Livro de Cálculo  Diferencial e Integral I   Derivda
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Livro de Cálculo Diferencial e Integral I Derivda


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na equação 
.
R: 1 é raiz tripla.
38) Resolver a equação 
, sabendo que existem raízes múltiplas.
R: 
.
39) É dada a equação 
.
a) Quais os valores de 
 para os quais a equação admite uma raiz dupla? R: 
.
b) Quais os valores de 
 a equação tem três raízes reais distintas duas a duas? R: 
.
40) Determinar a condição para que a equação 
, tenha raízes múltiplas?
R: Uma raiz dupla: 4p3 + 27q2 = 0 e Uma raiz tripla: p = 0 e q = 0.
41) Determinar k de modo que a equação 
, admita uma raiz dupla negativa e, em seguida, resolver a equação. 
R: k = 19 e 
.
42) Para que valores de 
 a equação 
, tem raízes múltiplas, e também mostra que equação 
, possui uma raiz simples qualquer que seja 
?
R: 
.
43) Prove que a equação 
, não pode ter três raízes iguais.
44) Determine m de modo que a equação 
, tenha uma raiz dupla.
R: m = 1 ou m = 
.
45) Se a equação 
, tem raiz tripla, qual o valor de a? R: a = 3.
46) Determine a condição para que a equação 
, tenha uma raiz dupla. Calcule essa raiz.
R: 27p4 + 256q3 = 0 e 
.
47) Determine m de modo que a equação 
, admita uma raiz tripla e, em seguida, resolva a equação.
R: m = -6; S = 
48) Demonstre que, se a equação 
, tiver uma raiz dupla, então a será sempre positivo.
49) Um polinômio 
 é divisível pelo polinômio derivado 
 e esse é divisível por x \u2013 1. Determine os coeficientes a, b e c. 
R: a = -3, b = 3 e c = -1.
50) Encontre um polinômio de segundo grau P tal que 
 = 5, 
 = 3 e 
 = 2.
R: 
\ufffd
Questões Resolvidas
01) Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado:
, no ponto de abscissa 8.
 			
02) Encontre as equações das retas tangente e normal para as curvas abaixo, no ponto especificado.
1) 
, no ponto 
, 
.
(Coeficiente Angular)
 
(Imagem quando 
)
Equação da reta tangente
Equação da reta normal
2) 
, no ponto 
.
(Coeficiente Angular)
(Imagem)
Equação da tangente
Equação da reta normal
03) Um ponto móvel sobre uma reta tem abscissa S dada em cada instante t dada pela lei 
em que a, w e 
 são números reais dados. Determine.
1) A lei que dá a velocidade do ponto em cada instante.
2) A velocidade no instante 
.
3) A lei que dá a aceleração do ponto em cada instante.
4) A aceleração no instante no instante 
.
04) Obtenha a velocidade e a aceleração de um ponto material que percorre um seguimento de reta obedecendo a equação horária 
, com 
.
05) Durante várias semanas, o departamento de trânsito vem registrando a velocidade dos veículos que passam em um certo quarteirão. Os resultados mostram que entre 13h e 18h de um dia de semana, a velocidade nesse quarteirão é dada aproximadamente por 
, quilômetros por hora, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante entre 13h e 18h em que o trânsito é mais rápido? Qual o instante em que o trânsito é mais lento?
					
	O trânsito é mais rápido às 14h, quando os carros passam no quarteirão com uma velocidade média de 46 km/h, e mais lento às 17h, quando a velocidade média é 32,5 km/h.
06) Um corpo se move em linhas retas de tal forma que, em t segundos, percorre uma distância 
 em metros. Calcule a aceleração do corpo após 3 segundos.
Questões Propostas
01) Dada a elipse de equação 
, obter as equações das retas tangentes nos pontos de abscissa 3. R: 
 e 
.
02) Considere a hipérbole de equação 
, obter as equações das retas tangentes nos pontos de abscissa 3. R: 
 e 
.
03) Considere a parábola de equação 
, obter as equações das retas tangentes nos pontos de abscissa 12.	 R: 
 e 
.
04) Escrever a equação da tangente e da normal à curva 
 no ponto (-2;5).
R: 
 e 
.
05) Achar a equação da tangente e da normal à curva 
 no ponto (1;0).
R: 
 e 
.
06) Escrever a equação da tangente e da normal à curva: 
 no ponto com ordenada 
.	R: 
 e 
.
07) Escrever a equação da tangente à curva: 
 no ponto (1;1).	R: 
08) Escrever a equação da tangente e da normal à curva: 
 nos pontos de sua intersecção com o eixo das abscissas.
R: no ponto (1;0):
; no ponto (2;0): 
 e no ponto (3;0): 
09) Escrever a equação da tangente e da normal à curva: 
 no ponto (1;2).
R: 
 e 
.
10) Escrever as equações da tangente e da normal às curvas nos pontos dados:
a) 
, na origem das coordenadas:				R: 
b) 
, no ponto de interseção com o eixo 
.	R; 
c) 
, no ponto de interseção com o eixo 
.		R; 
d) 
, no ponto de interseção com o eixo 
: 		R; 
e) 
, nos pontos de interseção com a reta 
.
			
11) A reta tangente ao gráfico de 
, no ponto de abscissa 
 e a reta tangente ao gráfico de 
, no ponto de abscissa 1 se interceptam no ponto P (m, n). Calcular m e n.
R: 
.
12) Se a posição de um corpo que está se movendo em linha reta é dada por s(t) = t3 - 3t2 + 4t no instante t, calcule a velocidade e a aceleração do corpo. R: 3t² - 6t + 4 e 6t \u2013 6.
13) Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Sua altura h (metros) em relação ao solo, é dada por h = t3 \u2013 3t2 \u2013 9t + 1, onde t indica o número de segundos decorridos após o lançamento. Em que instante a pedra atingirá sua altura máxima? R: t = 1s e t = 2s.
14) Um móvel desloca-se sobre um eixo de modo que sua abscissa s no instante t é dada pela equação S = a. cos (kt + 
), sendo a, k, 
 constantes dadas. Determinar:
a) instantes e posições em que é máxima a velocidade do móvel;	R: 
 e s = 0.
b) instantes e posições em que é mínima a aceleração do móvel. 	R: 
 e s = a.
15) Os experimentos mostram que a altura (em metros) do pulo de uma pulga após t segundos é dada pela função H(t) = (4,4)t \u2013 (4,9)t² Usando os métodos do cálculo, determine o instante em que a pulga atinge a altura máxima. Qual é a altura máxima atingida pela pulga?
R: t 
 0,449s e h 
 0,988m
16) Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s(t) = t³ - 6t² + 9t + 5.
(a) Determine a velocidade e aceleração do corpo no instante t.
R: (a) v(t) = 3t² - 12t + 9 e a(t) = 6t \u2013 12.
(b) Em que instante o corpo está estacionário? R: (b) t = 1 e t = 3.
17) Do alto de um edifício de 34 metros de altura, uma pessoa lança uma bola verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 29m/s:
(a) Determine a altura e velocidade da bola no instante t. R h(t) = -4,9t² + 29t + 34, v(t) = -9,8t + 29.
(b) Em que instante a bola chega ao chão e qual a velocidade no momento do impacto?
R v(7) = -39,6 m/s.
(c) Em que momento a velocidade é nula? O que acontece nesse momento?
R: (c) A velocidade é nula quando v(t) = 0, o que acontece no instante t = 3. Para t < 3, a velocidade é positiva e a bola está subindo; para t > 3, a velocidade é negativa e a bola está descendo. Assim, a bola atinge o ponto mais alto da trajetória no instante t = 3.
(d) Qual é a distância total percorrida pela bola? R: (d) 119,8m.
18) Um móvel se desloca segundo a equação horária 
 S em metros e t em segundos. A velocidade do móvel no instante t = 2s. R: 1 m/s.
19) A posição s(t) de um corpo que está em movimento em linha reta é dada. Em cada caso:
Calcule a velocidade v(t) e a aceleração a(t) do corpo
Determine o instante t no qual a aceleração é nula.
(a) s(t) = 3
 - 5t³ - 7			R: 
(b) s(t) = (1 \u2013 t)³ + (2t + 1)²		R: 
20) A distância percorrida por um carro em t horas de viagem é D(t) = 64t + 10t²/3 \u2013 2t³/9 quilômetros.
(a) Escreva uma expressão para aceleração do carro em função ao tempo.
(b) Qual é a taxa de variação da velocidade com o tempo após seis horas de viagem? A velocidade está aumentando ou diminuindo nesse instante?
(c) Qual é a variação de velocidade do carro durante a sétima hora de viagem?
R: 
21) Um projétil é lançado verticalmente a partir do solo com uma velocidade