Anotações conjuntos

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Anotac¸o˜es sobre conjuntos
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Conjuntos 4
1.1 Definic¸o˜es ba´sicas e operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Axiomas ZFC para teoria dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Axioma da existeˆncia do conjunto vazio . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Axioma da extensa˜o e igualdade de conjuntos . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Axioma da compreensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Intersec¸a˜o de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.5 Axioma do par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.6 Axioma da unia˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.7 Definic¸a˜o da unia˜o de dois conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.8 Relac¸a˜o de inclusa˜o­Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.9 O vazio e´ subconjunto de todo conjunto . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.10 Subconjunto pro´prio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.11 Nenhum conjunto e´ elemento de si mesmo. . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.12 Conjunto universo U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.13 Axioma da poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.14 Propriedades da unia˜o de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.15 Conjunto das partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.16 Subconjuntos , igualdade e lo´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.17 Intersec¸a˜o de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.18 Se A ⊂ B enta˜o A ∩ C ⊂ B ∩ C, e A ∩ C ⊂ B. . . . . . . . . . . . . 17
1.2.19 Conjuntos disjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.20 Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.21 Na˜o vale que (A× B) ∪ (C×D) = (A ∪ C)× (B×D). . . . . . . 22
2
SUMA´RIO 3
1.2.22 Na˜o vale que [
⋃
k∈L
Gk] \ [
⋃
k∈L
Fk] =
⋃
k∈L
(Gk \ Fk). . . . . . . . . . . . . 22
1.2.23 [
⋃
k∈L
Gk] \ [
⋃
k∈L
Fk] ⊂
⋃
k∈L
(Gk \ Fk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.24 E \ F = E ∩ Fc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.25 Diferenc¸a sime´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Propriedades das operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Leis de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Partic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1
⋃
y∈Y
(B ∩ Iy) = B ∩ (
⋃
y∈Y
Iy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.2 B \ (B ∩A) = B ∩ (R \A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6 Conjuntos crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Conjuntos e func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Capı´tulo 1
Conjuntos
1.1 Definic¸o˜es ba´sicas e operac¸o˜es
O objetivo aqui e´ dar noc¸o˜es intuitivas sobre teoria dos conjuntos e na˜o apresentar
uma formulac¸a˜o rigorosa. Enta˜o o nosso objetivo e´ a teoria ingeˆnua dos conjuntos.
m Definic¸a˜o 1. Usaremos como uma primeira aproximac¸a˜o de um conjunto a
ideia de colec¸a˜o de objetos que sa˜o chamados seus elementos, um conjunto sendo
visto como uma entidade u´nica .
• Denotamos, geralmente, conjuntos por letras maiu´sculas A,B,C · · · e ele­
mentos por letras minu´sculas.
• Para dizer que a e´ um elemento de A escrevemos a ∈ A, nesse caso dizemos
que a pertence a` A , para dizer que a na˜o e´ elemento de A escrevemos
a /∈ A, nesse caso dizemos que a na˜o pertence a` A.
• Iremos considerar a existeˆncia e unicidade de um conjunto que na˜o possui
elementos, denotaremos tal conjunto como ∅ ou {} e diremos que e´ o conjunto
vazio .
4
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 5
• Podemos denotar um conjunto escrevendo seus elementos entre chaves {, },
ou dando a propriedade que seus elementos satisfazem. A notac¸a˜o entre
chaves sera´ chamada de notac¸a˜o de lista.
• Um conjunto A fica definido, determinado ou caracterizado quando se da´
uma regra que permita decidir se um objeto arbitra´rio x e´ ou na˜o elemento
de A. Podemos definir alguns conjuntos assumindo uma propriedade P e
tomar
{x | x possui propriedade P}.
• Algumas vezes um conjunto A pode ser definido com elementos de outro
conjunto E que satisfazem certa propriedade P, podemos denotar A da se­
guinte maneira
A = {x ∈ E | x possui propriedade P}.
• No item acima, se nenhum elemento de E possui a propriedade P, enta˜o A
e´ o conjunto vazio .
• Diferenciamos um elemento x do conjunto {x} cujo u´nico elemento e´ x, sendo
entes de natureza distintas. Enta˜o temos por exemplo com x = ∅ que ∅ e´
diferente de {∅}.
Apresentamos uma lista de axiomas para teoria dos conjuntos chamada de ZFC
. Em ZFC, as duas primeiras letras se referem aos nomes dos matema´ticos Ernst
Zermelo e Abraham Fraenkel, sendo C para denotar o axioma da escolha, choice em
ingleˆs. Tal sistema e´ um dos modos propostos para formular a teoria dos conjuntos
sem paradoxos que poderiam ser obtidos na teoria ingeˆnua dos conjuntos. Tal sistema
e´ considerado como fundamentac¸a˜o mais comum da matema´tica.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 6
1.2 Axiomas ZFC para teoria dos conjuntos
1.2.1 Axioma da existeˆncia do conjunto vazio
‡ Axioma 1 (Axioma da existeˆncia). Existe um conjunto que na˜o possui elementos .
1.2.2 Axioma da extensa˜o e igualdade de conjuntos
‡ Axioma 2 (Axioma da extensa˜o). Dois conjuntos sa˜o iguais⇔ possuem os mesmos
elementos . Um conjunto e´ determinado pelos seus membros. Se cada elemento de
um conjunto X e´ elemento de um conjunto Y e cada elemento de Y e´ um elemento
do conjunto X enta˜o, X e Y sa˜o o mesmo conjunto, o que denotamos por X = Y.
Tal axioma tambe´m chamado de axioma da extensionalidade ou determinac¸a˜o .
Em sı´mbolos
∀ x∀ y(∀ z(z ∈ x↔ z ∈ y)→ x = y).
Se dois conjuntos X e Y sa˜o iguais denotamos tal fato por X = Y. Caso A = B, A e
B conjuntos, enta˜o A e B sa˜o simbolos para representar o mesmo conjunto.
Z Exemplo 1. Conjuntos da forma A = {1, 2, 3} e B = {3, 2, 1}, sa˜o iguais pois
conte´m os mesmos elementos, na˜o importa enta˜o a ordem em que se escreve na
notac¸a˜o em lista.
Os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 1, 2, 3} tambe´m sa˜o iguais, pois ambos
possuem apenas os elementos 1, 2 e 3, na˜o importa se repetimos um elemento.
Usando o axioma da extensa˜o podemos provar que existe apenas um conjunto
sem elementos.
b Propriedade 1. Existe apenas um conjunto sem elementos.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que A e B sa˜o conjuntos sem elementos, vamos
mostrar que A = B . Vale que
∀ x ∈ A⇒ x ∈ B,
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 7
pois se na˜o fosse assim, haveria x ∈ A tal que x /∈ B, pore´m A na˜o possui elementos,
enta˜o fica provado por absurdo . De outro modo: uma proposic¸a˜o de implicac¸a˜o com
antecedente falso ( x ∈ A) e´ uma proposic¸a˜o verdadeira.
m Definic¸a˜o 2 (Conjunto vazio ∅). Existe portanto um u´nico conjunto que na˜o
possui elementos, o chamamos de conjunto vazio e denotamos por ∅.
1.2.3 Axioma da compreensa˜o
‡ Axioma 3 (Axioma da compreensa˜o ). Seja P(x) uma propriedade de x . Para
cada conjunto A existe um conjunto B tal que x ∈ B ⇔ x ∈ A e vale P(x) . Para
cada propriedade P temos um axioma que garante a existeˆncia de um conjunto B
tal que os elementos de B sa˜o determinados como elementos de A que satisfazem a
propriedade P.
b Propriedade 2 (Unicidade de conjunto definido pelo axioma da compre­
ensa˜o). Para cada conjunto A existe apenas um conjunto B tal que
x ∈ B⇔ x∈ A e vale P(x).
ê Demonstrac¸a˜o. Se B ′ e´ outro conjunto tal que x ∈ B ′ ⇔ x ∈ A e vale P(x),
enta˜o x ∈ B⇔ x ∈ B ′ , logo B = B ′ pelo axioma da extensa˜o .
Agora podemos introduzir um nome para o u´nico conjunto B definido com ele­
mentos de A que satisfazem P(x).
m Definic¸a˜o 3. Denotamos por {x ∈ A | P(x)} o u´nico conjunto de todos x ∈ A
tais que P(x) vale .
b Propriedade 3. {x ∈ ∅|P(x)} = ∅.
ê Demonstrac¸a˜o. {x ∈ ∅|P(x)} = ∅ e´ o conjunto de todos x ∈ ∅ tais que vale
P(x) pore´m ∅ na˜o possui elementos e daı´ {x ∈ ∅|P(x)} e´ vazio .
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 8
1.2.4 Intersec¸a˜o de conjuntos
b Propriedade 4. Se A e B sa˜o conjuntos, enta˜o existe um conjunto simboli­
zado por A ∩ B, tal que x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A e x ∈ B . Tal conjunto e´ chamado de
intersec¸a˜o de A e B .
ê Demonstrac¸a˜o.
Considere a propriedade P(x), x ∈ B. Pelo axioma da compreensa˜o existe um
conjunto A ∩ B tal que x ∈ A ∩ B⇔ x ∈ A e vale P(x), isto e´, x ∈ B.
1.2.5 Axioma do par
‡ Axioma 4 (Axioma do par). Para cada A e B conjuntos existe um conjunto C tal
que x ∈ C ⇔ x = A ou x = B, isto e´ , A ∈ C e B ∈ C e nenhum outro elemento .
b Propriedade 5. O conjunto C definido na propriedade anterior e´ u´nico .
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha outro conjunto C ′ = {A,B} enta˜o C ′ e C possuem
os mesmos elementos , logo sa˜o o mesmo conjunto.
m Definic¸a˜o 4 (Par na˜o ordenado). Definimos o par na˜o ordenado de A e B
como o conjunto contendo exatamente A e B como elementos e o denotamos por
{A,B} . Se A = B o denotamos por {A}.
Z Exemplo 2. Se A = ∅ = B enta˜o
{∅} = {∅, ∅},
sendo um conjunto tal que ∅ ∈ {∅}, x ∈ {∅}⇔ x = ∅ .
{∅} possui um u´nico elemento , que e´ o conjunto vazio . Observamos tambe´m
que
{∅} 6= ∅,
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 9
pois ∅ ∈ {∅} e ∅ /∈ ∅, pois ∅ na˜o possui elementos.
Z Exemplo 3. Se A = ∅ e B = {∅} enta˜o ∅ ∈ {∅, {∅}} e {∅} ∈ {∅, {∅}} . Temos que
∅ e {∅} sa˜o os u´nicos elementos de {∅, {∅}} . Tem­se que ∅ 6= {∅, {∅}} e {∅} 6= {∅, {∅}} .
1.2.6 Axioma da unia˜o
‡ Axioma 5 (Axioma da unia˜o). Para cada conjunto S, existe um conjunto U tal
que x ∈ U⇔ x ∈ A para algum A ∈ S
b Propriedade 6. Um conjunto definido pelo axioma da unia˜o e´ u´nico .
ê Demonstrac¸a˜o. Seja U ′ outro conjunto tal que x ′ ∈ U ⇔ x ∈ A para algum
A ∈ S, daı´ cada elemento de U ′ e´ elemento de U , pois a definic¸a˜o de um elemento
pertencer a U e´ a mesma que para U ′, da mesma forma todo elemento de U e´
elemento de U ′ pela definic¸a˜o, portanto U e U ′ possuem os mesmos elementos logo
sa˜o conjuntos iguais.
m Definic¸a˜o 5. O conjunto U definido pelo axioma da unia˜o e´ denotado por⋃
S. Dizemos que S e´ um sistema de conjuntos ou uma colec¸a˜o de conjuntos.
Z Exemplo 4. Seja S = {∅, {∅}}, seus elementos sa˜o A1 = ∅ , A2 = {∅} o u´nico
desses que possui elemento e´ A2 enta˜o formamos U com esse elemento
U = {∅}.
b Propriedade 7.
⋃
∅ = ∅.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos provar que
⋃
∅ e´ vazio . Suponha que na˜o, enta˜o
existe A ∈ ∅ tal que x ∈ A, o que e´ absurdo pois ∅ na˜o possui elemento.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 10
1.2.7 Definic¸a˜o da unia˜o de dois conjuntos
m Definic¸a˜o 6 (Unia˜o de dois conjuntos). Se M e N sa˜o conjuntos x ∈⋃
{M,N} ⇔ x ∈ M ou x ∈ N, o conjunto ⋃{M,N} e´ chamado de unia˜o de
M e N e denotado por M ∪N.
1.2.8 Relac¸a˜o de inclusa˜o­Subconjuntos
m Definic¸a˜o 7 (Relac¸a˜o de inclusa˜o­Subconjuntos). Dizemos que A e´ subcon­
junto de B, e denotamos tal fato como A ⊂ B quando ∀ a ∈ A tem ­se a ∈ B. A
negac¸a˜o de A ⊂ B e´: existe a ∈ A tal que a /∈ B, nesse caso escrevemos A 6⊂ B, em
palavras, existe um elemento a ∈ A que na˜o e´ elemento de B, enta˜o para mostrar
que na˜o vale a inclusa˜o basta mostrar tal elemento .
Se A ⊂ B enta˜o podemos ler tambe´m como:
• A e´ parte de B.
• A esta´ incluı´do em B .
• A esta´ contido em B .
Um subconjunto de A tambe´m pode ser chamado de parte de A.
$ Corola´rio 1. x ∈ A⇔ {x} ⊂ A.
$ Corola´rio 2 (Reflexividade). A ⊂ A.
1.2.9 O vazio e´ subconjunto de todo conjunto
$ Corola´rio 3. ∅ ⊂ B ∀ conjunto B. O conjunto vazio e´ subconjunto de qualquer
conjunto B, pois se na˜o fosse existiria algum elemento a no vazio tal que a /∈ B,
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 11
o que e´ absurdo pois o conjunto vazio na˜o possui elementos.
b Propriedade 8 (Transitividade da relac¸a˜o de inclusa˜o). Se A ⊂ B e B ⊂ C
enta˜o A ⊂ C.
ê Demonstrac¸a˜o. Dado qualquer a ∈ A tem­se a ∈ B e daı´ por B ⊂ C tem­se
a ∈ C, como a e´ arbitra´rio tem­se A ⊂ C.
Z Exemplo 5. 1. {∅} ⊂ {∅, {∅}} e tambe´m {{∅}} ⊂ {∅, {∅}}
2. {x ∈ A | P(x)} ⊂ A, pois todo elemento de {x ∈ A | P(x)} pertence a A por
definic¸a˜o .
3. Se A ∈ S enta˜o A ⊂
⋃
S.
Seja x ∈ A vamos mostrar que x ∈
⋃
S, pelo axioma da unia˜o x ∈
⋃
S ⇔
x ∈ A para algum A ∈ S, enta˜o a propriedade vale.
b Propriedade 9 (Propriedade anti­sime´trica). A ⊂ B e B ⊂ A ⇔ A = B .
A condic¸a˜o de se A ⊂ B e B ⊂ A enta˜o A = B e´ dita propriedade anti­sime´trica
.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). Se temos A ⊂ B e B ⊂ A enta˜o todo elemento de A e´
elemento de B e todo elemento de B e´ elemento de A.⇐) . Se A = B enta˜o todo elemento de A e´ elemento de B, logo A ⊂ B , tambe´m,
todo elemento de B e´ elemento de A logo B ⊂ A.
1.2.10 Subconjunto pro´prio
m Definic¸a˜o 8 (Subconjunto pro´prio). Quando A ⊂ B e tem­se B 6⊂ A dizemos
que A e´ subconjunto pro´prio
‡ Axioma 6 (Axioma da regularidade). Todo conjunto X na˜o vazio, possui um
elemento Y, tais que X e Y sa˜o conjuntos disjuntos .
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 12
∀ x[∃y(y ∈ x)→ ∃y(y ∈ x∧ ¬∃z(z ∈ x∧ z ∈ y)].
Z Exemplo 6. Seja X = {∅, {∅}}. Os elementos de X sa˜o Y1 = ∅ e Y2 = {∅}. X
e Y2 = {∅} possuem um elemento em comum ∅, pore´m X e Y1 = ∅ na˜o possuem
elemento em comum, logo sa˜o disjuntos.
1.2.11 Nenhum conjunto e´ elemento de si mesmo.
b Propriedade 10. Nenhum conjunto e´ elemento de si mesmo.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja A um conjunto. Pelo axioma do Par, existe o conjunto
{A}. Pelo axioma da regularidade, existe elemento de {A} disjunto dele. Como o
u´nico elemento de {A} e´ A, enta˜o A ∩ {A} = ∅, pore´m temos que A ∈ {A} e daı´ na˜o
podemos ter A ∈ A, pois se assim fosse, tanto {A} teria o elemento A, tanto quanto
A (de A ∈ A) e daı´ na˜o valeria A ∩ {A} = ∅, pois conjuntos disjuntos na˜o possuem
elemento em comum.
$ Corola´rio 4. Na˜o podemos ter X = {X}, pois daı´ X seria elemento de si mesmo.
b Propriedade 11. Dados conjuntos X e Y, na˜o podemos ter X ∈ Y e tambe´m
Y ∈ X .
ê Demonstrac¸a˜o. Pelo axioma do Par, existe o conjunto {X, Y}. Pelo axioma
da regularidade, existe elemento de {X, Y} disjunto dele. Como od u´nico elemento de
{C, Y} sa˜o X e Y, suponha sem perda de generalidade que seja X, enta˜o X∩ {X, Y} = ∅,
pore´m temos que Y ∈ {Y, X} e daı´ na˜o podemos ter Y ∈ X, pois se assim fosse, tanto
{Y, X} teria o elemento Y, tanto quanto X e daı´ na˜o valeria X ∩ {X, Y} = ∅, pois
conjuntos disjuntos na˜o possuem elemento em comum.
1.2.12 Conjunto universo U
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 13
m Definic¸a˜o 9 (Conjunto universo U). Em algumas aplicac¸o˜es de teoria dos
conjuntos, fixamos um conjunto U e nos focamos apenas em seus subconjuntos.
O conjunto U va´ria por tema de estudo sendo chamado de conjunto universal o
conjunto
{x | x ∈ U, x satisfaz P},
onde P e´ uma propriedade, pode ser denotado por
{x | x satisfaz P},
quando o conjunto universo U e´ conhecido pelo contexto .
Z Exemplo 7 (Va´riel muda). Na notac¸a˜o de conjunto a va´riavel e´ muda,
independe se usamos x, y, z ou outra varia´vel para denotar o conjunto
{x | x ∈ U, x satisfaz P} = {z | z ∈ U, z satisfaz P}.
1.2.13 Axioma da poteˆncia
‡ Axioma 7 (Axioma da poteˆncia). Para cada conjunto S, existe um conjunto P tal
que x ∈ P ⇔ x ⊂ S. Tal conjunto P e´ chamado de conjunto das partes de S, denotado
por P(S) .
b Propriedade 12. O conjunto das partes e´ u´nico.
ê Demonstrac¸a˜o.
1.2.14 Propriedades da unia˜o de conjuntos
m Definic¸a˜o 10 (Unia˜o). Ja´ definimos unia˜o de conjuntos ao apresentar axioma
da unia˜o, aqui relembramos a definic¸a˜o da unia˜o de dois conjuntos e demonstra­
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 14
mos propriedades sobre unia˜o. Dados dois conjuntos A e B, definimos a unia˜o
A ∪ B como o conjunto
A ∪ B = {x ∈ A ou x ∈ B}
e´ o conjunto formado por elementos dos dois conjuntos A e B. Lembrando que
o "ou"usado em matema´tica, na˜o e´ exclusivo, isto e´ se x ∈ A e x ∈ B enta˜o
x ∈ A ou x ∈ B, o "ou"usado em matema´tica na˜o exclui a possibilidade das duas
proposic¸o˜es ligadas pelo conectivo lo´gicou "ou", serem verdadeiras.
$ Corola´rio 5. Vale que A ⊂ A ∪ B pois ∀ x ∈ A tem­se x ∈ A ∪ B.
$ Corola´rio 6. Vale que A = A ∪ ∅ pois A ⊂ A ∪ ∅ e A ∪ ∅ ⊂ A.
$ Corola´rio 7 (Idempoteˆncia da unia˜o). A ∪A = A.
$ Corola´rio 8. A ∪ B = B ∪A.
b Propriedade 13. Dados A e B, seja X com as propriedades
• A ⊂ X, B ⊂ X.
• Se A ⊂ Y e B ⊂ Y enta˜o X ⊂ Y.
Nessas condic¸o˜es X = A ∪ B, a unia˜o A ∪ B e´ o menor conjunto com subcon­
juntos A e B.
ê Demonstrac¸a˜o.
A primeira condic¸a˜o implica que A ∪ B ⊂ X. A segunda condic¸a˜o com Y = A ∪ B
implica X ⊂ A ∪ B. Das duas segue que A ∪ B = X.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 15
b Propriedade 14 (Associatividade da unia˜o de conjuntos). Sendo A, B e C
conjuntos quaisquer, vale que
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que (A ∪ B) ∪ C ⊂ A ∪ (B ∪ C) inicialmente,
depois a outra inclusa˜o .
Seja x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Se x ∈ C enta˜o x ∈ B ∪ C e daı´ x ∈ A ∪ (B ∪ C). Se x /∈ C
enta˜o x ∈ A∪B, nessa condic¸a˜o se x /∈ B enta˜o x ∈ A e daı´ x ∈ A∪ (B∪C), se x ∈ B
enta˜o x ∈ A ∪ (B ∪ C), enta˜o a inclusa˜o vale em qualquer dos casos.
1.2.15 Conjunto das partes
m Definic¸a˜o 11 (Conjunto das partes). Dado um conjunto A, denotamos por
P(A) o conjunto (que iremos supor que existe), cujos elementos sa˜o os subconjun­
tos de A.
$ Corola´rio 9. Dado um conjunto A, enta˜o P(A) nunca e´ vazio pois ∅ e´ sub­
conjunto de A e ∅ ∈ P(A), ale´m disso P(A) possui pelo menos dois elementos pois
A ⊂ A enta˜o A ∈ P(A).
Z Exemplo 8. • Se A = ∅ enta˜o P(A) = {∅}, pois o u´nico subconjunto do
vazio e´ ele mesmo, se houvesse outro subconjunto ele teria um elemento,
mas o vazio na˜o possui elementos.
• Se A = {1} enta˜o P(A) = {∅, 1}.
m Definic¸a˜o 12 (Nu´mero de elementos de um conjunto). Para simbolizar o
nu´mero de elementos de um conjunto A usamos |A|. O intuito aqui na˜o e´ dar
uma definic¸a˜o rigorosa do nu´mero de elementos de um conjunto, tal tentativa e´
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 16
feita no texto sobre conjuntos enumera´veis .
b Propriedade 15. Seja |A| = n enta˜o |P(A)| = 2n.
ê Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, se n = 1, enta˜o A = {a1} possui dois
subconjuntos que sa˜o ∅ e {α1}. Suponha que um conjunto qualquer B com n elementos
tenha |P(B)| = 2n, vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica
|P(C)| = 2n+1. Tomamos um elemento a ∈ C, C \ {a} possui 2n subconjuntos (por
hipo´tese da induc¸a˜o), sk de k = 1 ate´ k = 2n, que tambe´m sa˜o subconjuntos de C,
pore´m podemos formar mais 2n subconjuntos de C com a unia˜o do elemento {a},
logo no total temos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto,
pois na˜o temos nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.
1.2.16 Subconjuntos , igualdade e lo´gica
b Propriedade 16. Sejam X e Y subconjuntos de um conjunto universo U, P
e Q propriedades que definem X e Y em U respectivamente, enta˜o
1. x satisfaz P ⇒ x satisfaz Q⇒ X ⊂ Y.
2. x satisfaz P ⇔ x satisfaz Q⇒ X = Y.
ê Demonstrac¸a˜o.
1. Seja a ∈ X enta˜o a satisfaz a propriedade P e daı´ a satisfaz Q, sendo elemento
de U enta˜o a ∈ Y, como a foi tomado arbitra´rio em X temos X ⊂ Y.
2. Usamos duas vezes a implicac¸a˜o anterior, o que nos garante X ⊂ Y e Y ⊂ X dai
X = Y.
1.2.17 Intersec¸a˜o de conjuntos
m Definic¸a˜o 13 (Intersecc¸a˜o). Dados dois conjuntos A e B, definimos a
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 17
Intersecc¸a˜o A ∩ B como o conjunto
A ∩ B = {x ∈ A e x ∈ B}
e´ o conjunto formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos A e B.
$ Corola´rio 10. A ∩ B = B ∩A.
b Propriedade 17. A ∩ B ⊂ A, pois a ∈ A ∩ B⇒ a ∈ A e a ∈ B.
$ Corola´rio 11. A ∩ ∅ = ∅ pois A ∩ ∅ ⊂ ∅.
b Propriedade 18. A ∩ B e´ o menor subconjunto de A e B.
Seja X com
• X ⊂ A e X ⊂ B
• Se Y ⊂ A e Y ⊂ B enta˜o Y ⊂ X.
Nessas condic¸o˜es X = A ∩ B.
ê Demonstrac¸a˜o. Da primeira condic¸a˜o temos que X ⊂ A ∩ B. Da segunda
tomando Y = A ∩ B, que satisfaz Y ⊂ A e Y ⊂ B, enta˜o
A ∩ B ⊂ X
logo pelas duas incluso˜es A ∩ B = X.
1.2.18 Se A ⊂ B enta˜o A ∩ C ⊂ B ∩ C, e A ∩ C ⊂ B.
b Propriedade 19. Se A ⊂ B enta˜o A ∩ C ⊂ B ∩ C, e A ∩ C ⊂ B.
ê Demonstrac¸a˜o. Se x ∈ A ∩ C daı´ x ∈ A de onde segue que x ∈ B, ale´m disso
x ∈ C logo x ∈ B ∩ C.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 18
1.2.19 Conjuntos disjuntos
m Definic¸a˜o 14 (Conjuntos disjuntos). A e B sa˜o conjuntos disjuntos se A∩B =
∅. Neste caso na˜o existe elemento que pertenc¸a aos dois conjuntos, isto e´, na˜o
existe x tal que x ∈ A e x ∈ B, pois caso contra´rio ele na˜o seria vazio .
b Propriedade 20. Sejam A,B ⊂ E. enta˜o
A ∩ B = ∅⇔ A ⊂ Bc.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que E = B ∪ Bc onde B ∩ Bc = ∅.⇒).
Suponha por absurdo que A∩B = ∅ e na˜o vale A ⊂ Bc, enta˜o existe a ∈ A tal que
a /∈ Bc e por isso a ∈ B, mas daı´ A ∩ B 6= ∅ absurdo.⇐).
Suponha a ∈ A ∩ B enta˜o a ∈ A ⊂ Bc e a ∈ B o que e´ absurdo pois B e Bc sa˜o
disjuntos.
$ Corola´rio 12. Vale que A ∪ B = E⇔ Ac ⊂ B.
Pois
A ∪ B = E⇔ Ac ∩ Bc = ∅⇔
pelo resultado anterior
Bc ⊂ (Ac)c︸ ︷︷ ︸
A
⇔ Ac ⊂ B.
$ Corola´rio 13. Sejam A,B ⊂ E. A ⊂ B⇔ A ∩ Bc = ∅.
Sabemos que A ∩W = ∅⇔ A ⊂Wc por resultado que ja´ mostramos, tomando
W = Bc temos o resultado que desejamos.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 19
Z Exemplo 9. Deˆ exemplo de conjuntos A,B,C tais que
(A ∪ B) ∩ C 6= A ∪ (B ∩ C).
Sejam A = B 6= ∅ e C tal que C ∩A = ∅. Enta˜o
(A ∪ B) ∩ C = A ∩ C = ∅ 6= A ∪ (B ∩ C) = A ∪ ∅ = A.
b Propriedade 21. Se A,X ⊂ E tais que A ∩ X = ∅ e A ∪ X = E enta˜o X = Ac.
ê Demonstrac¸a˜o. Pelo que ja´ mostramos A∩X = ∅ enta˜o X ⊂ Ac. De A∪X = E
temos Ac ⊂ X, como temos Ac ⊂ X e X ⊂ Ac enta˜o tem­se a igualdade X = Ac.
b Propriedade 22. Se A ⊂ B enta˜o B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A ∀ C.
Se existe C tal que B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪A enta˜o A ⊂ B.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar a primeira afirmac¸a˜o. Seja x ∈ B ∩ (A ∪ C),
enta˜o x ∈ B e x ∈ A ∪ C. Se x ∈ A enta˜o x ∈ (B ∩ C) ∪ A e terminamos, se x /∈ A
enta˜o x ∈ B e x ∈ C e terminamos novamente pois e´ elemento de B ∩ C.
Agora a outra inclusa˜o. Se x ∈ (B ∩ C) ∪ A enta˜o x ∈ A ou x ∈ B ∩ C. Se x ∈ A
terminamos. Se x /∈ A enta˜o x ∈ B ∩ C e daı´ pertence a` B ∩ (A ∪ C) como querı´amos
demonstrar.
Agora a segunda propriedade. Suponha por absurdo que A 6⊂ B enta˜o existe x ∈ A
tal que x /∈ B, tal x pertence a` (B∩C)∪A pore´m na˜o pertence a` B∩ (A∪C) portanto
na˜o temos a igualdade, absurdo!.
b Propriedade 23. Vale que A = B⇔ (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = ∅.
ê Demonstrac¸a˜o.⇐). Se (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = ∅ enta˜o A ∩ Bc = ∅ e Ac ∩ B = ∅, logo por resultados
que ja´ provamos A ⊂ B da primeira relac¸a˜o e B ⊂ A da segunda, portanto A = B.⇒). Se A = B enta˜o A ∩ Bc = Ac ∩ B = ∅.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 20
b Propriedade 24. Vale que (A \ B) ∪ (B \A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos provar as duas incluso˜es.
Seja x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A). Tal unia˜o e´ disjunta, pois se houvesse um em ambos
conjuntos, enta˜o pelo primeiro x ∈ A, x /∈ B pelo segundo x ∈ B, x /∈ A absurdo.
Se x ∈ A\B logo x ∈ A, x /∈ B portanto x ∈ A∪B e x /∈ A∩B logo x ∈ (A∪B)\(A∩B),
o caso de x ∈ (B\A) tambe´m implica inclusa˜o por simetria (trocar A por B na˜o altera).
Se x ∈ A ∪ B \ A ∩ B enta˜o x ∈ A ou x ∈ B e x /∈ A ∩ B logo x /∈ A e B
simultaneamente,isso significa que x ∈ A ou x ∈ B exclusivamente logo x ∈ (A\B)∪
(B \A).
b Propriedade 25. Se
(A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A ∪ C) \ (A ∩ C)
enta˜o B = C, isto e´, vale a lei do corte para A∆B = A∆C.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que B 6= C, suponha sem perda de generalidade que
x ∈ B, x /∈ C. Vamos analisar casos.
Se x /∈ A enta˜o x /∈ (A ∪ C) \ (A ∩ C) pore´m x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Se x ∈ A enta˜o x /∈ A ∪ B \ (A ∩ B) e x ∈ (A ∪ C) \ (A ∩ C), portanto na˜o vale a
igualdade dos conjuntos.
Logo devemos ter B = C.
m Definic¸a˜o 15 (Conjuntos disjuntos). Dois conjuntos A e B sa˜o ditos disjuntos
quando A ∩ B = ∅.
m Definic¸a˜o 16 (Diferenc¸a de conjuntos). Dados dois conjuntos A e B, defini­
mos A \ B como o conjunto
A \ B = {x ∈ A , x /∈ B}
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 21
m Definic¸a˜o 17 (Complementar). Sendo A subconjunto de B definimos o com­
plementar de A em relac¸a˜o a B como o conjunto
Ac : B \A.
Normalmente fixamos o conjunto B.
b Propriedade 26 (Idempoteˆncia do complementar). Vale que (Ac)c = A.
ê Demonstrac¸a˜o. x ∈ A⇔ x /∈ Ac ⇔ x ∈ (Ac)c.
b Propriedade 27. Vale que
B = A ∪Ac.
ê Demonstrac¸a˜o. Ja´ sabemos que A ∪Ac ⊂ B, mostramos a outra inclusa˜o, se
x ∈ B e x ∈ A terminamos, se na˜o x ∈ Ac daı´ vale a outra inclusa˜o .
1.2.20 Produto cartesiano
m Definic¸a˜o 18 (Produto cartesiano). Dados A e B o produto cartesiano A×B
e´ o conjunto formado pelos pares ordenados (a, b), tais que a ∈ A e b ∈ B.
b Propriedade 28. Valem as seguintes propriedades do produto cartesiano .
1. (A ∩ B)× C = (A× C) ∩ (B× C).
2. (A \ B)× C = (A× C) \ (B× C).
3. Se A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ enta˜o A× B ⊂ A ′ × B ′.
ê Demonstrac¸a˜o.
1. Tomamos (x, y) ∈ (A ∩ B)× C, enta˜o x ∈ A e x ∈ B, y ∈ C, logo (x, y) ∈ A× C
e (B× C) provando a primeira inclusa˜o, agora a segunda.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 22
(x, y) ∈ (A× C) ∩ (B× C) enta˜o x ∈ A e B, y ∈ C logo (x, y) ∈ (A ∩ B)× C.
2. Sendo (x, y) ∈ (A \ B) × C enta˜o x ∈ A, x /∈ B e y ∈ C logo (x, y) ∈ (A × C) e
na˜o pertence a` B×C pois para isso seria necessa´rio x ∈ B o que na˜o acontece.
Agora a outra inclusa˜o, se (x, y) ∈ (A×C) \ (B×C) enta˜o x ∈ A e y /∈ C pore´m
x na˜o pode pertencer a` B pois esta˜o sendo retirados elementos de B× C enta˜o
vale a outra inclusa˜o.
3. Seja (x, y) ∈ A×B enta˜o pelas incluso˜es A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ temos x ∈ A ′ e y ∈ B ′
portanto (x, y) ∈ A ′ × B ′.
1.2.21 Na˜o vale que (A× B) ∪ (C×D) = (A ∪ C)× (B×D).
b Propriedade 29. Na˜o vale em geral que
(A× B) ∪ (C×D) = (A ∪ C)× (B×D).
ê Demonstrac¸a˜o. Seja por exemplo A = B, C = D, enta˜o a igualdade que
queremos mostrar que na˜o vale em geral e´
(A×A) ∪ (C× C) = (A ∪ C)× (A× C).
Suponha que A e C sejam finitos, disjuntos e que possuam cada um n elementos.
Enta˜o (A×A)∪ (C×C) possui 2n2 elementos e (A∪C)× (A×C) possui (2n)2 = 4n2
elementos, logo a identidade na˜o vale.
1.2.22 Na˜o vale que [
⋃
k∈L
Gk] \ [
⋃
k∈L
Fk] =
⋃
k∈L
(Gk \ Fk).
1.2.23 [
⋃
k∈L
Gk] \ [
⋃
k∈L
Fk] ⊂
⋃
k∈L
(Gk \ Fk)
• Vale
[
⋃
k∈L
Gk] \ [
⋃
k∈L
Fk]︸ ︷︷ ︸
A
⊂
⋃
k∈L
(Gk \ Fk)︸ ︷︷ ︸
B
.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 23
Seja x ∈ A enta˜o x ∈ Gj para algum j e x /∈
⋃
k∈L
Fk, portanto x /∈ Fk, ∀ k ∈ L em
especial x /∈ Fj,, daı´ x ∈ Gj \ Fj e portanto x ∈
⋃
k∈L
(Ek \ Fk).
A igualdade na˜o vale em geral pois,
[ {1}︸︷︷︸
G1
∪ {2}︸︷︷︸
G2
] \ [ {2}︸︷︷︸
F1
∪ {1}︸︷︷︸
F2
] = ∅,
se a identidade fosse va´lida, terı´amos
[G1 ∪G2] \ [F1 ∪ F2] = [G1 \ F1] ∪ [G2 \ F2] = [{1} \ {2}] ∪ [{2} \ {1}] = {1, 2} 6= ∅.
b Propriedade 30. 1. (A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B× C).
2. C× (A ∪ B) = (C×A) ∪ (C× B).
ê Demonstrac¸a˜o.
1. Seja (x, y) ∈ (A ∪ B) × C, temos que y ∈ C se x ∈ A enta˜o (x, y) ∈ (A × C), se
x ∈ B enta˜o (x, y) ∈ (B×C) enta˜o vale (A ∪ B)×C ⊂ (A×C) ∪ (B×C). Agora
a outra inclusa˜o.
Temos que (A × C) ⊂ (A ∪ B) × C pois um elemento do primeiro e´ da forma
(x, y) com x ∈ A e y ∈ C que pertence ao segundo conjunto, o mesmo para
(B× C).
2. Seja (x, y) em C × (A ∪ B), enta˜o x ∈ C e y ∈ A ou B, se y ∈ A enta˜o
(x, y) ∈ C × A e daı´ pertence a (C × A) ∪ (C × B), se y ∈ B caı´mos no mesmo
caso (x, y) ∈ C× B e daı´ pertence a (C×A) ∪ (C× B).
Agora a outra inclusa˜o . Se (x, y) ∈ (C×A) ∪ (C× B) enta˜o x ∈ C e y ∈ A ou
y ∈ B , logo (x, y) ∈ C× (A ∪ B).
b Propriedade 31. Vale que
1.
(
n⋃
k=1
Ak)× C =
n⋃
k=1
(Ak × C),∀ n ∈ N.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 24
2.
C× (
n⋃
k=1
Ak) =
n⋃
k=1
(C×Ak),∀ n ∈ N.
ê Demonstrac¸a˜o. Provamos por induc¸a˜o sobre n, para n = 1 a propriedade
vale trivialmente para ambos casos. Supondo a validade para n, vamos provar para
n+ 1,
1.
(
n+1⋃
k=1
Ak)× C = (
n⋃
k=1
Ak︸ ︷︷ ︸
A
∪An+1︸︷︷︸
B
)× C =
= (A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B× C) = ((
n⋃
k=1
Ak)× C) ∪ (An+1 × C) =
=
n⋃
k=1
(Ak × C) ∪ (An+1 × C) =
n+1⋃
k=1
(Ak × C).
Como querı´amos provar.
2.
C× (
n+1⋃
k=1
Ak) = C× (An+1︸︷︷︸
A
∪
n⋃
k=1
Ak︸ ︷︷ ︸
B
) =
= (C×A) ∪ (C× B) = (C×An+1) ∪ (C×
n⋃
k=1
Ak) = (C×An+1) ∪ (
n⋃
k=1
[C×Ak]) =
=
n⋃
k=1
(C×Ak),
como querı´amos provar .
b Propriedade 32. Vale que
(
n⋃
k=1
Ak)× (
m⋃
j=1
Bj) =
n⋃
k=1
m⋃
j=1
(Ak × Bj).
ê Demonstrac¸a˜o. Usamos os resultados anteriores
(
n⋃
k=1
Ak)× (
m⋃
j=1
Bj︸ ︷︷ ︸
C
) =
n⋃
k=1
(Ak × C) =
n⋃
k=1
(Ak × [
m⋃
j=1
Bj]) =
n⋃
k=1
[
m⋃
j=1
(Ak × Bj)].
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 25
b Propriedade 33. Vale que (S1 × T1) ∩ (S2 × T2) = (S1 ∩ S2)× (T1 ∩ T2).
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos provar as duas incluso˜es de conjunto. Seja z ∈
(S1 × T1) ∩ (S2 × T2) enta˜o z = (x, y) onde (x, y) ∈ (S1 × T1) e (x, y) ∈ (S2 × T2) logo
x ∈ S1 e S2 e y ∈ T1 e T2 logo (x, y) ∈ (S1 ∩ S2)× (T1 ∩ T2).
Seja agora z ∈ (S1 ∩ S2) × (T1 ∩ T2) logo z = (x, y) com x ∈ S1 e S2, y ∈ T1 e T2,
(x, y) ∈ S1 × T1 e S2 × T2 enta˜o segue a outra inclusa˜o .
b Propriedade 34. Vale que
(A× B)c ⊃ Ac × Bc.
ê Demonstrac¸a˜o.
Seja z ∈ Ac × Bc enta˜o z = (x, y), x ∈ Ac e y ∈ Bc, por isso x /∈ A e y /∈ B o que
garante (x, y) /∈ A× B e daı´ (x, y) ∈ (A× B)c.
b Propriedade 35. Vale que
(A× B)c = (Ac × Bc) ∪ (Ac × B) ∪ (A× Bc).
ê Demonstrac¸a˜o.
1.2.24 E \ F = E ∩ Fc.
Z Exemplo 10. Vale que E \ F = E ∩ Fc, pois x ∈ E \ F ⇔ x ∈ E, x /∈ F, logo
x ∈ Fc. x ∈ E ∩ Fc ⇔ x ∈ E e x /∈ F.
1.2.25 Diferenc¸a sime´trica
m Definic¸a˜o 19 (Diferenc¸a sime´trica). Dados dois conjuntos A e B, a diferenc¸a
sime´trica entre eles e´ o conjunto denotado por A∆B, dado por
A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 26
$ Corola´rio 14. A∆A = ∅, pois A∆A = (A ∪A) \ (A ∩A) = A \A = ∅.
A∆∅ = A, pois A∆∅ = (A ∪ ∅) \ (A ∩ ∅) = A \ ∅ = A.
b Propriedade 36. A∆B = {a} ⇔ A e B diferem pelo elemento a.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒).
Se A∆B = {a} enta˜o a ∈ A∪B e a /∈ A∩B, podemos supor que a ∈ B e a /∈ A. Se
houvesse outro elemento b 6= a, b ∈ B e b /∈ A enta˜o b ∈ A∪B e b /∈ A∩B, portanto
b ∈ A∆B, o que na˜o ocorre, da mesma maneira se fosse b ∈ A e b /∈ B. Com isso
concluı´mos que B = A ∪ {a}, A ⊂ B.⇐).
Sendo B = A ∪ {a} com a /∈ A, temos A ∪ B = B = A ∪ {a} e A ∩ B = A portanto
segue A∆B = {a}.
1.3 Propriedades das operac¸o˜es
b Propriedade 37 (Distributividade). Valem as propriedades distributivas
1.
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
2.
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Para memorizar essas operac¸o˜es, podemos usar a distributividade da multiplicac¸a˜o
em relac¸a˜o a adic¸a˜o
A(B+ C) = AB+AC
e substituir em cada caso × = ∪, + = ∩ ou × = ∩, + = ∪.
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 27
1. Vamos mostrar inicialmente que A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C). Vale que x ∈ A e
x ∈ B∪C, supomos sem perda de generalidade que x /∈ B, x ∈ C enta˜o x ∈ A∩C
e terminamos. Agora vamos mostrar que (A∩B)∪ (A∩C) ⊂ A∩ (B∪C). Vale
que x ∈ A∩B ou x ∈ A∩C. Suponha sem perda de generalidadeque x ∈ A∩B,
enta˜o x ∈ A e x ∈ B o que prova. Como valem as duas incluso˜es enta˜o vale a
igualdade entre os conjuntos.
2. Vale A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Seja a ∈ A ∪ (B ∩ C) enta˜o a ∈ A ou
a ∈ B ∩ C. Se a ∈ A enta˜o a ∈ A ∪ B e a ∈ A ∪ C logo pertence a intersec¸a˜o ,
se a ∈ B ∩ C enta˜o a ∈ B e a ∈ C da mesma forma o resultado segue.
Vamos mostrar que (A∪B)∩ (A∪C) ⊂ A∪ (B∩C). Vale a ∈ A∪B e a ∈ A∪C.
Se a ∈ A a propriedade segue. Se a ∈ B e a /∈ A enta˜o a ∈ C, pois se na˜o
a /∈ A ∪ C contrariando a hipo´tese, logo a ∈ B ∩ C e segue a inclusa˜o que
querı´amos mostrar.
1.3.1 Leis de De Morgan
b Propriedade 38. Seja {Ak}k∈B uma colec¸a˜o qualquer de subconjuntos de um
conjunto X, enta˜o
(
⋃
k∈B
Ak)
c =
⋂
k∈B
(Ak)
c.
ê Demonstrac¸a˜o.
x ∈ (
⋃
k∈B
Ak)
c ⇔ x /∈ Ak ∀ k (caso fosse elemento de um dos conjunto seria
elemento da unia˜o) ⇔ x ∈ Ack ∀ k⇔ x ∈ ⋂
k∈B
(Ak)
c.
$ Corola´rio 15. Seja {Ak}k∈B uma colec¸a˜o qualquer de subconjuntos de um
conjunto X, enta˜o
(
⋂
k∈B
Ak)
c =
⋃
k∈B
(Ak)
c,
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 28
sabemos que
(
⋃
k∈B
Ack)
c =
⋂
k∈B
(Ack)
c =
⋂
k∈B
Ak
agora aplicamos o complementar, de onde segue
(
⋂
k∈B
Ak)
c =
⋃
k∈B
(Ak)
c.
1.4 Partic¸o˜es
b Propriedade 39. Seja o conjunto de naturais em [0, np] com p > 0 natural,
enta˜o podemos escrever a partic¸a˜o
[0, np] = (
n−1⋃
s=0
[sp, sp+ p− 1]) ∪ {np}.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que o segundo conjunto e´ unia˜o disjunta.
Seja As = [sp, sp + p − 1] vamos mostrar que se As ∩ At = ∅ se s 6= t. Se s 6= t
enta˜o um deles e´ maior, digamos t > s, temos dois conjuntos As = [sp, sp + p − 1] e
At = [tp, tp+ p− 1] como t > s temos que t ≥ s+ 1 multiplicando por p, tp ≥ sp+ p
somando 1 ao lado esquerdo tp+1 > sp+p daı´ tp > sp+p−1 logo tais conjuntos sa˜o
disjuntos. Da mesma maneira np na˜o pertence a nenhum outro conjunto da unia˜o,
pois caso contra´rio haveria s tal que sp + p − 1 ≥ np , (s + 1 − n)p ≥ 1 mas o valor
ma´ximo de s+ 1 = n que fica n− n = 0 e a igualdade na˜o vale.
Vamos mostrar agora que todo elemento do primeiro conjunto pertence ao se­
gundo, seja enta˜o v um nu´mero natural em [0, np], se for v = np sabemos que
pertence, seja enta˜o v 6= np, fazemos a divisa˜o euclidiana de v por p, daı´ v se es­
creve como v = qp + r onde 0 ≤ r < p e 0 ≤ q < n enta˜o v pertence ao conjunto
Aq = [qp, qp+ p− 1] que e´ um conjunto da unia˜o.
Agora mostraremos que todo elemento do conjunto da direita (com unia˜o) pertence
ao primeiro conjunto. Podemos ver claramente que np pertence ao primeiro conjunto,
seja enta˜o u um elemento da reunia˜o, como ela e´ disjunta sabemos que existe s tal
que u ∈ [sp, sp + p − 1], como u e´ inteiro, ele e´ da forma sp + r com 0 ≤ s < n e
0 ≤ r < p esse elemento seria no ma´ximo np− 1 < np e como e´ positivo ele pertence
ao intervalo [0, np], enta˜o termina a demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 29
$ Corola´rio 16. Podemos escrever uma partic¸a˜o desse modo para o conjunto
[p, np], basta retirar de [0, np] o conjunto [0, p− 1]
[0, np] = [0, p− 1] ∪ (
n−1⋃
s=1
[sp, sp+ p− 1]) ∪ {np}
daı´
[p, np] = (
n−1⋃
s=1
[sp, sp+ p− 1]) ∪ {np}.
b Propriedade 40. Se A =
⋃
k∈C
Bk enta˜o Bk ⊂ A.
Z Exemplo 11. Deˆ um exemplo de uma sequeˆncia de conjuntos Ak tal que
Ak+1 ⊂ Ak para todo k natural, cada conjunto seja infinito e
∞⋂
k=1
Ak = ∅.
Seja Ak = (−
1
k
,
1
k
), enta˜o temos que Ak+1 ⊂ Ak , (− 1
k+ 1
,
1
k+ 1
) ⊂ (− 1
k
,
1
k
)
pois
−
1
k
< −
1
k+ 1
e 1
k+ 1
<
1
k
cada conjunto e´ infinito. Vamos mostrar agora que na˜o existe elemento comum
em todos esses conjuntos. Se y < 0 podemos conseguir n ∈ N tal que y < − 1
n
,
−y >
1
n
, se y > 0 existe n tal que 1
n
< y, daı´ conseguimos um intervalo An onde
y na˜o esta´ contido.
b Propriedade 41. Seja A um conjunto com n elementos, enta˜o P(A) possui
2n elementos.
ê Demonstrac¸a˜o. Digamos que o nu´mero de elementos de P(A) para A com n
elementos seja g(n). P(A) esta´ em bijec¸a˜o com o conjunto F(A, {0, 1}), logo contaremos
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 30
o nu´mero de elementos do conjunto F(A, {0, 1}) que e´ o conjunto de func¸o˜es de A em
{0, 1}. Se A possui 1 elemento {a1}, enta˜o existem as func¸o˜es f1(a1) = 0 e f2(a1) = 1,
logo g(1) = 2, suponha enta˜o que P(A) com n elementos tenha g(n) elementos, logo
havera´ g(n) func¸o˜es em F(A, {0, 1}), se adicionarmos 1 elemento {b} ao conjunto A,
podemos ter fk(b) = 0 ou fk(b) = 1, deixamos enta˜o os outros pontos fixos pela
func¸a˜o f e teremos g(n) + g(n) = 2g(n), logo g(n+ 1) = 2g(n), com condic¸a˜o inicial
g(1) = 2 tem­se g(n) = 2n.
Z Exemplo 12. Existe uma sequeˆncia de conjuntos Ak com Ak+1 ⊂ Ak com
cada Ak infinito e ∞⋃
k=1
Ak = ∅.
Seja Ak = {x ∈ N | x ≥ k}. Temos que cada conjunto desses e´ infinito e tambe´m
Ak+1 ⊂ Ak, agora supondo por absurdo que exista um elemento y na intersec¸a˜o,
ele deve ser um nu´mero natural, pois a intersec¸a˜o e´ de conjuntos de nu´meros
naturais, se y pertence a intersec¸a˜o enta˜o y pertence a cada conjunto Ak, o que e´
absurdo pois y /∈ Ay+1 = {x ∈ N | x ≥ y+ 1}. Logo a intersec¸a˜o e´ vazia
1.5 Conjuntos ordenados
m Definic¸a˜o 20 (Ordem). Sejam A um conjunto e x, y, z ∈ A arbitra´rios. Uma
ordem em A e´ uma relac¸a˜o < que satisfaz as seguintes propriedades.
Tricotomia
Vale apenas uma das relac¸o˜es x < y, x = y, y < x.
Transitividade
Se x < y e y < z enta˜o x < z.
x < y tambe´m pode ser escrito como y > x, sendo lido como x e´ menor que y
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 31
ou y e´ maior que x.
Dizemos que x ≤ y quando x < y ou x = y.
m Definic¸a˜o 21 (Conjunto ordenado). Um conjunto A munido de uma ordem
< e´ dito um conjunto ordenado.
Vamos considerar agora sempre conjuntos ordenados.
Para as definic¸o˜es a seguir, considere B ⊂ A.
m Definic¸a˜o 22 (Conjunto limitado superiormente). Se existe c ∈ A tal que
x ≤ c ∀ x ∈ B, enta˜o B e´ dito limitado superiormente.
m Definic¸a˜o 23 (Cota inferior). Qualquer c que satisfac¸a a propriedade anterior
e´ chamado de cota superior de B.
m Definic¸a˜o 24 (Conjunto limitado inferiormente). Se existe v ∈ A tal que
v ≤ x ∀ x ∈ B, enta˜o B e´ dito limitado inferiormente.
m Definic¸a˜o 25 (Conjunto limitado). Um conjunto A e´ dito limitado, quando
ele e´ limitado superiormente e inferiormente.
m Definic¸a˜o 26 (Cota inferior). Qualquer v que satisfac¸a a propriedade anterior
e´ chamado de cota inferior de B.
m Definic¸a˜o 27 (Ma´ximo). A possui ma´ximo se existe y ∈ A tal que vale
x ≤ y ∀ x ∈ A.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 32
m Definic¸a˜o 28 (Mı´nimo). A possui mı´nimo se existe z ∈ A tal que vale
z ≤ x ∀ x ∈ A.
m Definic¸a˜o 29 (Supremo). Seja A um conjunto limitado superiormente, toma­
mos o conjunto B das cotas superiores de A. Se B possui mı´nimo x, chamamos tal
elemento de supremo de A, ou menor cota superior e denotamos por x = supA.
m Definic¸a˜o 30 (I´nfimo). Seja A um conjunto limitado inferiormente, tomamos
o conjunto B das cotas inferiores de A. Se B possui ma´ximo x, chamamos tal
elemento de ı´nfimo de A, ou maior cota inferior e denotamos por x = infA.
m Definic¸a˜o 31 (Propriedade do supremo). Um conjunto ordenado A e´ dito ter
a propriedade do supremo, quando qualquer A ⊂ B limitado superiormente possui
supremo.
m Definic¸a˜o 32 (Propriedade do ı´nfimo). Um conjunto ordenado A e´ dito ter
a propriedade do ı´nfimo, quando qualquer A ⊂ B limitado inferiormente possui
ı´nfimo.
b Propriedade 42. Sejam A um conjunto ordenado com a propriedade do
supremo , B ⊂ A na˜o vazio e B limitado inferiormente. Seja C o conjunto de
todas as cotas inferiores de B, enta˜o existe a = supC em A e vale a = inf B.
ê Demonstrac¸a˜o. Como B e´ limitado inferiormente enta˜o existe x ∈ A tal que
x ≤ y ∀ y ∈ B. Enta˜o x e´ cota inferior de B, implicando x ∈C, logo C na˜o e´ vazio.
C e´ limitado superiormente por qualquer elemento de B, logo C possui supremo ,
sup c = a. Vale tambe´m que a ≤ y ∀ y ∈ B, pois a e´ a menor das cotas superiores,
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 33
enta˜o a e´ cota inferior de B, sendo que vale tambe´m x ≤ a ∀ x ∈ C enta˜o a e´ a
menor das cotas inferiores, logo e´ o ı´nfimo de B.
1.5.1
⋃
y∈Y
(B ∩ Iy) = B ∩ (
⋃
y∈Y
Iy)
⋃
y∈Y
(B ∩ Iy) = B ∩ (
⋃
y∈Y
Iy)
1.5.2 B \ (B ∩A) = B ∩ (R \A)
1.6 Conjuntos crescentes e decrescentes
m Definic¸a˜o 33 (Sequeˆncia crescente de conjuntos). Uma sequeˆncia (Ak) de
conjuntos e´ dita crescente se Ak ⊂ Ak+1. Denotaremos sequeˆncias desse tipo por
An ↑, escrevemos
An ↑ A
se An ↑ e
A =
∞⋃
k=1
Ak.
Definimos nesses casos que A0 = ∅.
m Definic¸a˜o 34 (Sequeˆncia decrescente de conjuntos). Uma sequeˆncia (Ak) de
conjuntos e´ dita crescente se Ak ⊃ Ak+1. Denotaremos sequeˆncias desse tipo por
An ↓, escrevemos
An ↓ A
se An ↑ e
A =
∞⋂
k=1
Ak.
CAPI´TULO 1. CONJUNTOS 34
1.7 Conjuntos e func¸o˜es
b Propriedade 43. Se L e´ func¸a˜o definida em cada Ak, k ∈ B, enta˜o vale que⋃
k∈B
L(Ak) = L(
⋃
k∈B
Ak).
ê Demonstrac¸a˜o. Seja L(x) ∈ L(
⋃
k∈B
Ak), enta˜o x ∈
⋃
k∈B
Ak, daı´ x ∈ Aj para algum
j ∈ B, portanto L(x) ⊂ L(Aj), enta˜o
L(
⋃
k∈B
Ak) ⊂
⋃
k∈B
L(Ak).
Com isso fica provada a primeira inclusa˜o. Agora a outra inclusa˜o. Seja Y ∈⋃
k∈B
L(Ak), enta˜o y ∈ L(Aj) para algum j, daı´ y = L(x), com x ∈ Aj, logo y = L(x) ∈
L(
⋃
k∈B
Ak) e temos a segunda inclusa˜o
⋃
k∈B
L(Ak) ⊂ L(
⋃
k∈B
Ak).