Série de Pagamentos-Fórmulas

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Matemática Financeira I - Série de Pagamentos 
Prof.: Moacir Magno Carvalho 1 e Prof.: Eduardo Rodrigues da Silva 1 
 
1- Professores do Depto de Economia da PUC - GO 
SERIES UNIFORMES 
I- Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos (Postecipados) 
Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais são representados por “PMT”; 
as demais variáveis serão representadas pelos símbolos já conhecidos: 
i = taxa de juros; 
n = número total de pagamentos; 
VP = valor presente, principal, capital inicial ou valor atual; 
VF = valor futuro ou montante; 
1- Fator de Valor Presente 
O valor presente para uma taxa periódica de juros, é determinado pelo somatório dos 
valores presentes de cada um de seus valores. 
Logo: 
nn i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
VP
)1()1(
...
)1()1()1( 132 +
+
+
++
+
+
+
+
+
=
−
 
Colocando-se PMT em evidência: 






+
+
+
++
+++
+
+
=
− nn
iiiii
PMTVP
)1(
1
)1(
1
...
)1(
1
)1(
1
)1(
1
132
 
[ ]nn iiiiiPMTVP −+−−−− ++++++++++= )1()1(...)1()1()1( 1321 
A expressão entre colchetes é denominada de Fator de Valor Presente, sendo representada 
da forma seguinte: 
FVP (i, n) 
Com isso, a formulação genérica do valor presente assume a expressão: 
VP = PMT . FVP (i, n) 
 Matemática Financeira I - Série de Pagamentos 
Prof.: Moacir Magno Carvalho 1 e Prof.: Eduardo Rodrigues da Silva 1 
 
1- Professores do Depto de Economia da PUC - GO 
Observe que FVP, conforme é apresentado na formulação anterior entre colchetes, 
equipara-se à soma de uma progressão geométrica de n termos, sendo o primeiro termo 1a e 
a razão (q) igual a 1)1( −+ i e o n-ésimo termo na igual a 
ni −+ )1( 
A forma de cálculo da soma de uma PG é dada por: 
q
qaa
niFVPS nn −
−
==
1
.
),( 1 
Substituindo-se os valores da expressão na soma dos termos de uma PG, tem-se: 
 
1
11
)1(1
)1.()1()1(
),(
−
−−−
+−
++−+
=
i
iii
niFVP
n
 
multiplicando o numerador e o denominador por )1( i+ , obtém-se: 
[ ]
[ ] )1.()1(1
)1.(()1.()1()1(
),(
1
11
ii
iiii
niFVP
n
++−
+++−+
=
−
−−−
 
)1.()1()1(
)1.()1.()1()1.()1(
),(
1
11
iii
iiiii
niFVP
n
++−+
+++−++
=
−
−−−
 
11
1111
)1()1(
)1.()1()1(
),(
+−
+−−+−
+−+
++−+
=
ii
iii
niFVP
n
 
11
)1(1
),(
−+
+−
=
−
i
i
niFVP
n
 
i
i
niFVP
n−+−
=
)1(1
),( 
Logo, 




 +−
=
−
i
i
PMTniFVP
n)1(1
),( 
Essa expressão é muitas vezes representada da maneira seguinte: 
ii
i
niFVP
i
i
i
niFVP
n
i
niFVP
n
n
n
nn
.)1(
1)1(
),(
)1(
1)1(
),(
)1(
1
1
),(
+
−+
=⇒
+
−+
=⇒
+
−
= 
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Prof.: Moacir Magno Carvalho 1 e Prof.: Eduardo Rodrigues da Silva 1 
 
1- Professores do Depto de Economia da PUC - GO 
logo, 
1.)1(
1)1(
.
n
n
i
i
PMTVP
+
−+
= ou ),(. niFVPPMTVP = 
2- Fator de Recuperação de Capital (FRC) 
É deduzido da fórmula anterior, como segue: 
i
i
VP
PMT
i
i
PMTniFVP
n
n
−
−
+−
=⇒




 +−
=
)1(1
)1(1
),( 
Então 





+−
=
−n
i
i
VPPMT
)1(1
 
Pode ser também escrita da forma abaixo: 
.
1.)1(
1)1(
.
n
n
i
i
PMTVP
+
−+
= 
1)1(
.)1(
.
.)1(
1)1( −+
+
=⇒
+
−+
=
n
n
n
n
i
ii
VPPMT
ii
i
VP
PMT 
em que 
1)1(
.)1(
−+
+
n
n
i
ii
 ou 
ni
i
−+− )1(1
 é chamado Fator de Recuperação de Capital, que 
representaremos pro FRC (i, n). Logo, 
),(. niFRCVPPMT = 
3 – Fator de Valor Futuro (FVF) 
O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, é a soma dos montantes de cada 
um dos termos da série de pagamentos/recebi/mentos. 
Capitalizando-se cada um dos valores da série, apura-se a seguinte expressão: 
132 )1.(...)1.()1.()1.( −+++++++++= niPMTiPMTiPMTiPMTPMTVF 
colocando-se PMT em evidência: 
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Prof.: Moacir Magno Carvalho 1 e Prof.: Eduardo Rodrigues da Silva 1 
 
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[ ]132 )1(...)1()1()1(1 −+++++++++= niiiiPMTVF 
Identicamente, a expressão entre colchetes é definida por Fator de Valor Futuro e 
representada por: 
FVF (i, n) 
A formulação genérica do valor futuro é expressa da forma seguinte: 
FVF = PMT . FVF (i, n). 
Observe que a expressão do FVF representa a soma dos termos de uma progressão 
geométrica, onde )1(;11 iqa +== e 
1)1( −+= nn ia . 
Pela mesma equação de cálculo da soma dos valores de uma PG, tem-se: 
q
qaa
niFVFS nn −
−
==
1
.
),.( 1 
Promovendo os ajustes simplificações, chega-se: 
i
i
niFVF
n 1)1(
),(
−+
= 
Assim, a partir do FVF pode-se elaborar a expressão do valor futuro: 
i
i
PMTVF
n 1)1(
.
−+
= ou ),(. niFVFPMTVF = 
4- Fator de Formação de Capital (FFC) 
O FFC é obtido facilmente a partir da fórmula do montante deduzida no item anterior: 
i
i
PMTVF
n 1)1(
.
−+
= 
Essa fórmula, como vimos, é utilizada para obter o valor do montante, quando são 
conhecidos o valor das prestações, a taxa e o número de prestações. Quando a incógnita do 
problema é o valor das prestações, basta fazer: 
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Prof.: Moacir Magno Carvalho 1 e Prof.: Eduardo Rodrigues da Silva 1 
 
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1)1(
.
1)1( −+
=⇒
−+
=
nn
i
i
VFPMT
i
i
VF
PMT 
em que 
1)1( −+ ni
i
 é chamado Fator de Formação de Capital, representado por 
),( niFFC . Logo, 
),(. niFFCVFPMT = 
Obs.: você já deve ter observado que FFC é o inverso do FVF, e que FRC é o inverso do 
FVP, ou seja: 
FVF
FFC
1
= e 
FVP
FRC
1
= 
5- BIBLIOGRAFIA 
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira. 10. ed. São Paulo: Atlas, 2009. 
FARO, C. Princípios e analise de cálculo financeiro. Rio de Janeiro: LTC, 1990.