Apontamentos de Teoria das Probabilidades
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diz-se densidade de probabilidade de X (ou de PX).
Tendo em conta a definic¸a\u2dco de medida discreta, podemos dizer que X e´ discreta
sse existe um subconjunto S de Rd, quando muito numera´vel, tal que PX(S) = 1. Ao
mais pequeno conjunto S (no sentido da inclusa\u2dco) com estas propriedades chamamos
suporte de X (ou de PX) e denotamo-lo por SX . Claramente, SX = {x \u2208 Rd :
PX({x}) > 0}. A func¸a\u2dco g : Rd \u2192 R definida por g(x) = PX({x})1ISX (x), diz-se
func¸a\u2dco de probabilidade de X. Notemos que g e´ a derivada de Radon-Nikodym de
PX relativamente a` medida contagem definida em R
d.
Como veremos de seguida, subvectores de vectores absolutamente cont´\u131nuos sa\u2dco
absolutamente cont´\u131nuos e subvectores de vectores discretos sa\u2dco ainda discretos.
Teorema 2.2.3 Se (X1, . . . ,Xd) e´ um vector aleato´rio absolutamente cont´\u131nuo de den-
sidade f , enta\u2dco, para todo o {i1, . . . , im} \u2282 {1, . . . , d}, (Xi1 , . . . ,Xim) e´ absolutamente
cont´\u131nuo de densidade
g(xi1 , . . . , xim) =
\u222b
Rd\u2212m
f(x1, . . . , xd)d\u3bbd\u2212m,
onde \u3bbd\u2212m representa a medida de Lebesgue em Rd\u2212m.
tenreiro@
m
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36 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
Dem: Para B \u2208 B(Rm), temos P(Xi1 ,...,Xim)(B) = P((X1, . . . ,Xd) \u2208 \u3c0
\u22121
{i1,...,im}(B)) =\u222b
\u3c0\u22121
{i1,...,im}
(B) f(x1, . . . , xd)d\u3bbd =
\u222b
1IB(xi1 , . . . , xim)f(x1, . . . , xd)d\u3bbd =
\u222b
Rm
1IB(xi1 , . . . ,
xim)
\u222b
Rd\u2212m
f(x1, . . . , xd)d\u3bbd\u2212md\u3bbm =
\u222b
B g(xi1 , . . . , xim)d\u3bbm. \ufffd
Teorema 2.2.4 Se (X1, . . . ,Xd) e´ um vector aleato´rio discreto com suporte S e func¸a\u2dco
de probabilidade g, enta\u2dco, para todo o {i1, . . . , im} \u2282 {1, . . . , n}, (Xi1 , . . . ,Xim) e´ dis-
creto com suporte \u3c0i1,...,im(S) e func¸a\u2dco de probabilidade
h(xi1 , . . . , xim) =
\u222b
Rd\u2212m
g(x1, . . . , xd)dµd\u2212m
=
\u2211
(x1,...,xd)\u2208\u3c0\u22121i1,...,im ({(xi1 ,...,xim)})
g(x1, . . . , xd),
onde µd\u2212m representa a medida contagem em Rd\u2212m.
Exerc´\u131cios
1. Seja (X,Y ) o ve.a. definido no Exemplo 2.1.9. Mostre que X \u223c N(m1, \u3c321).
2. Se X \u223cM(n, p1, . . . , pk), mostre que Xi \u223c B(n, pi), para i = 1, . . . , k.
3. Considere os vectores aleato´rios (X,Y ) de densidade
f(x, y) =
1
2\u3c0
e\u2212(x
2+y2)/2,
e (U, V ) de densidade
g(x, y) =
1
\u3c0
e\u2212(x
2+y2)/21I(]\u2212\u221e, 0]×]\u2212\u221e, 0])\u222a ([0,+\u221e[×[0,+\u221e[)(x, y),
para (x, y) \u2208 R2. Mostre que X \u223c U e Y \u223c V , e, no entanto, (X,Y ) 6\u223c (U, V ).
2.3 Func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco duma varia´vel aleato´ria real
Apresentamos neste para´grafo um instrumento importante no estudo da distribuic¸a\u2dco
de probabilidade duma varia´vel aleato´ria real X definida num espac¸o de probabilidade
(\u2126,A,P).
Definic¸a\u2dco 2.3.1 Chamamos func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco de X, e denotamo-la por FX ,
a` func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco de PX , isto e´,
FX(x) = PX(]\u2212\u221e, x]) = P(X \u2264 x), x \u2208 R.
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2 Varia´veis aleato´rias e distribuic¸o\u2dces de probabilidade 37
Proposic¸a\u2dco 2.3.2 FX satisfaz as seguintes propriedades:
a) FX e´ na\u2dco-decrescente e cont´\u131nua a` direita.
b) FX(x)\u21920 ou 1, se x\u2192\u2212\u221e ou x\u2192+\u221e, respectivamente.
c) PX({a}) = FX(a) \u2212 FX(a\u2212), PX(]a, b]) = FX(b)\u2212 FX(a), PX([a, b]) = FX(b) \u2212
FX(a
\u2212), PX(]a, b[) = FX(b\u2212) \u2212 FX(a) e PX([a, b[) = FX(b\u2212) \u2212 FX(a\u2212), para todo o
\u2212\u221e < a < b < +\u221e.
d) FX e´ cont´\u131nua em x \u2208 R sse PX({x}) = 0.
e) O conjunto dos pontos de descontinuidade de FX e´ quando muito numera´vel.
f) FX caracteriza PX (isto e´, FX = FY sse X \u223c Y )
Dem: Demonstraremos apenas a al´\u131nea f). A demonstrac¸a\u2dco das restantes al´\u131neas fica
ao cuidado do aluno. Se X \u223c Y enta\u2dco PX = PY e consequentemente FX = FY .
Reciprocamente, se FX = FY para a, b \u2208 R, temos PX(]a, b]) = FX(b) \u2212 FX(a) =
FY (b) \u2212 FY (a) = PY (]a, b]), ou ainda, PX = PY pelo lema da igualdade de medidas
(ver AMI, §2.6). \ufffd
Notemos que, atendendo a` al´\u131nea d), X e´ difusa sse FX e´ cont´\u131nua em R. Ale´m
disso, das al´\u131neas d) e e), e da decomposic¸a\u2dco de Lebesgue, conclu´\u131mos que a parte
discreta de PX tem por suporte o conjunto dos pontos de descontinuidade de FX .
O resultado seguinte da´-nos duas caracterizac¸o\u2dces da continuidade absoluta duma
varia´vel aleato´ria real em termos da sua func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco. A sua demonstrac¸a\u2dco
fica como exerc´\u131cio.
Teorema 2.3.3 Se X e´ uma varia´vel aleato´ria real, sa\u2dco equivalentes as seguintes pro-
posic¸o\u2dces:
i) X e´ absolutamente cont´\u131nua.
ii) FX(x) =
\u222b
]\u2212\u221e,x] fd\u3bb, para alguma func¸a\u2dco na\u2dco-negativa e mensura´vel f , com\u222b
fd\u3bb = 1.
O resultado anterior e o teorema da diferenciac¸a\u2dco de Lebesgue que a seguir enun-
ciamos (ver Rudin, 1974, pg. 176, e AMI, §9.3), permitem-nos, no caso de X ser abso-
lutamente cont´\u131nua, garantir a diferenciabilidade quase em todo o ponto de FX , bem
como relacionar F \u2032X com a densidade de probabilidade de X.
Teorema da diferenciac¸a\u2dco de Lebesgue: Se F (x) =
\u222b
]\u2212\u221e,x] f d\u3bb, para x \u2208 R, onde
f : R\u2192R e´ B(R)-mensura´vel e integra´vel, enta\u2dco F possui derivada em quase todo o
ponto de R e F \u2032 = f , \u3bb-q.t.p.
Teorema 2.3.4 Se X e´ uma varia´vel aleato´ria real absolutamente cont´\u131nua de densi-
dade f , enta\u2dco FX possui derivada em \u3bb-quase todo o ponto de R e F
\u2032
X = f , \u3bb-q.t.p.
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Mesmo no caso em que X na\u2dco e´ necessariamente uma v.a. absolutamente cont´\u131nua,
e´ poss´\u131vel obter o resultado seguinte (ver Rudin, 1974, pg. 176).
Teorema 2.3.5 Se X e´ uma varia´vel aleato´ria real enta\u2dco FX possui derivada em \u3bb-
quase todo o ponto de R e F \u2032X = fac, \u3bb-q.t.p., onde fac e´ a derivada de Radon-Nikodym
da parte absolutamente cont´\u131nua de PX .
Terminamos este para´grafo estabelecendo duas condic¸o\u2dces suficientes para a conti-
nuidade absoluta duma varia´vel aleato´ria em termos da sua func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco.
Teorema 2.3.6 Se X e´ uma varia´vel aleato´ria real e FX satisfaz pelo menos uma das
condic¸o\u2dces a)
\u222b
F \u2032Xd\u3bb = 1 ou b) FX e´ continuamente diferencia´vel em R, enta\u2dco X e´
absolutamente cont´\u131nua.
Dem: a) Atendendo aos Teoremas 2.2.1 e 2.3.5, podemos escrever PX = F
\u2032
X\u3bb+\u3bdd+\u3bds.
Se F \u2032X e´ tal que
\u222b
F \u2032Xd\u3bb = 1, obtemos enta\u2dco PX(R) = 1+\u3bdd(R)+\u3bds(R), ou ainda, \u3bdd =
\u3bds = 0, isto e´, X e´ absolutamente cont´\u131nua. b) Pelo teorema fundamental do ca´lculo,\u222b
]a,b] F
\u2032
Xd\u3bb =
\u222b
]a,b] F
\u2032
X(t)dt (integral de Riemann) = FX(b) \u2212 FX(a) = PX(]a, b]), para
todo o a < b em R. Como F \u2032X e´ na\u2dco-negativa conclu´\u131mos que F
\u2032
X e´ \u3bb-integra´vel e que\u222b
F \u2032Xd\u3bb = 1. \ufffd
Exerc´\u131cios
1. Sejam a \u2208 R e X uma v.a. constantemente igual a a (dizemos que X e´ degenerada).
Mostre que PX = \u3b4a, isto e´, a lei de probabilidade de X e´ a medida de Dirac no ponto
a, e determine a func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco FX de X .
2. SejaX uma v.a. uniforme discreta sobre o conjunto {1, 2, . . . , n}, isto e´, X toma valores
no conjunto {1, 2, . . . , n} e
PX({j}) = 1/n, para j = 1, . . . , n.
Determine a func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco de X .
3. Sejam U uma v.a.r. centrada e reduzida, isto e´, U \u223c N(0, 1), e X definida por X =
\u3c3U + µ, com µ \u2208 R e \u3c3 > 0 fixos. Mostre que X \u223c N(µ, \u3c32).
4. SejamX uma v.a. uniforme sobre o intervalo [a, b], e Y a v.a.r. definida em ([0, 1],B([0, 1]), \u3bb)
por Y (\u3c9) = (1 \u2212 \u3c9)a+ \u3c9b.
(a) Determine a func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco de X .
(b) Mostre que Y \u223c X .
5. Denotemos por X a v.a. que descreve a \u201cextracc¸a\u2dco ao acaso dum ponto do intervalo
[0, 1]\u201d. Determine a func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco de X2 e conclua que X2 e´ absolutamente
cont´\u131nua. Descrevera´ X2 a extracc¸a\u2dco ao acaso dum ponto do intervalo [0, 1]?
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2 Varia´veis aleato´rias e distribuic¸o\u2dces de probabilidade 39
6. Sendo X uma v.a. normal de para\u2c6metros 0 e 1, mostre que X2 admite por densidade de
probabilidade
f(x) =
{
1\u221a
2\u3c0
x\u22121/2 e\u2212x/2, se x \u2265 0
0, se x < 0.
7. Considere a v.a. X de ([0, 1],B([0, 1), \u3bb) em (R,B(R)), definida por X(\u3c9) = \u3c9, se 0 \u2264
\u3c9 < 1/2, X(\u3c9) = 1/2, se 1/2 \u2264 \u3c9 \u2264 3/4,