Apontamentos de Teoria das Probabilidades
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1.1.3).
Exemplo 2.1.8 Se X e´ uma v.a. real cuja densidade de probabilidade e´ normal de
para\u2c6metros µ e \u3c32 (cf. Exemplo 1.3.4), dizemos que X e´ uma v.a. normal de para\u2c6me-
tros µ e \u3c32 e escrevemos X \u223c N(µ, \u3c32). Se µ = 0 e \u3c32 = 1, X diz-se normal
standard, ou, por razo\u2dces que veremos mais a` frente, normal centrada e reduzida.
(Obs: A distribuic¸a\u2dco normal e´ a mais usada das distribuic¸o\u2dces de probabilidade, des-
crevendo, por exemplo, o efeito global aditivo de um nu´mero elevado de pequenos efeitos
independentes, como e´ o caso dos erros de instrumentac¸a\u2dco. A justificac¸a\u2dco teo´rica para
o papel de relevo que esta distribuic¸a\u2dco assume na modelac¸a\u2dco deste tipo de feno´menos
aleato´rios, e´ o denominado teorema do limite central que estudaremos no Cap´\u131tulo 9.)
Exemplo 2.1.9 Se (X,Y ) e´ um ve.a. em R2 com densidade de probabilidade dada por
f(x, y) =
1
2\u3c0\u3c31\u3c32
\u221a
1\u2212 \u3c12 exp
(
\u2212 1
2(1\u2212 \u3c12)
(
(x\u2212m1)2
\u3c321
\u22122\u3c1(x\u2212m1)(y \u2212m2)
\u3c31\u3c32
+
(y \u2212m2)2
\u3c322
))
,
para (x, y) \u2208 R2, dizemos que (X,Y ) e´ um ve.a. normal de para\u2c6metros m1,m2 \u2208 R,
\u3c31, \u3c32 > 0 e \u22121 < \u3c1 < 1 (ver Exemplo 1.3.5).
tenreiro@
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2 Varia´veis aleato´rias e distribuic¸o\u2dces de probabilidade 33
Exerc´\u131cios
1. Se X e´ uma v.a. com valores em (E,B), sabemos que a sua lei de probabilidade e´ uma
probabilidade sobre (E,B). Mostre agora que se Q e´ uma probabilidade sobre (E,B),
existe uma v.a.X com valores em (E,B) definida num apropriado espac¸o de probabilidade
(\u2126,A,P) tal que PX = Q.
2. Sejam Pn, n \u2208 N, medidas de probabilidade sobre (E,B) e P definida em (\u2126,A) =
(E\u221e,B\u221e) por P = \u2297\u221en=1Pn. Considere a sucessa\u2dco (Xn) definida, para \u3c9 = (\u3c91, \u3c92, . . .)
\u2208 \u2126, por Xn(\u3c9) = \u3c9n (projecc¸a\u2dco), e mostre que PXn = Pn, para todo o n \u2208 N.
3. Sejam T um qualquer conjunto de \u131´ndices e X = (Xt, t \u2208 T ) e Y = (Yt, t \u2208 T ) varia´veis
aleato´rias com valores em (\u2297t\u2208TEt,\u2297t\u2208TBt). Mostre que X \u223c Y sse (Xt1 , . . . , Xtn) \u223c
(Yt1 , . . . , Ytn), para todo o n \u2208 N e t1, . . . , tn \u2208 T .
4. Determine a lei de probabilidade da varia´vel aleato´ria que nos da´ a soma dos pontos
obtidos no lanc¸amento de dois dados equilibrados.
5. Se X e´ uma v.a. binomial de para\u2c6metros n e p, mostre que n \u2212X e´ uma v.a. binomial
de para\u2c6metros n e 1\u2212 p.
6. Retome o Exerc´\u131cio 1.8.4 e denote por Sn o ganho l´\u131quido do jogador ao fim de n partidas.
Apresente uma fo´rmula para o ca´lculo de P(Sn \u2265 0). Utilize-a quando n = 200, 1000 e
2000. Compare os resultados com os obtidos por simulac¸a\u2dco.
7. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias definidas em (\u2126,A,P) = ([0, 1],B([0, 1]), \u3bb) por
X(\u3c9) = \u3c9 e Y (\u3c9) = 1\u2212 \u3c9.
Mostre que X \u223c Y e no entanto P(X = Y ) = 0.
8. Considere um modelo probabil´\u131stico (\u2126,A,P) que descreva a repetic¸a\u2dco duma experie\u2c6ncia
sempre nas mesmas condic¸o\u2dces. Cada experie\u2c6ncia tem dois resultados poss´\u131veis que vamos
designar por \u201csucesso\u201d e \u201cinsucesso\u201d, sendo p \u2208 [0, 1] a probabilidade de sucesso em cada
experie\u2c6ncia. Seja X a v.a. que nos da´ o nu´mero de lanc¸amentos efectuados para obtermos
o primeiro sucesso. Mostre que X tem uma distribuic¸a\u2dco geome´trica de para\u2c6metro
p \u2208 [0, 1], isto e´,
PX({k}) = (1\u2212 p)k\u22121p, para k \u2208 N.
9. No contexto do exerc´\u131cio anterior sejaX a v.a. que nos da´ o nu´mero de insucessos observa-
dos antes de obtermos o r-e´simo sucesso. Mostre queX tem uma distribuic¸a\u2dco binomial
negativa, dita tambe´m distribuic¸a\u2dco de Pascal, e escrevemos X \u223c BN(r, p), isto e´,
PX({k}) = (k+r\u22121r\u22121 )pr(1\u2212 p)k, para k \u2208 N0.
10. Para cada n \u2208 N, seja Xn uma v.a. binomial de para\u2c6metros n \u2208 N e pn \u2208 ]0, 1[, onde
npn\u2192\u3bb > 0, e X uma v.a. de Poisson de para\u2c6metro \u3bb, isto e´, PX e´ uma probabilidade
sobre (N0,P(N0)) definida por
PX({n}) = e\u2212\u3bb \u3bb
n
n!
, para n \u2208 N0.
tenreiro@
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34 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
(a) Para todo o k \u2208 N, mostre que
PXn({k})
PXn({k \u2212 1})
\u2192 \u3bb
k
.
(b) (Converge\u2c6ncia da binomial para a Poisson) Para todo o k \u2208 N0, conclua que
PXn({k})\u2192PX({k}),
o que justifica a designac¸a\u2dco de lei dos acontecimentos raros que e´ atribu´\u131da a` dis-
tribuic¸a\u2dco de Poisson.
(Obs: A distribuic¸a\u2dco de Poisson e´ usada em problemas de filas de espera para descre-
ver o nu´mero de chegadas de clientes a um posto de atendimento num determinado
intervalo de tempo, ou, mais geralmente, para representar a realizac¸a\u2dco de aconte-
cimentos independentes que ocorrem com freque\u2c6ncia constante. E´ tambe´m usada
para descrever o nu´mero de defeitos em pec¸as semelhantes de um dado material.)
2.2 Classificac¸a\u2dco das leis de probabilidade sobre Rd
No para´grafo anterior vimos exemplos de leis de probabilidade discretas, como as
dos Exemplos 2.1.3, 2.1.5 e 2.1.6, e de leis de probabilidade absolutamente cont´\u131nuas,
como as dos Exemplos 2.1.7, 2.1.8 e 2.1.9. Recordemos que uma medida \u3bd sobre B(Rd)
se diz: absolutamente cont´\u131nua relativamente a` medida de Lebesgue, e escrevemos
\u3bd \u226a \u3bb, se para todo o A \u2208 B(Rd) com \u3bb(A) = 0, enta\u2dco \u3bd(A) = 0; discreta, se existe S
quando muito numera´vel tal que \u3bd(Sc) = 0; difusa, se \u3bd({x}) = 0, para todo o x \u2208 Rd;
alheia relativamente a` medida de Lebesgue, e escrevemos \u3bd \u22a5 \u3bb, se existe A \u2208 B(Rd)
tal que \u3bd(A) = \u3bb(Ac) = 0; singular, se e´ difusa e alheia relativamente a` medida de
Lebesgue.
O teorema da decomposic¸a\u2dco de Lebesgue ja´ nosso conhecido da disciplina de Me-
dida e Integrac¸a\u2dco, e que enunciamos de seguida para medidas finitas, permitir-nos-a´
classificar de forma simples as leis de probabilidade sobre Rd (ver AMI, §8.6).
Teorema da decomposic¸a\u2dco de Lebesgue: Se \u3bd e´ uma medida finita em (Rd,B(Rd)),
enta\u2dco \u3bd = \u3bd0 + \u3bd1 onde \u3bd0 e \u3bd1 sa\u2dco medidas em R
d tais que \u3bd0 \u22a5 \u3bb e \u3bd1 \u226a \u3bb. A
decomposic¸a\u2dco anterior de \u3bd, a que chamamos decomposic¸a\u2dco de Lebesgue de \u3bd em
relac¸a\u2dco a \u3bb, e´ u´nica.
Teorema 2.2.1 Seja X um vector aleato´rio em (Rd,B(Rd)). Enta\u2dco existem medidas
\u3bdac, \u3bdd e \u3bds sobre B(Rd) tais que
PX = \u3bdac + \u3bdd + \u3bds,
onde \u3bdac \u226a \u3bb, \u3bdd e´ discreta e \u3bds e´ singular. A decomposic¸a\u2dco anterior e´ u´nica. A \u3bdac,
\u3bdd e \u3bds, chamamos parte absolutamente cont´\u131nua, discreta e singular de PX ,
respectivamente.
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2 Varia´veis aleato´rias e distribuic¸o\u2dces de probabilidade 35
Dem: Pelo teorema da decomposic¸a\u2dco de Lebesgue, PX = \u3bd0 + \u3bd1, onde \u3bd0 \u22a5 \u3bb e
\u3bd1 \u226a \u3bb. Denotando por S, o conjunto dos pontos x para os quais \u3bd0({x}) 6= 0, um
tal conjunto e´ quando muito numera´vel (porque\u2c6?). Tomando agora, para A \u2208 B(Rd),
\u3bd2(A) = \u3bd0(A \u2229 S) e \u3bd3(A) = \u3bd0(A \u2229 Sc), obtemos \u3bd0 = \u3bd2 + \u3bd3, com \u3bd2 discreta
e \u3bd3 singular. Atendendo a` unicidade da decomposic¸a\u2dco PX = \u3bd0 + \u3bd1, basta, para
concluir, mostrar a unicidade da decomposic¸a\u2dco \u3bd0 = \u3bd2 + \u3bd3. Suponhamos enta\u2dco que
\u3bd0 = \u3bd
\u2032
2 + \u3bd
\u2032
3, com \u3bd
\u2032
2 discreta e \u3bd
\u2032
3 singular. Sendo S
\u2032 quando muito numera´vel tal que
\u3bd \u20322((S
\u2032)c) = 0, e \u3bd3 e \u3bd \u20323 difusas, temos \u3bd2(A) = \u3bd2(A\u2229(S\u222aS\u2032)) =
\u2211
x\u2208A\u2229(S\u222aS\u2032) \u3bd2({x}) =\u2211
x\u2208A\u2229(S\u222aS\u2032) \u3bd
\u2032
2({x}) = \u3bd \u20322(A \u2229 (S \u222a S\u2032)) = \u3bd \u20322(A), para A \u2208 B(Rd). Finalmente, sendo
\u3bd2 finita, \u3bd3 = \u3bd0 \u2212 \u3bd2 = \u3bd0 \u2212 \u3bd \u20322 = \u3bd \u20323. \ufffd
Definic¸a\u2dco 2.2.2 Se X e´ uma varia´vel aleato´ria em (Rd,B(Rd)) e \u3bdac, \u3bdd e \u3bds as partes
absolutamente cont´\u131nua, discreta e singular de PX , respectivamente, dizemos que X (ou
a sua lei de probabilidade) e´ absolutamente cont´\u131nua se \u3bdd = \u3bds = 0, discreta se
\u3bdac = \u3bds = 0, e singular se \u3bdac = \u3bdd = 0.
Atendendo ao teorema de Radon-Nikodym (ver AMI, §8.4), sabemos que \u3bdac ad-
mite a representac¸a\u2dco \u3bdac(A) =
\u222b
A fd\u3bb, A \u2208 B(Rd), para alguma func¸a\u2dco f mensura´vel
de (Rd,B(Rd)) em (R,B(R)), na\u2dco-negativa e integra´vel. A` func¸a\u2dco f , que e´ u´nica a
menos dum conjunto de medida de Lebesgue nula, chamamos derivada de Radon-
Nikodym de \u3bdac relativamente a \u3bb. Assim, X e´ absolutamente cont´\u131nua sse PX(A) =\u222b
A fd\u3bb, para todo o A \u2208 B(Rd), para alguma func¸a\u2dco f mensura´vel, na\u2dco-negativa com\u222b
fd\u3bb = 1. Neste caso f