Apontamentos de Teoria das Probabilidades
157 pág.

Apontamentos de Teoria das Probabilidades


DisciplinaFísica37.856 materiais858.898 seguidores
Pré-visualização36 páginas
varia´veis aleato´rias que coincidem a menos dum conjunto
de probabilidade nula, isto e´, identificando varia´veis quase certamente iguais.
75
tenreiro@
m
at.uc.pt
76 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
Proposic¸a\u2dco 5.1.2 Se Xn
qc\u2212\u2192 X e Xn qc\u2212\u2192 Y , enta\u2dco X = Y q.c..
No resultado seguinte apresentamos uma caracterizac¸a\u2dco da converge\u2c6ncia quase certa
bastante u´til quando pretendemos estabelecer a existe\u2c6ncia do limite quase certo.
Teorema 5.1.3 Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias reais. As condic¸o\u2dces
seguintes sa\u2dco equivalentes:
(i) Xn
qc\u2212\u2192 X, para alguma varia´vel aleato´ria real X;
(ii) (Xn) e´ de Cauchy quase certamente, isto e´,
sup
n,m\u2265k
|Xn \u2212Xm| qc\u2212\u2192 0, k\u2192+\u221e.
Dem: A implicac¸a\u2dco (i) \u21d2 (ii) e´ o´bvia. Estabelec¸amos a implicac¸a\u2dco rec´\u131proca. Sendo
(Xn) de Cauchy quase certamente, conclu´\u131mos que existe N \u2208 A com P(N) = 0 tal
que para todo o w \u2208 N c a sucessa\u2dco (Xn(\u3c9)) e´ de Cauchy em R. Definindo X(\u3c9) =
limXn(\u3c9), para \u3c9 \u2208 N c e X(\u3c9) = 0, para \u3c9 \u2208 N , temos claramente Xn qc\u2212\u2192 X. \ufffd
Exerc´\u131cios
1. Sendo f uma func¸a\u2dco cont´\u131nua real de varia´vel real, prove que se Xn
qc\u2212\u2192 X , enta\u2dco
f(Xn)
qc\u2212\u2192 f(X).
2. Mostre que as seguintes condic¸o\u2dces sa\u2dco equivalentes:
(i) Xn
qc\u2212\u2192 X ;
(ii) \u2200 \u1eb > 0 P
(\u22c2\u221e
k=1
\u22c3\u221e
n=k{|Xn \u2212X | \u2265 \u1eb}
)
= 0;
(iii) \u2200 \u1eb > 0 P
(\u22c3\u221e
n=k{|Xn \u2212X | \u2265 \u1eb}
)
\u21920, k\u2192+\u221e.
3. Diz-se que uma sucessa\u2dco (Xn) de v.a.r. converge quase completamente para uma v.a.r.
X quando
\u2211\u221e
n=1 P({|Xn \u2212X | \u2265 \u1eb}) < +\u221e, para todo o \u1eb > 0.
(a) Prove que a converge\u2c6ncia quase completa implica a converge\u2c6ncia quase certa.
(b) Mostre que se as varia´veis (Xn) sa\u2dco independentes, as converge\u2c6ncias quase certa e
quase completa sa\u2dco equivalentes.
(Sugesta\u2dco: Use a lei zero-um de Borel.)
5.2 Converge\u2c6ncia em probabilidade
Definic¸a\u2dco 5.2.1 Dizemos que (Xn) converge para X em probabilidade, e escre-
vemos Xn
p\u2212\u2192 X, se
\u2200 \u1eb > 0 P({\u3c9 \u2208 \u2126 : |Xn(\u3c9)\u2212X(\u3c9)| \u2265 \u1eb})\u21920.
tenreiro@
m
at.uc.pt
5 Converge\u2c6ncias funcionais de varia´veis aleato´rias 77
Tal como para a converge\u2c6ncia quase certa, se X e Y sa\u2dco limite em probabilidade
duma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias enta\u2dco X e Y coincidem a menos dum conjunto
com probabilidade nula.
Comecemos por relacionar este modo de converge\u2c6ncia com a converge\u2c6ncia quase
certa introduzida no para´grafo anterior.
Teorema 5.2.2 Se Xn
qc\u2212\u2192 X, enta\u2dco Xn p\u2212\u2192 X.
Dem: Tendo em conta a inclusa\u2dco {\u3c9 : limXn(\u3c9) = X(\u3c9)} \u2282
\u22c3
n\u2208N
\u22c2
k\u2265n{x : |Xk(\u3c9)\u2212
X(\u3c9)| < \u1eb}, va´lida para todo o \u1eb > 0, obtemos, por hipo´tese, P(\u22c3n\u2208N\u22c2k\u2265n{\u3c9 :
|Xk(\u3c9)\u2212X(\u3c9)| < \u1eb}) = 1, ou ainda, limP(
\u22c2
k\u2265n{x : |Xk(\u3c9)\u2212X(\u3c9)| < \u1eb}) = 1. Assim
limP({\u3c9 : |Xn(\u3c9)\u2212X(\u3c9)| < \u1eb}) = 1, o que permite concluir. \ufffd
Apresentamos a seguir duas caracterizac¸o\u2dces importantes da converge\u2c6ncia em proba-
bilidade. A segunda delas permite utilizar no estudo da converge\u2c6ncia em probabilidade
resultados da converge\u2c6ncia quase certa.
Teorema 5.2.3 Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias reais. As condic¸o\u2dces
seguintes sa\u2dco equivalentes:
(i) Xn
p\u2212\u2192 X, para alguma varia´vel aleato´ria real X;
(ii) (Xn) e´ de Cauchy em probabilidade, isto e´,
\u2200 \u1eb > 0 sup
n,m\u2265k
P({|Xn \u2212Xm| \u2265 \u1eb})\u21920, k\u2192+\u221e.
Dem: A implicac¸a\u2dco (i) \u21d2 (ii) e´ conseque\u2c6ncia imediata da inclusa\u2dco {|Xn \u2212Xm| \u2265 \u1eb} \u2282
{|Xn\u2212X| \u2265 \u1eb/2}\u222a{|Xm\u2212X| \u2265 \u1eb/2}. Para estabelecer a implicac¸a\u2dco rec´\u131proca, comece-
mos por mostrar que sendo (Xn) de Cauchy em probabilidade existe uma subsucessa\u2dco
(Xnk) que e´ de Cauchy quase certamente. Com efeito, sendo (Xn) de Cauchy em proba-
bilidade, existe uma subsucessa\u2dco (nk) de (n) tal que P({|Xnk+1 \u2212Xnk | \u2265 2\u2212k}) < 2\u2212k,
para todo o k \u2208 N. Pelo teorema de Borel-Cantelli conclu´\u131mos que P(N) = 0, onde
N = lim sup{|Xnk+1 \u2212 Xnk | \u2265 2\u2212k}. Dado \u3c9 \u2208 N c, existe assim \u2113 \u2208 N tal que
|Xnk+1(\u3c9) \u2212 Xnk(\u3c9)| < 2\u2212k, para todo o k \u2265 \u2113. Tomando agora r > s \u2265 \u2113 obtemos
|Xnr (\u3c9)\u2212Xns(\u3c9)| \u2264
\u2211r\u22121
j=s |Xnj+1(\u3c9)\u2212Xnj (\u3c9)| < 2\u2212\u2113+1, o que prova que (Xnk) que e´
de Cauchy quase certamente. Finalmente, sendo X a varia´vel aleato´ria real que satisfaz
Xnk
qc\u2212\u2192 X, cuja existe\u2c6ncia e´ assegurada pelo Teorema 5.1.3, e usando uma vez mais o
facto de (Xn) ser de Cauchy em probabilidade, conclu´\u131mos que Xn
p\u2212\u2192 X. \ufffd
Teorema 5.2.4 Xn
p\u2212\u2192 X sse toda a subsucessa\u2dco de (Xn) possui uma subsucessa\u2dco que
converge quase certamente para X.
tenreiro@
m
at.uc.pt
78 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
Dem: Se Xn
p\u2212\u2192 X, como toda a subsucessa\u2dco de (Xn) converge em probabilidade para
X, basta provar que existe uma subsucessa\u2dco de (Xn) que converge quase certamente
para X. Tal facto e´ uma conseque\u2c6ncia de (Xn) ser de Cauchy em probabilidade e
do teorema anterior. Reciprocamente, suponhamos que toda a subsucessa\u2dco de (Xn)
possui uma subsucessa\u2dco que converge quase certamente para X. Dado \u1eb > 0, qualquer,
pretendemos provar que a sucessa\u2dco xn = P(|Xn\u2212X| \u2265 \u1eb), converge para zero. Para tal
basta provar que toda a sua subsucessa\u2dco admite uma subsucessa\u2dco que converge para
zero. Seja enta\u2dco (xn\u2032) uma qualquer subsucessa\u2dco de (xn). Por hipo´tese, a subsucessa\u2dco
(Xn\u2032) de (Xn) admite uma subsucessa\u2dco (Xn\u2032\u2032) que converge quase certamente, e por
maioria de raza\u2dco em probabilidade, para X. Assim, P(|Xn\u2032\u2032 \u2212 X| \u2265 \u1eb) \u2192 0, ou seja,
xn\u2032\u2032 \u2192 0. \ufffd
Terminamos este para´grafo com uma caracterizac¸a\u2dco da converge\u2c6ncia quase certa
que nos sera´ muito u´til no pro´ximo cap´\u131tulo.
Teorema 5.2.5 (Xn) converge quase certamente sse supj\u22651 |Xn+j \u2212Xn| p\u2212\u2192 0.
Dem: Conseque\u2c6ncia do Teorema 5.1.3 e do Exerc´\u131cio 5.2.4. \ufffd
Exerc´\u131cios
1. Se Xn
p\u2212\u2192 X e Xn p\u2212\u2192 Y , enta\u2dco X = Y q.c..
2. Considere a sucessa\u2dco (Xn) definida em ([0, 1[,B([0, 1[), \u3bb) por Xn = 1I[ k
2m ,
k+1
2m [
, se n =
2m + k com m = 0, 1, 2, . . . e k \u2208 {0, 1, . . . , 2m \u2212 1}. Mostre que Xn converge em proba-
bilidade para a v.a. nula, mas na\u2dco quase certamente.
3. Sendo f uma func¸a\u2dco real de varia´vel real cont´\u131nua, prove que se Xn
p\u2212\u2192 X , enta\u2dco
f(Xn)
p\u2212\u2192 f(X).
(Sugesta\u2dco: Use o Teorema 5.2.4.)
4. Seja (Xn) uma sucessa\u2dco mono´tona de v.a. reais. Mostre que Xn
p\u2212\u2192 X sse Xn qc\u2212\u2192 X .
5.3 Converge\u2c6ncia em me´dia de ordem p
Definic¸a\u2dco 5.3.1 Se X1,X2, . . ., sa\u2dco varia´veis aleato´rias em Lp, com 0 < p < +\u221e,
dizemos que (Xn) converge para a varia´vel aleato´ria X em me´dia de ordem p,
e escrevemos Xn
Lp\u2212\u2192 X, se
||Xn \u2212X||pp = E|Xn \u2212X|p\u21920.
A converge\u2c6ncia em me´dia de ordem 2 diz-se tambe´m converge\u2c6ncia em me´dia qua-
dra´tica sendo denotada por mq\u2212\u2192.
tenreiro@
m
at.uc.pt
5 Converge\u2c6ncias funcionais de varia´veis aleato´rias 79
Reparemos que a varia´vel aleato´ria limite X esta´ necessariamente em Lp pois |X|p \u2264
2p(|Xn\u2212X|p+ |Xn|p). O que referimos para os modos de converge\u2c6ncia anteriores sobre
a unicidade do limite, vale tambe´m para o limite em me´dia de ordem p.
A desigualdade de Tchebychev-Markov que estabelecemos a seguir generaliza a de-
sigualdade de Bienayme´-Tchebychev estabelecida no Exerc´\u131cio 4.2.7, permitindo-nos
mostrar que a converge\u2c6ncia em probabilidade e´ implicada pela converge\u2c6ncia em me´dia
de ordem p.
Teorema 5.3.2 (desigualdade de Tchebychev-Markov1) Se X e´ uma varia´vel
aleato´ria real e p > 0, enta\u2dco para todo o \u3b1 > 0,
P(|X| \u2265 \u3b1) \u2264 E|X|
p
\u3b1p
.
Dem: Como, para \u3b1 > 0, 1I{|X|\u2265\u3b1} \u2264 |X|p/\u3b1p, obtemos P(|X| \u2265 \u3b1) = E(1I{X\u2265\u3b1}) \u2264
E|X|p/\u3b1p. \ufffd
Teorema 5.3.3 Para 0 < p < +\u221e, se Xn L
p\u2212\u2192 X enta\u2dco Xn p\u2212\u2192 X.
Para diferentes valores de p, os diferentes modos de converge\u2c6ncia em me´dia de ordem
p esta\u2dco relacionados como se descreve a seguir.
Teorema 5.3.4 Para 1 \u2264 p < q < +\u221e, se Xn L
q\u2212\u2192 X, enta\u2dco Xn L
p\u2212\u2192 X.
Dem: Conseque\u2c6ncia da desigualdade ||X||p \u2264 ||X||q que obtemos directamente da desi-
gualdade de Ho¨lder (cf. AMI, §5.3). \ufffd
A converge\u2c6ncia em me´dia de ordem p na\u2dco e´ em geral conseque\u2c6ncia das converge\u2c6ncias
quase certa ou em probabilidade. Tal ocorre,