Livro de Cálculo  Diferencial e Integral I   Derivda
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Livro de Cálculo Diferencial e Integral I Derivda


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para que a soma das áreas das figuras seja maior possivel.
R: 
31) Em uma colméia, cada célula é um prisma hexagonal regular, aberto no extremo com um ângulo triédrico no outro extremo. Acredita-se que as abelhas de forma a minimizar a área superficial para um dado volume, usando assim uma quantidade mínima de cera na construção. O exame dessas células mostrou que a medida do ângulo do ápice 
 é surpreendentemente consistente. Baseado na geometria da célula, pode ser mostrado que a área superficial S é dado pela equação 
, onde s, o comprimento dos lados do hexágono, e h, a altura são constantes, conforme figura abaixo.
a) Calcule 
. R: 
b) Que ângulo deveriam preferir as abelhas? R: 
c) Determine a área superficial mínima da célula (em ternos de s e h). R: 
Obs: Medidas reais do ângulo 
 em colméias foram feitas, e as medidas desses ângulos raramente diferem do valor calculado em mais do que 2°.
32) Em um painel retangular de comprimento (60 + x) cm e de largura 80 cm, deseja-se reservar no canto seperior esquerdo um quadrado de lado x. Qual o valor de x para que a diferença entre a área do painel e a do quadado seja maior possivel? R: 40 cm
33) Um depósito aberto, de folha de lata, com fundo quadrado, deve ter capacidade para v litros. Em que dimensões deve ser feito o depósito para que em sua fabricação se gaste a menor quantidade possivel de lata? R: A altura deve ser duas vezes menor que o lado da base.
34) Qual dos cilindros de volume dado tem menor superfície total? 
R: Aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base.
35) Inscrever numa esfera dada um cilindro de volume máximo.
R: A altura do cilindro e 
, o raio da base 
, onde R é o raio da esfera dada.
36) Inscrever numa esfera dada um cilindro que tenha a maior superficie lateral possivel.
R: A altura do cilindro é 
, onde R é o raio da esfera dada.
37) Inscrever numa esfera dada um cone de volume máximo.
R: A altura do cone é 
, onde R é o raio da esfera dada.
38) Qual dos cones circunscritos em torno de uma esfera tem o menor volume?
R: Aquele cuja altura é duas vezes maior que o diâmetro da esfera.
39) Vários triângulos isósceles diferentes podem ser desenhados com o vértice na origem, a base paralela ao eixo x e acima desse eixo e os vértices da base sobre a curva 14y = 48 - x2. Determine a área do maior destes triângulos
R: 
 unidades quadradas.
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Questões Propostas de Otimização em Economia
01) Um estudo de eficiência realizado em uma fábrica durante o turno da manhã mostra que um operário que começa a trabalhar às 8h terá produzido, em média, Q(t) = -t3 + 9t2 + 12t unidades t horas mais tarde. Em que hora da manhã os operários são mais produtivos? R: às 11h.
02) Um fabricante estima que quando q unidades de uma certa mercadoria produzidas, o custo total é C(q) = 3q² + 5q + 75 reais. Para que nível de produção o custo médio M(q) = C(q)/q é mínimo?
R: 5 unidades produzidas.
03) Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio com 900 metros de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3000 metros rio abaixo. O custo de estender um cabo no rio é R$ 5,00 o metro e o custo de estender um cabo em terra é R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais económico para o cabo? R: R$ 14.700 a 1200 m da usina da força.
04) Um empresário calcula que quando x unidades de um certo produto são fabricadas, a receita bruta associada ao produto é dada por R(x) = 0,5x² + 3x \u2013 2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação da receita com o nível de produção x quando 3 unidades estão sendo fabricadas? Para esse nível de produção, a receita aumenta ou diminui com o aumento da produção?
R: a receita aumenta com o aumento da produção.
05) Estima-se que daqui a x meses a população de um certo município será: P(x) = x² + 20x + 8000.
(a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 15 meses?
(b) Qual será a variação da população durante o 16° mês?
R: 
06) O produto interno bruto (PIB) de um certo país é dado por N(t) = t² + 5t + 106 bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1990.
(a) Qual foi a taxa de variação do PIB em 1998?
(b) Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 1998?
R: 
07) Numa industria, custo de montagem é diretamente proporcional ao número de máquinas ultilizadas e o custo de operação é inversamente proporcional ao número de máquinas ultilizadas. Quando é que o custo total é mínimo?
(Sugestão: O custo total c(x) é dado pela soma do custo de montagem (k1, x), com o custo de operação 
.
R: Custo total mínimo se o número de máquinas for 
, ou seja, quando o custo de montagem for igual ao custo de operação.
08) Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela que um operário que chega ao trabalho às 8 h terá produzido Q(t) = -t3 + 6t2 + 24t unidades t horas mais tarde.
(a) Calcule a taxa de produção dos operários às 11 h.
(b) Qual é a taxa de variação da taxa de produção dos operários às 11 h?
(c) Use os métodos do cálculo para estimar a variação da taxa de produção dos operários entre 11h e 11h10min.
(d) Calcule a variação real da taxa de produção dos operários entre 11h e 11h10min.
R: (a) 33 unidades por hora					(c) -1 unidade por hora
(b) -6 unidades por hora ao quadrado			(d) -1,08 unidade por hora
09) A produção de certa fábrica é Q = 2x3 + x²y + y3 unidades, onde x é o número de homens-horas de trabalho especializado e y número de homens-horas de trabalho não-especializado. No momento, a mão-de-obra disponível é constituída por 30 homens-horas de trabalho especializado e 20 homens-horas de trabalho não-especializado. Use os métodos do cálculo para estimar a variação de mão-de-obra não-especializada y necessária para compensar um aumento de 1 homem-hora da mão-de-obra especializada x, de modo que a produção não seja alterada.
R: diminuir 3,14 homens-horas a mão-de-obra não-especializada.
10) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por 
 e o valor obtído na venda é dado por 
, determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro?
R: 1000 unidades
11) A receita obtida com a produção de x unidades de certa mercadoria é dada por R(x) = 
 milhões de reais. Qual é a produção que proporciona a máxima receita? Qual é esta receita?
R: Produção máxima 7 unidades; Receita máxima 3,5 (milhões de reais).
12) O custo total em reais para fabricar q unidades de um certo produto é C(q) = 3q² + 5q + 10. Se o nível atual de produção é 40 unidades, estime a variação do custo total se 40,5 unidades forem produzidas .R: 
C = R$ 122,50
13) Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R$ 380.000,00 para criar os dois bois e continuará gastando R$ 2,00por dia para manter um boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,00 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deverão o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro?
R: 67 dias
14) A produção diária de uma certa fábrica é Q(L) = 900
 unidades, onde L é a mão-de-obra utilizada, medida em homens-horas. No momento, a fábrica utiliza 1000 homens-horas. Use os métodos do cálculo para estimar o número de homens-horas adicionais necessários para aumentar de 15 unidades a produção diária. R: 5 homens-horas.
15) O custo para produzir x unidades de um certo produto é C(x) = x²/3 + 4x + 53 reais e o número de unidades produzidas em t horas de trabalho é x(t) = 0,2t2 + 0,03t unidades. Qual é a taxa de variação do custo com o tempo após 4 horas de trabalho? R: R$ 10,13
16) Um empresário calcula que quando x unidades de um certo produto são fabricadas, a receita bruta associada ao produto é dada por R(x) = 0,5x² + 3x \u2013 2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação da receita com o nível de produção x quando 3 unidades estão sendo fabricadas? Para esse nível