Apontamentos de Teoria das Probabilidades
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de Teoria das Probabilidades
Uma aplicac¸a\u2dco interessante do resultado anterior surge na determinac¸a\u2dco da densi-
dade de probabilidade da soma de duas varia´veis aleato´rias X e Y com valores em Rd,
quando o vector (X,Y ) tem por densidade (x, y)\u2192 f(x)g(y), com f e g densidades
de probabilidade em Rd. Pelo teorema anterior, o vector (X + Y, Y ) tem por densi-
dade (u, v)\u2192 f(u \u2212 v)g(v), e pelo Teorema 2.2.3 a densidade h de X + Y e´ dada por
h(u) =
\u222b
f(u \u2212 v)g(v)d\u3bb(v), a que chamamos convoluc¸a\u2dco das densidades f e g, e
que denotamos por f \u22c6 g. Voltaremos a este assunto no Cap´\u131tulo 4.
Exerc´\u131cios
1. Retome o Exerc´\u131cio 2.3.5. Use o Teorema da transformac¸a\u2dco de varia´veis aleato´rias abso-
lutamente cont´\u131nuas para determinar a densidade de probabilidade de X2.
2. Sejam (X,Y ) o ve.a. definido no Exerc´\u131cio 2.2.3, e Z = X + Y . Mostre que Z \u223c N(0, 2).
3. Seja (X,Y ) um ponto escolhido ao acaso no quadrado [0, 1]× [0, 1]. Determine a distri-
buic¸a\u2dco de Z = X + Y , dita distribuic¸a\u2dco triangular sobre o intervalo [0, 2].
4. Se (X,Y ) e´ um ve.a. com valores em (R2,B(R2)) e densidade f , mostre que as v.a.
Z1 = XY e Z2 = X/Y sa\u2dco absolutamente cont´\u131nuas com densidades
g1(z) =
\u222b
f(u, z/u)/|u| d\u3bb(u), para z \u2208 R,
e
g2(z) =
\u222b
f(zv, v)|v| d\u3bb(v), para z \u2208 R,
respectivamente. Se (X,Y ) e´ o ve.a. definido no Exerc´\u131cio 2.2.3, conclua que Z2 possui
uma distribuic¸a\u2dco de Cauchy de para\u2c6metros 0 e 1.
5. Sejam (X,Y ) o ve.a. definido no Exerc´\u131cio 2.2.3 e Z = X2 + Y 2.
(a) Mostre que, para A \u2208 B(R),
P(Z \u2208 A) =
\u222b \u222b
1IA(x
2 + y2)
1
2\u3c0
e\u2212(x
2+y2)/2d\u3bb(x)d\u3bb(y).
(b) Conclua que Z segue uma lei exponencial de para\u2c6metro 1/2.
6. (Me´todo de Box-Muller para simulac¸a\u2dco de varia´veis normais1) Seja (U, V ) um
ve.a. com distribuic¸a\u2dco uniforme sobre o recta\u2c6ngulo [0, 1[×[0, 1[.
(a) Determine a densidade de probabilidade do vector (R,\u398) = (
\u221a\u22122 ln(1 \u2212 U), 2\u3c0V )
e conclua que \u398 possui uma distribuic¸a\u2dco uniforme sobre o intervalo [0, 2\u3c0[ e que R
possui uma distribuic¸a\u2dco de Rayleigh, isto e´, R tem por densidade
fR(r) = re
\u2212r2/21I[0,+\u221e[(r).
(b) Mostre que X = R cos\u398 possui uma distribuic¸a\u2dco normal standard.
1Box, G.E.P., Muller, M.E., Ann. Math. Stat., 29, 610\u2013611, 1958.
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2 Varia´veis aleato´rias e distribuic¸o\u2dces de probabilidade 45
2.6 Distribuic¸o\u2dces condicionais
Dada uma probabilidade P1 sobre (R
n,B(Rn)) e uma probabilidade de transic¸a\u2dco Q
sobre Rn×B(Rm), sabemos do §1.7 que existe um vector aleato´rio (X,Y ) definido num
espac¸o de probabilidade (\u2126,A,P) tal que PX = P1 e
P(X,Y )(A×B) =
\u222b
A
Q(x,B)dPX (x), (2.6.1)
para todo o A×B \u2208 B(Rn)× B(Rm).
O problema que agora consideramos pode ser visto como o inverso do anterior.
Dado um vector aleato´rio (X,Y ) definido num espac¸o de probabilidade (\u2126,A,P) e
com valores em (Rn × Rm,B(Rn) \u2297 B(Rm)), sera´ poss´\u131vel escrever a sua distribuic¸a\u2dco
de probabilidade na forma (2.6.1) para alguma probabilidade de transic¸a\u2dco Q sobre
Rn × B(Rm)? A resposta a esta questa\u2dco e´ afirmativa mas a sua justificac¸a\u2dco completa
ultrapassa largamente os objectivos deste curso2. Vamos contentar-nos com algumas
respostas parciais.
Admitamos em primeiro lugar que X e´ discreto. Tomando, para B \u2208 B(Rm),
Q(x,B) =
{
P(Y \u2208 B|X = x), se P(X = x) > 0
\u3bd(B), se P(X = x) = 0,
onde \u3bd e´ uma probabilidade fixa sobre B(Rm), conclu´\u131mos que Q e´ uma probabilidade
de transic¸a\u2dco sobre Rn × B(Rm) e, para A×B \u2208 B(Rn)× B(Rm),\u222b
A
Q(x,B)dPX(x)
=
\u2211
x\u2208A:P(X=x)>0
P(Y \u2208 B|X = x)P(X = x)
=
\u2211
x\u2208A:P(X=x)>0
P(X = x, Y \u2208 B)
= P(X,Y )(A×B).
O mesmo acontece quando (X,Y ) e´ um vector absolutamente cont´\u131nuo com densi-
dade f , bastando definir
Q(x,B) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\u222b
B
f(x, y)
fX(x)
d\u3bb(y), se fX(x) > 0
\u3bd(B), se fX(x) = 0,
2No caso das varia´veis X e Y tomarem valores em espac¸os gerais, o resultado pode na\u2dco ser verdadeiro
(ver Hennequin e Tortrat, 1965, pg. 236\u2013238).
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46 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
onde fX(x) =
\u222b
f(x, y)d\u3bb(y) e \u3bd e´ uma probabilidade fixa sobre B(Rm). Com efeito,\u222b
A
Q(x,B)dPX(x)
=
\u222b
A
\u222b
B
f(x, y)
fX(x)
d\u3bb(y)fX(x) d\u3bb(x)
=
\u222b
A×B
f(x, y) d\u3bb(y)d\u3bb(x)
= P(X,Y )(A×B),
para A×B \u2208 B(Rn)× B(Rm). A aplicac¸a\u2dco y\u2192fY (y|X = x) = f(x,y)fX(x) , que na\u2dco e´ mais
do que uma versa\u2dco de derivada de Radon-Nikodym de Q(x, ·) relativamente a \u3bb, diz-se
densidade condicional de Y dado X = x. A densidade de (X,Y ) pode ser assim
obtida a partir de fX e de fY (·|X = ·) pela fo´rmula f(x, y) = fX(x)fY (y|X = x).
Definic¸a\u2dco 2.6.2 Sejam X e Y sa\u2dco vectores aleato´rios definidos num espac¸o de proba-
bilidade (\u2126,A,P) com valores em (Rn,B(Rn)) e (Rm,B(Rn)), respectivamente. Toda a
probabilidade de transic¸a\u2dco Q sobre Rn ×B(Rm) satisfazendo\u222b
A
Q(x,B)dPX(x) = P(X,Y )(A×B),
para todo o A×B \u2208 B(Rn)× B(Rm), e´ dita lei ou distribuic¸a\u2dco condicional de Y
dado X, e e´ denotada por PY (·|X = ·). A PY (·|X = x) chamamos lei ou distri-
buic¸a\u2dco condicional de Y dado X = x.
Observemos que no caso particular em que X e´ discreto, e tal como a notac¸a\u2dco
sugere, PY (·|X = x), para x \u2208 Rn com P(X = x) > 0, e´ efectivamente a distribuic¸a\u2dco
de probabilidade de Y quando Y e´ considerada definida no espac¸o de probabilidade
(\u2126,A,P(·|X = x)).
Notemos tambe´m que se PY,1(·|X = ·) e PY,2(·|X = ·) sa\u2dco distribuic¸o\u2dces condicionais
de Y dado X, enta\u2dco PY,1(·|X = x) = PY,2(·|X = x), para PX -quase todo o ponto x de
Rn.
Exerc´\u131cios
1. Sejam X uma v.a. com valores em Rn e Y = g(X) com g : Rn \u2192 Rm uma aplicac¸a\u2dco
mensura´vel. Determine PY (·|X = ·).
2. Seja (X,Y ) um ve.a. em R2 com X \u223c N(0, 1) e cuja distribuic¸a\u2dco condicional de Y dado
X = x tem uma distribuic¸a\u2dco N(x, 1). Prove que Y \u223c N(0, 2).
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2 Varia´veis aleato´rias e distribuic¸o\u2dces de probabilidade 47
3. Um ponto X e´ escolhido ao acaso do intervalo [a, b] e a seguir um ponto Y e´ escolhido
ao acaso do intervalo [X, b]. Mostre que a densidade de probabilidade de Y e´ dada, para
y \u2208 R, por
fY (y) =
1
b\u2212 a ln
(b\u2212 a
b \u2212 y
)
1I[a,b[(y).
4. Um animal po\u2dce um certo nu´mero X de ovos segundo uma distribuic¸a\u2dco de Poisson de
para\u2c6metro \u3bb. Cada um desses ovos, independentemente dos outros, da´ origem a um
novo animal com probabilidade p. Denotando por Y o nu´mero de crias de cada ninhada,
determine a distribuic¸a\u2dco de Y .
(Sugesta\u2dco: Comece por determinar a distribuic¸a\u2dco condicional de Y dado X = n.)
2.7 Bibliografia
Hennequin, P.L., Tortrat, A. (1965). The´orie des Probabilite´s et Quelques Applications,
Masson.
Jacod, J., Protter, P. (2000). Probability Essentials, Springer.
Kallenberg, O. (1997). Foundations of Modern Probability, Springer.
Rudin, W. (1974). Real and Complex Analysis, McGraw-Hill.
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Cap´\u131tulo 3
Independe\u2c6ncia
Independe\u2c6ncia de acontecimentos aleato´rios, de classes e de varia´veis aleato´rias. Cara-
cterizac¸o\u2dces da independe\u2c6ncia duma fam\u131´lia de varia´veis aleato´rias. Distribuic¸a\u2dco da
soma de varia´veis aleato´rias independentes. Leis zero-um de Borel e de Kolmogorov.
3.1 Independe\u2c6ncia de classes de acontecimentos aleato´rios
Introduzimos neste cap´\u131tulo uma das mais importantes noc¸o\u2dces que abordamos neste
curso. Trata-se da noc¸a\u2dco de independe\u2c6ncia cujas implicac¸o\u2dces sera\u2dco exploradas neste e
nos pro´ximos cap´\u131tulos.
Se A e B sa\u2dco acontecimentos aleato´rios dum espac¸o de probabilidade (\u2126,A,P),
com P(B) > 0, a probabilidade condicionada P(A|B) pode ser interpretada como a
probabilidade do acontecimento A quando sabemos que o acontecimento B se realizou.
O facto de sabermos que B se realizou, pode, ou na\u2dco, alterar a probabilidade P(A)
do acontecimento A, isto e´, pode, ou na\u2dco, verificar-se a igualdade P(A|B) = P(A), ou
ainda,