Apontamentos de Teoria das Probabilidades

Pures et Appl., Se´r. 2, 12, 177\u2013184, 1867.
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4 Integrac¸a\u2dco de varia´veis aleato´rias 69
Definic¸a\u2dco 4.3.2 Se X,Y \u2208 L2, chamamos covaria\u2c6ncia de (X,Y ) ao nu´mero real
Cov(X,Y ) = E((X \u2212 E(X))(Y \u2212 E(Y ))).
Se ale´m disso X e Y sa\u2dco de varia\u2c6ncia na\u2dco-nula, chamamos coeficiente de correlac¸a\u2dco
de (X,Y ) ao nu´mero do intervalo [\u22121, 1] dado por
\u3c1(X,Y ) =
Cov(X,Y )
\u3c3(X)\u3c3(Y )
.
Notemos que se X,Y \u2208 L2, enta\u2dco Cov(X,Y ) = E(XY ) \u2212 E(X)E(Y ) e Var(X) =
Cov(X,X). Ale´m disso, Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X,Y ). O ca´lculo
anterior da varia\u2c6ncia da soma simplifica-se se X\u2212E(X) e Y \u2212E(Y ) sa\u2dco ortogonais (no
sentido do produto interno de L2), uma vez que neste caso Cov(X,Y ) = 0. Dizemos
enta\u2dco que X e Y sa\u2dco na\u2dco-correlacionadas. Neste caso Var(X + Y ) = Var(X) +
Var(Y ). A generalizac¸a\u2dco das duas igualdades anteriores a` soma dum nu´mero finito
de varia´veis X1, . . . ,Xn \u2208 L2, e´ simples, obtendo-se Var(
\u2211n
i=1Xi) =
\u2211n
i=1Var(Xi) +
2
\u2211
1\u2264i<j\u2264nCov(Xi,Xj), e tambe´m, Var(
\u2211n
i=1Xi) =
\u2211n
i=1Var(Xi), se as varia´veis sa\u2dco
duas a duas na\u2dco-correlacionadas.
Do resultado seguinte conclu´\u131mos que duas varia´veis reais independentes sa\u2dco, em
particular, na\u2dco-correlacionadas. Reparemos ainda que a integrabilidade do produto de
duas varia´veis independentes e´ conseque\u2c6ncia da integrabilidade de cada um dos factores.
Teorema 4.3.3 Se X e Y sa\u2dco varia´veis aleato´rias reais integra´veis e independentes,
enta\u2dco XY e´ integra´vel e E(XY ) = E(X)E(Y ).
Dem: Sejam enta\u2dco X e Y varia´veis aleato´rias reais integra´veis e comecemos por mos-
trar que XY e´ ainda integra´vel. Com efeito, pelo teorema de Fubini, E(|XY |) =\u222b |xy| dP(X,Y ) = \u222b |xy| dPX \u2297 PY = \u222b |x||y| dPXdPY = \u222b |x| dPX \u222b |y| dPY < +\u221e.
Utilizando os mesmos argumentos obtemos E(XY ) = E(X)E(Y ). \ufffd
Terminamos este para´grafo estabelecendo um resultado que reforc¸a a interpretac¸a\u2dco
do coeficiente de correlac¸a\u2dco entre duas varia´veis aleato´rias, como uma medida da de-
pende\u2c6ncia afim entre essas varia´veis.
Teorema 4.3.4 Se X,Y \u2208 L2 sa\u2dco de varia\u2c6ncia na\u2dco-nula, enta\u2dco:
a) \u3c1(aX + c, bY + c) = \u3c1(X,Y ), para a, b > 0 e c \u2208 R;
b) \u3c1(X,aX + b) = a/|a|, para a 6= 0 e b \u2208 R;
c) \u3c1(X,Y ) = ±1 sse existem a, b, c \u2208 R, com ab 6= 0, tais que
aX + bY + c = 0, P-q.c.
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Dem: As duas primeiras al´\u131neas obte\u2c6m-se directamente da definic¸a\u2dco de \u3c1. Para estabe-
lecer c), consideremos a varia´vel aleato´ria Z = Y/\u3c3(Y )\u2212X\u3c1(X,Y )/\u3c3(X) que satisfaz
\u3c32(Z) = 1\u2212 \u3c12(X,Y ). Basta agora usar a al´\u131nea b) e a Proposic¸a\u2dco 4.2.3. \ufffd
Exerc´\u131cios
1. Mostre que a covaria\u2c6ncia e´ uma func¸a\u2dco bilinear, isto e´, se X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Ym sa\u2dco
varia´veis de quadrado integra´vel e a1, . . . , an, b1, . . . , bm nu´meros reais, enta\u2dco
Cov
( n\u2211
i=1
aiXi,
m\u2211
j=1
bjYj
)
=
n\u2211
i=1
m\u2211
j=1
aibjCov(Xi, Yj).
2. Mostre que se X1, . . . , Xn sa\u2dco varia´veis aleato´rias reais integra´veis e independentes, enta\u2dco\u220fn
i=1Xi e´ integra´vel e E
(\u220fn
i=1Xi
)
=
\u220fn
i=1 E(Xi).
3. Verifique que o coeficiente de correlac¸a\u2dco pode ser igual a 0 para varia´veis na\u2dco necessa-
riamente independentes. Para tal considere X em L3 sime´trica relativamente a` origem e
Y = X2.
4.4 Integrac¸a\u2dco de vectores aleato´rios
As noc¸o\u2dces de integrac¸a\u2dco de varia´veis aleato´rias que ate´ agora estuda´mos, podem
ser extendidas de forma natural ao caso dos vectores aleato´rios. No que se segue,
denotaremos por || · || a norma euclideana de Rd.
Definic¸a\u2dco 4.4.1 Um vector aleato´rio X = (X1, . . . ,Xd) com valores em (R
d,B(Rd))
diz-se integra´vel se E||X|| < +\u221e. Nesse caso, chamamos esperanc¸a matema´tica
de X ao vector de Rd dado por
E(X) = (E(X1), . . . ,E(Xd)).
Claramente, a noc¸a\u2dco de integrabilidade na\u2dco depende da norma considerada ser a
euclideana. Ale´m disso, X e´ integra´vel sse ||X|| e´ integra´vel, ou ainda, sse cada uma
das varia´veis aleato´rias Xi, i = 1, . . . , d, e´ integra´vel.
Para 0 < p < +\u221e, podemos definir o espac¸o vectorial real dos vectores aleato´rios
X com valores em Rd de pote\u2c6ncia p integra´vel, isto e´, tais que E||X||p < +\u221e. Um
tal conjunto e´ denotado por Lp(\u2126,A,P,Rd), ou simplesmente por Lp. Claramente, a
aplicac¸a\u2dco X\u2192E(X), de L1 em Rd, e´ uma aplicac¸a\u2dco linear.
A par da esperanc¸a matema´tica, a noc¸a\u2dco que a seguir introduzimos e´ um dos
para\u2c6metros de resumo duma distribuic¸a\u2dco de probabilidade mais utilizados no caso mul-
tidimensional. E´ a generalizac¸a\u2dco natural a este contexto, da noc¸a\u2dco real de varia\u2c6ncia.
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Definic¸a\u2dco 4.4.2 Se X \u2208 L2, chamamos matriz de covaria\u2c6ncia de X = (X1, . . . ,Xd)
(dita tambe´m matriz de dispersa\u2dco ou de varia\u2c6ncia-covaria\u2c6ncia) a` matriz
CX = [Cov(Xi,Xj)]1\u2264i,j\u2264d.
A matriz de covaria\u2c6ncia e´ sime´trica e semi-definida positiva, pois Var(
\u2211d
i=1 \u3bbiXi) =
\u3bbTCX\u3bb, para todo o \u3bb \u2208 Rd.
Da al´\u131nea c) do Teorema 4.3.4 sabemos que a matriz de covaria\u2c6ncia C(X,Y ) dum
vector aleato´rio em R2 nos da´ informac¸a\u2dco sobre o tipo de distribuic¸a\u2dco de (X,Y ). Mais
precisamente, sabemos que se C(X,Y ) possui caracter´\u131stica 1 enta\u2dco a distribuic¸a\u2dco de
(X,Y ) esta´ concentrada numa recta, na\u2dco sendo, por isso, absolutamente cont´\u131nua.
Generalizamos a seguir este resultado ao caso dum vector aleato´rio em Rd:
Teorema 4.4.3 Sejam X um ve.a. em Rd de quadrado integra´vel e CX a sua matriz
de covaria\u2c6ncia. Se car(CX) = r, enta\u2dco a distribuic¸a\u2dco de X esta´ concentrada num
subespac¸o afim de Rd de dimensa\u2dco r.
Exerc´\u131cios
1. Seja U = (X,Y ) o ve.a. definido no Exemplo 2.1.9. Calcule E(U) e CU .
2. Sejam A uma matriz real de tipo n×m e b um vector em Rn. Se X e´ um ve.a. em Rm
de quadrado integra´vel, mostre que a esperanc¸a matema´tica e a matriz de covaria\u2c6ncia de
X e AX + b se encontram relacionadas da seguinte forma:
E(AX + b) = AE(X) + b e CAX+b = ACXA
T .
3. Demonstre o Teorema 4.4.3. Conclua que no caso em que car(CX) = d, X pode ser ou
na\u2dco absolutamente cont´\u131nuo.
4.5 Bibliografia
Hennequin, P.L., Tortrat, A. (1965). The´orie des Probabilite´s et Quelques Applications,
Masson.
Jacod, J., Protter, P. (2000). Probability Essentials, Springer.
Monfort, A. (1980). Cours de Probabilite´s, Economica.
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Parte II
Leis dos grandes nu´meros
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Cap´\u131tulo 5
Converge\u2c6ncias funcionais de
varia´veis aleato´rias
Converge\u2c6ncia quase certa, em probabilidade e em me´dia de ordem p duma sucessa\u2dco de
varia´veis aleato´rias. Relac¸o\u2dces entre os diversos modos de converge\u2c6ncia. Principais pro-
priedades e caracterizac¸o\u2dces. Teorema da converge\u2c6ncia dominada em Lp. Converge\u2c6ncias
funcionais de vectores aleato´rios.
5.1 Converge\u2c6ncia quase certa
Neste cap´\u131tulo X,X1, X2, . . . representam varia´veis aleato´rias reais definidas sobre
um mesmo espac¸o de probabilidade (\u2126,A,P).
Definic¸a\u2dco 5.1.1 Dizemos que (Xn) converge para X quase certamente, e escre-
vemos Xn
qc\u2212\u2192 X, se
P({\u3c9 \u2208 \u2126 : limXn(\u3c9) = X(\u3c9)}) = 1.
Dizer que a sucessa\u2dco (Xn) converge para X quase certamente e´ assim dizer que a
menos dum conjunto com probabilidade nula, a sucessa\u2dco (Xn) converge pontualmente
para X. Por outras palavras, existe N \u2208 A, com P(N) = 0, tal que limXn(\u3c9) = X(\u3c9),
para todo o \u3c9 \u2208 N c.
Das propriedades dos conjuntos de probabilidade nula, verificamos assim que as
propriedades da converge\u2c6ncia quase certa duma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias sa\u2dco
essencialmente iguais a`s da converge\u2c6ncia pontual. Uma das excepc¸o\u2dces e´ o da na\u2dco unici-
dade do limite quase certo. No entanto, mesmo esta propriedade pode ser recuperada
atrave´s da identificac¸a\u2dco de