PRÉ REQUISITOS PARA O CÁLCULO
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PRÉ REQUISITOS PARA O CÁLCULO


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x
x yy xya a a e a a a= = = = 
(Você pode utilizar essa regra para converter um problema, que envolve raiz, em um problema mais fácil 
envolvendo potência) 
\ufffd 
2 3 2 3 5 e x y x ya a a a a a a+ +\u22c5 = = \u22c5 = 
 
 
 
PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO 
Profa. Lena Bizelli 
 
Não podemos somar 2 3 com a a porque a variável não tem a mesma potência. Você 
pode somar ou subtrair termos apenas quando a parte variável de cada termo é a 
mesma. 
Por exemplo, 
 2 3 2 3 2 32 5 7x yz x yz x yz+ = 
 
\ufffd 
7 5
7 5 2 5 7 2
5 7
; ;
x
x y
y
a a a
a a a a a
a a a
\u2212 \u2212 \u2212 \u2212= = = = =
 
(aqui você subtrai as potências) 
 
\ufffd ( ) ( )52 2 5 10 e yx x ya a a a a\u22c5 \u22c5= = = (aqui você multiplica as potências) 
 
\ufffd ( ) ( )3 3 3 3 e x x x xabc a b c abc a b c= = (aqui você distribui as potências para cada uma das variáveis) 
 
\ufffd 
3 3
3
e
x x
x
a a a a
b bb b
\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6= =\uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8 
(aqui você distribui as potências para cada uma das variáveis) 
 
 
 
( )2 2 2a b a b+ \u2260 + 
Neste caso você não deve distribuir a potência. Ao invés, faça o seguinte: 
 
( ) ( )( )2 2 2 2 22a b a b a b a ab ba b a ab b+ = + + = + + + = + + 
Observe o que acontece se você, erroneamente, utilizar a igualdade ( )2 2 2a b a b+ = +
com números: 
 
( )2 2
2 2
4 3 7 49
4 3 16 9 25
+ = =
+ = + =
 
 
 
Radiciação 
Raízes, em especial as raízes quadradas, aparecem o tempo todo no Cálculo. Então, saber como elas 
trabalham e conhecer a relação entre raízes e potências é fundamental. 
Qualquer raiz pode ser convertida em uma potência, como por exemplo, 
1 21
5 23 3 52 , ,x x x x x x= = = . 
PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO 
Profa. Lena Bizelli 
 
 
Propriedades 
\ufffd 
2 24 2 pois 2 4 e 16 4 pois 4 16= = = = 
 
 
Apesar de existirem dois números cujos quadrados valem 16 (4 e -4) 
apenas o número positivo é que recebe o nome de \u201craiz quadrada de 
16\u201d. Ou seja, \u201c4 é a raiz quadrada de 16\u201d. 
\ufffd 
642 4 6, , ... e assim por diantex x x x x x= = = 
 
 
 
Considere os seguinte problemas: 
a) Determine um número cujo quadrado é igual a 36. 
b) Determine a raiz quadrada de 36. 
Espero que esteja claro que se trata de dois problemas distintos, com soluções distintas. 
Enquanto o conjunto-solução do problema a) é {-6,6}, o conjunto-solução do problema b) é {6}. 
 
\ufffd 
3 53 5, ... e assim por diantex x x x= = 
\ufffd 0 0 e 1 1= = (mas isso você já sabia, certo?) 
 
Você não pode ter um número negativo sobre uma raiz quadrada ou 
qualquer outra raiz cujo índice é um número par \u2013 pelo menos não no 
conjunto dos reais. 
 
\ufffd 
3 3 3, , n n nx y x y x y x y x y x y\u22c5 = \u22c5 \u22c5 = \u22c5 \u22c5 = \u22c5 
\ufffd ( )
3
3
3
, , 0
n
n
n
x x x x x x
y
y y yy y y
= = = \u2260 
\ufffd 
3 5 3 5 15 e m n m nx x x x x\u22c5 \u22c5= = = 
\ufffd ( )m n mn x x= 
 
 
 
É muito comum utilizar a igualdade 2 2x y x y+ = + como se ela fosse verdadeira. 
Mas CUIDADO porque isso é FALSO, ou seja, 
2 2x y x y+ \u2260 + . 
 
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Profa. Lena Bizelli 
 
Simplificando Raízes 
As duas últimas coisas que iremos falar sobre raízes é: 
1a) Como simplificar raízes do tipo 400 12600ou ? 
 500 100 5 100 5 10 5= \u22c5 = \u22c5 = 
 12600 2 2 2 3 3 5 5 7= \u22c5 \u22c5 \u22c5 \u22c5 \u22c5 \u22c5 \u22c5 escreva 12.600 como um produto de fatores primos 
 2 2 2 3 3 5 5 7= \u22c5 \u22c5 \u22c5 \u22c5 \u22c5 \u22c5 \u22c5 circule cada par de números 
 2 3 5 2 7= \u22c5 \u22c5 \u22c5 para cada par circulado, coloque um número para fora da raiz 
 30 14= simplifique 
 
2a) Por convenção, não deixamos uma raiz no denominador de uma fração. Por exemplo, no caso da fração 
5
2 
fazemos o seguinte: 
5 5 2 5 2
22 2 2
= \u22c5 = 
 
 
Logarítmos 
Um logaritmo é apenas uma maneira diferente de expressar uma relação exponencial entre números. Por 
exemplo, 
2
33 9 log 9 2= \u21d4 = (lê-se \u201clog na base 3 de 9 é igual a 2\u201d) 
Essas duas equações dizem exatamente a mesma coisa, apenas estão escritas de maneira diferente. 
 
1) A base a de um logaritmo loga b pode ser qualquer número maior do 
que zero e diferente de 1 ( )0 e 1a a> \u2260 . Você consegue explicar o por 
que? 
2) Por convenção, se a base de um logarítmo for igual a 10, então você 
não precisa escrevê-la, ou seja, 
log100 2= significa que 10log 100 2.= 
3) O logaritmo de um número na base e (e \u2248 2,72 conhecida como 
constante de Euler) é escrito ln ao invés de loge , ou seja, 
ln5 significa log 5.e 
 
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Profa. Lena Bizelli 
 
Propriedades 
\ufffd log 1 0a = 
\ufffd log 1a a = 
\ufffd ( )log log loga a ab c b c\u22c5 = + 
\ufffd log log loga a a
b
b c
c
= \u2212 
\ufffd log logca ab c b= \u22c5 
 
 
É muito comum confundir log ca b com ( )log
c
a b . Lembre-se que a propriedade 
anterior só é válida no caso de log ca b . Ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( )3 335 5 5 5 5log 5 log 125 3 3 log 5 mas log 5 1 1 3 log 5 3= = = \u22c5 = = \u2260 \u22c5 = 
\ufffd 
log
log
log
c
a
c
b
b
a
= 
(essa propriedade é bastante útil quando tiver que calcular o logaritmo de um número qualquer, 
utilizando uma calculadora) 
\ufffd 
loga ba b= 
 
 
Fatoração 
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de expressões mais simples. 
No Cálculo, não são raras as vezes em que você precisará ser capaz de fatorar expressões algébricas do 
tipo: 
5 10xy yz+ ou a a b bx y x y+ + + 
A seguir veremos alguns casos de fatoração, que dará a você condições de fatorar grande parte das 
expressões algébricas com que se deparar no estudo do Cálculo. 
Casos de Fatoração 
1) Fator Comum 
A expressão algébrica 3 4 2 5 4 35 10 15x y x y x y z+ + contém o fator comum 2 35x y e, portanto, ele pode ser 
colocado em evidência, ou seja, podemos escrever: 
( )2 3 2 25 2 3x y xy y x z+ + 
que é a forma fatorada da expressão dada. 
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Profa. Lena Bizelli 
 
2) Agrupamento 
A expressão algébrica ( )a a b bx y x y+ + + pode ser escrita na forma de um produto de expressões mais 
simples fazendo o seguinte: 
( ) ( )a a b bx y x y+ + + Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum. 
 ( ) ( )a bx y x y+ + + Colocar em evidência o fator comum de cada grupo. 
 ( ) ( )a bx y+ \u22c5 + Colocar o fator comum (x + y) em evidência. 
obtendo assim, a forma fatorada da expressão dada. 
3) Diferença de Quadrados 
Saber como fatorar a diferença de quadrados é essencial: 
 ( ) ( )( )2 2a b a b a b\u2212 = + \u2212 (*) 
Sempre que puder reescrever uma expressão algébrica na forma 
[ ] [ ]2 2\u2212 
você pode utilizar a equação (*) para obter a sua forma fatorada. Por exemplo, 
( ) ( )2 229 16 3 4x x\u2212 = \u2212 
Portanto, considerando a 3x= e b 4= na equação (*), obtemos a forma fatorada da expressão dada, ou 
seja, 
( ) ( ) ( )( )2 229 16 3 4 3 4 3 4x x x x\u2212 = \u2212 = + \u2212 
 
 
 
Uma diferença de quadrados, ( )2 2a b ,\u2212 pode ser fatorada, mas uma soma de 
quadrados, ( )2 2a +b , NÃO pode ser fatorada. 
 
4) Trinômio Quadrado Perfeito 
 2 2a 2ab+b± 
Um trinômio é quadrado perfeito quando: 
\ufffd dois de seus termos são quadrados perfeitos ( )2 2a e b . 
\ufffd o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos ( )2ab . 
PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO 
Profa. Lena Bizelli 
 
Por exemplo, 
 ( ) ( ) ( )2 2 22 6 9 2 3 3 3x x x x x+ + = + \u22c5 \u22c5 + = + 
( ) ( ) ( )2 2 224 4 1 2 2 2 1 1 2 1x x x x x\u2212 + = \u2212 \u22c5 \u22c5 + = \u2212 
5) Trinômio do segundo grau 
 2x S Px+ + 
Devemos procurar dois números a e b que tenham soma S = a b+ e produto P = a b\u22c5 de maneira que: 
( )( )2x S P a bx x x+ + = + + 
Por exemplo, 
 ( )( )2x 5 6 2 3x x x+ + = +