma variância.
Serve como referência para a escolha do melhor modelo, isto é, melhor modelo é aquele que tem o menor erro-padrão (ou dito da mesma forma: a menor variância).
Erro-Padrão x Desvio-Padrão
O conceito de erro-padrão está estreitamente relacionado com o desvio-padrão. Ambos são médias quadráticas das diferenças entre um elemento de um conjunto de dados e um valor médio. Representa uma medida que indica a diferença da observação média do grupo de uma amostra.
Desvio-Padrão: 
Variância dos Erros: 
O Erro-Padrão da Estimativa: 
2.II - Testes de Significância Individual dos Parâmetros 
a)Teste de “t”- Student
	É usado para determinar se os parâmetros da amostra são significativamente diferentes dos parâmetros hipotéticos da população, sendo desconhecido o desvio-padrão da população.
Onde S representa o Erro-Padrão dos parâmetros estimados 
Variância de 
 = 
 Erro-Padrão 
 = 
Variância de
 = 
 Erro-Padrão 
 = 
b)Teste de Hipóteses
Quadro Resumo do Teste de Hipótese
	
	
Graus 
de Liberdade
	
	
	
	n-k
	Rejeita/Aceita Ho
	Rejeita/Aceita Ho
	
	n-k
	Rejeita/Aceita Ho
	Rejeita/Aceita Ho
Regra prática- Se o numero de graus de liberdade for maior ou igual que 20, e se α, o nível de significância, for estabelecido em 0,05, então a hipótese nula com β=0 pode ser rejeitada se o valor calculado de t, em valor absoluto, for maior que 2. 
O termo α é conhecido como a probabilidade de se cometer o erro tipo II (aceitar a hipótese falsa)�. 1 - α é, então, conhecida poder do teste. Então se aceita-se um α=1% ou 5% é por que estamos maximizando o poder do teste. 
d)Intervalo de Confiança
Diz-se que existe 95% de probabilidade deste intervalo conter o verdadeiro parâmetro (i
Teste de normalidade dos erros 
Teste de normalidade de Jarque-Bera (JB) 
Um dos pressupostos do modelo de regressão foi de que os erros aleatórios têm seu valor esperado igual a zero. Como o erro é uma variável aleatória e precisa ser estimado no processo de obtenção da reta de regressão, deve empreender um teste para verificar se os erros obedecem aquele pressuposto.
 O teste de normalidade de Jarque-Bera (JB) se baseia nos resíduos do método dos mínimos quadrados. Para sua realização o teste necessita dos cálculos da assimetria e da curtose. Sua estatística é: 
JB = n[(S2/6) + (C-3)2/24]
Em que S representa a assimetria e C a medida de curtose. Suas equações são dadas por: 
 e 
S = 0 : se o resultado for zero, a distribuição é simétrica; 
S < 0 : se o valor for negativo, a distribuição é assimétrica negativa (inclinada para a esquerda);
K = 3 : Mesocúrtica – a distribuição de freqüências é a própria distribuição normal;
K < 3 : Platicúrtica – a distribuição é achatada (alta variabilidade);
K > 3 : Leptocúrtica – a distribuição é concentrada em torno da média (alta homogeneidade). 
Uma vez que, em uma distribuição normal, o valor da assimetria é zero e o valor da curtose é 3, se testara na hipótese nula que os resíduos são distribuídos normalmente. O teste JB é distribuído por uma qui-quadrado com 2 graus de liberdade. Se o valor de JB for muito baixo, rejeitamos a hipótese de normalidade da distribuição dos erros aleatórios. Mas se o valor de JB for alto, aceitamos a hipótese de que os erros se comportam com preconiza os pressupostos da regressão. 
2.III - Apresentação Definitiva do Modelo Estimado
��EMBED Equation.3
3. - AVALIAÇÃO ECONÔMICA DO MODELO
3.I - Interpretação das Magnitudes dos Parâmetros de Regressão
Da relação entre Consumo e Renda: 
Geralmente o valor de 
 não apresenta significado econômico. 
Admita que 
=0,5091; significa que aumentando em R$ 1,00 a renda, o consumo aumentará em R$ 0,5091. A magnitude desse coeficiente parece razoável? e o sinal apresenta de acordo com a teoria econômica?
3.II - Análise Econômica
Efeito Marginal = 
 Representa o efeito da variável X na variável Y, em mesma magnitude das variáveis coletadas.
Elasticidade = 
 Representa o efeito da variável X na variável Y, em percentagem (%)
�
4. - EXERCICIOS DE FIXAÇÃO
4.1 – EXERCÍCIO 1
Tabela 1: Examinar a relação entre as variáveis Taxas de Juros (X) e Investimentos (Y)
	Período
	T.Juros
 (%)
	Invest
(US$)1
	XiYi
	Xi2
	Yi2
	xi
	yi
	xiyi
	xi2
	Y
	ei
	ei2
	1981
	4.89
	126.8
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1982
	4.81
	133.8
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1983
	4.11
	152.6
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1984
	3.83
	163.7
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1985
	3.45
	155.3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1986
	3.46
	161.4
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1987
	3.23
	172.0
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1988
	3.01
	157.6
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1989
	2.53
	173.3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1990
	2.41
	180.1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	(
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Médias
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
1-US$- Bilhões de Dólares
Da Tabela 1 pede-se:
I) Escrever a equação de regressão e a expectativa dos parâmetros;
II) Cálculo dos Parâmetros de Regressão (0 e (1
III) Teste de Ajustamento Global do Modelo
 a) Coeficiente de Determinação (R2)
 b) Erro-Padrão da Estimativa (Sei)
IV) Teste de Significância dos Parâmetros
 a) Erro-Padrão dos Parâmetros
 b) Cálculo da estatística de “t”
 c) Tabela Resumo do Teste de Hipótese
 d) Análise Gráfica
 e) Intervalo de Confiança
V) Apresentação do Modelo Definitivo
VI) Avaliação Econômica do Modelo
 a) Sinais dos Parâmetros
 b) Efeito Marginal
 c) Elasticidades
� O erro tipo I é rejeitar a hipóteseverdadeira. 
�PAGE �2�
Prof. Dr. Sinézio Fernandes Maia
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