Apontamentos de Teoria das Probabilidades
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Apontamentos de Teoria das Probabilidades


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Bibliografia Geral 143
I´ndice Remissivo 144
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Parte I
Distribuic¸o\u2dces de probabilidade
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Cap´\u131tulo 1
Espac¸os de probabilidade
Modelo matema´tico para uma experie\u2c6ncia aleato´ria. Propriedades duma probabilidade.
Modelac¸a\u2dco de algumas experie\u2c6ncias aleato´rias. Algumas construc¸o\u2dces de espac¸os de pro-
babilidade. Produto infinito de espac¸os de probabilidade. Probabilidade condicionada.
Teorema de Bayes. Produto generalizado de probabilidades. Breve refere\u2c6ncia a` simula-
c¸a\u2dco de experie\u2c6ncias aleato´rias.
1.1 Modelo matema´tico para uma experie\u2c6ncia aleato´ria
Em 1933 A.N. Kolmogorov1 estabelece as bases axioma´ticas do ca´lculo das proba-
bilidades. O modelo proposto por Kolmogorov permitiu associar o ca´lculo das proba-
bilidades a` teoria da medida e da integrac¸a\u2dco, possibilitando assim a utilizac¸a\u2dco dos
resultados e te´cnicas da ana´lise no desenvolvimento da teoria das probabilidades.
Ao conjunto das realizac¸o\u2dces poss´\u131veis duma experie\u2c6ncia aleato´ria Kolmogorov
comec¸ou por associar um conjunto \u2126, a que chamamos espac¸o dos resultados ou
espac¸o fundamental, em que cada elemento \u3c9 \u2208 \u2126 caracteriza completamente uma
realizac¸a\u2dco poss´\u131vel da experie\u2c6ncia aleato´ria. Identificou os acontecimentos aleato´rios
associados a` experie\u2c6ncia com subconjuntos do espac¸o fundamental, associando a cada
acontecimento o conjunto dos pontos \u3c9 \u2208 \u2126 que correspondem a resultados da ex-
perie\u2c6ncia aleato´ria favora´veis a` realizac¸a\u2dco desse acontecimento. Como casos extremos
temos o acontecimento imposs´\u131vel e o acontecimento certo representados natu-
ralmente pelos conjuntos \u2205 e \u2126, respectivamente. Os subconjuntos singulares de \u2126
dizem-se acontecimentos elementares.
As operac¸o\u2dces usuais entre conjuntos, reunia\u2dco, intersecc¸a\u2dco, diferenc¸a, etc, permitem
exprimir ou construir acontecimentos em func¸a\u2dco ou a partir de outros acontecimentos:
1Kolmogorov, A.N., Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung, 1933.
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4 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
A\u222aB \u2261 acontecimento que se realiza quando pelo menos um dos acontecimentos A ou
B se realiza; A \u2229 B \u2261 acontecimento que se realiza quando A e B se realizam; Ac \u2261
acontecimento que se realiza quando A na\u2dco se realiza; A \u2212 B \u2261 acontecimento que se
realiza quando A se realiza e B na\u2dco se realiza;
\u22c3\u221e
n=1An \u2261 acontecimento que se realiza
quando pelo menos um dos acontecimentos An se realiza;
\u22c2\u221e
n=1An \u2261 acontecimento
que se realiza quando todos os acontecimentos An se realizam; lim inf An \u2261 aconteci-
mento que se realiza quando se realizam todos os acontecimentos An com excepc¸a\u2dco
dum nu´mero finito deles; lim supAn \u2261 acontecimento que se realiza quando se realiza
um infinidade de acontecimentos An.
Finalmente, com a axiomatizac¸a\u2dco do conceito de probabilidade, Kolmogorov estabe-
lece regras gerais a que deve satisfazer a atribuic¸a\u2dco de probabilidade aos acontecimentos
duma experie\u2c6ncia aleato´ria.
Concretizemos este procedimento, considerando a experie\u2c6ncia aleato´ria que consiste
no lanc¸amento de um dado equilibrado. Representando por \u201ci\u201d a ocorre\u2c6ncia da face
com \u201ci\u201d pontos, o espac¸o dos resultados e´ \u2126 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os acontecimentos
aleato´rios \u201csa´\u131da de nu´mero par\u201d, \u201csa´\u131da de nu´mero inferior a 3\u201d, etc., podem ser
identificados com os subconjuntos do espac¸o dos resultados {2, 4, 6}, {1, 2}, etc., respe-
ctivamente. Em resposta a`s perguntas \u201cqual e´ a probabilidade de sair um nu´mero par no
lanc¸amento de um dado?\u201d e \u201cqual e´ a probabilidade de sair um nu´mero mu´ltiplo de 3 no
lanc¸amento de um dado?\u201d, esperamos associar a cada um dos conjuntos {2, 4, 6} e {3, 6},
um nu´mero real que exprima a maior ou menor possibilidade de tais acontecimentos
ocorrerem. Uma forma natural de o fazer, sera´ associar a um acontecimento a proporc¸a\u2dco
de vezes que esperamos que esse acontecimento ocorra em sucessivas repetic¸o\u2dces da
experie\u2c6ncia aleato´ria. Sendo o dado equilibrado, e atendendo a que em sucessivos
lanc¸amentos do mesmo esperamos que o acontecimento {2, 4, 6} ocorra tre\u2c6s vezes em
cada seis lanc¸amentos e que o acontecimento {3, 6} ocorra duas vezes em cada seis
lanc¸amentos, poder´\u131amos ser levados a associar ao primeiro acontecimento o nu´mero
3/6 e ao segundo o nu´mero 2/6.
A definic¸a\u2dco de probabilidade de Kolmogorov que a seguir apresentamos, e´ moti-
vada por considerac¸o\u2dces do tipo anterior relacionadas com o conceito frequencista de
probabilidade, isto e´, com as propriedades da freque\u2c6ncia relativa de acontecimentos
aleato´rios em sucessivas repetic¸o\u2dces duma experie\u2c6ncia aleato´ria. Em particular, se por
P(A) denotarmos a probabilidade do acontecimento A, P(A) devera´ ser um nu´mero
real do intervalo [0, 1], com P(\u2126) = 1 e P(A \u222a B) = P(A) + P(B), se A e B sa\u2dco
incompat´\u131veis, isto e´, se A \u2229 B = \u2205. Estamos agora ja´ muito perto de noc¸a\u2dco de
probabilidade considerada por Kolmogorov. Ale´m da propriedade de aditividade sobre
P, Kolmogorov assume que P e´ \u3c3-aditiva. O dom\u131´nio natural de definic¸a\u2dco duma tal
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1 Espac¸os de probabilidade 5
aplicac¸a\u2dco e´ assim uma \u3c3-a´lgebra. Recordemos que uma classe A de partes de \u2126 e´
uma \u3c3-a´lgebra se conte´m o conjunto vazio, e e´ esta´vel para a complementac¸a\u2dco e para a
reunia\u2dco numera´vel. Uma \u3c3-a´lgebra conte´m claramente \u2126, e e´ esta´vel para a intersecc¸a\u2dco
numera´vel bem como para a intersecc¸a\u2dco e reunia\u2dco finitas.
Definic¸a\u2dco 1.1.1 Uma probabilidade P sobre uma \u3c3-a´lgebra A de partes de \u2126 e´ uma
aplicac¸a\u2dco de A em [0, 1] tal que:
a) P (\u2126) = 1;
b) Para todo o An \u2208 A, n = 1, 2, . . . disjuntos dois a dois
P
( \u221e\u22c3
n=1
An
)
=
\u221e\u2211
n=1
P(An) (\u3c3-aditividade).
Ao terno (\u2126,A,P) chamamos espac¸o de probabilidade. Quando a uma ex-
perie\u2c6ncia aleato´ria associamos o espac¸o de probabilidade (\u2126,A,P) dizemos tambe´m
que este espac¸o e´ um modelo probabil´\u131stico para a experie\u2c6ncia aleato´ria em causa.
Os elementos de A dizem-se acontecimentos aleato´rios. Fazendo em b), A1 = \u2126 e
An = \u2205, para n \u2265 2, obtemos P(\u2126) = P(\u2126) +
\u2211\u221e
n=2 P(\u2205), o que implica P(\u2205) = 0. Por
outras palavras, uma probabilidade e´ uma medida definida num espac¸o mensura´vel
(\u2126,A) em que a medida de todo o espac¸o e´ igual a` unidade (ver AMI, §2.1).
A axiomatizac¸a\u2dco da noc¸a\u2dco de probabilidade, na\u2dco resolve o problema da atribuic¸a\u2dco
de probabilidade aos acontecimentos de uma experie\u2c6ncia aleato´ria particular. Apenas
fixa as regras gerais a que uma tal atribuic¸a\u2dco deve satisfazer.
Nos exemplos que a seguir consideramos, a associac¸a\u2dco dum modelo probabil´\u131stico
a`s experie\u2c6ncias aleato´rias que descrevemos pode ser feita de forma simples.
Exemplo 1.1.2 Retomando o exemplo do lanc¸amento de um dado equilibrado, como
todos os elementos de \u2126 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} te\u2c6m a mesma possibilidade de ocorrer, sera´
natural tomar P definida em A = P(\u2126) por P({x}) = 1/6, para x \u2208 \u2126. Duma forma
geral, se o espac¸o \u2126 dos resultados duma experie\u2c6ncia aleato´ria e´ finito e todos os seus
elementos te\u2c6m a mesma possibilidade de ocorrer, sera´ natural tomar
P(A) =
\u266fA
\u266f\u2126
, para A \u2282 \u2126,
isto e´,
P(A) =
nu´mero de resultados favora´veis a A
nu´mero de resultados poss´\u131veis
,
que na\u2dco e´ mais do que a definic¸a\u2dco cla´ssica de probabilidade.
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6 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
Exemplo 1.1.3 Suponhamos que extra´\u131mos ao acaso um ponto do intervalo real [a, b].
Neste caso \u2126 = [a, b]. Sendo o nu´mero de resultados poss´\u131veis infinito, na\u2dco podemos
proceder como no exemplo anterior. No entanto, como intervalos com igual compri-
mento te\u2c6m a mesma possibilidade de conter o ponto extra´\u131do, sera´ natural tomar para
probabilidade