Apontamentos de Teoria das Probabilidades
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6.1.2).
Definic¸a\u2dco 6.1.1 Dizemos que a sucessa\u2dco (Xn) obedece a uma lei dos grandes
nu´meros para o modo de converge\u2c6ncia M se
Sn
n
\u2212 µn M\u2212\u2192 0,
para alguma sucessa\u2dco (µn) de nu´meros reais.
Por simplicidade, sempre que (Xn) obedec¸a a uma lei dos grandes nu´meros deno-
taremos por (µn) uma das sucesso\u2dces que satisfaz a definic¸a\u2dco anterior.
Exerc´\u131cios
1. Mostre que (Xn) obedece a uma lei dos grandes nu´meros para o modo de converge\u2c6ncia
M sse existe uma sucessa\u2dco (\u3bdn) de nu´meros reais tal que 1n
\u2211n
i=1(Xi \u2212 \u3bdi) M\u2212\u2192 0.
2. Mostre que se a sucessa\u2dco (Xn) de varia´veis aleato´rias independentes verifica Sn/n \u2212
µn
M\u2212\u2192 Y , para alguma sucessa\u2dco de nu´meros reais (µn) e alguma v.a.r. Y , enta\u2dco Y e´
quase certamente constante.
tenreiro@
m
at.uc.pt
6 Leis dos grandes nu´meros e se´ries de v.a. independentes 85
3. Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de v.a.r. com |Xn| \u2264M , para todo o n \u2208 N. Mostre que se (Xn)
obedece a uma lei fraca dos grandes nu´meros enta\u2dco µn \u2212 1n
\u2211n
i=1 E(Xi)\u21920.
4. Considere a sucessa\u2dco (Xn) satisfazendo P(Xn = n
2) = 1/n2 e P(Xn = \u2212n2/(n2 \u2212 1)) =
1\u2212 1/n2.
(a) Mostre que E(Xn) = 0 e
\u2211\u221e
n=1 P(Xn = n
2) <\u221e.
(b) Use o Lema de Borel-Cantelli para mostrar que Sn/n
qc\u2212\u2192 \u22121.
(c) Conclua que o resultado estabelecido no exerc´\u131cio anterior na\u2dco e´ va´lido para esta
sucessa\u2dco.
5. Sejam (Xn) e (Yn) sucesso\u2dces de v.a.r. independentes (na\u2dco necessariamente definidas num
mesmo espac¸o de probabilidade) com Xn \u223c Yn. Mostre que se (Xn) obedece a uma lei
dos grandes nu´meros para o modo de converge\u2c6nciaM, o mesmo acontece com (Yn).
6.2 Primeiras leis dos grandes nu´meros
Neste para´grafo obtemos leis dos grandes nu´meros usando te´cnicas baseadas no
ca´lculo de momentos de ordem superior ou igual a` segunda. Em para´grafos posteriores,
e a` custa de te´cnicas de demonstrac¸a\u2dco mais elaboradas, mostraremos que no caso das
sucesso\u2dces de varia´veis aleato´rias independentes tais leis podem ser obtidas para varia´veis
na\u2dco necessariamente de quadrado integra´vel.
No resultado seguinte estabelecemos uma condic¸a\u2dco necessa´ria e suficiente para a
validade duma lei dos grandes nu´meros em me´dia quadra´tica duma qualquer sucessa\u2dco
(Xn) de varia´veis de quadrado integra´vel.
Teorema 6.2.1 1 Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias reais de quadrado
integra´vel. (Xn) obedece a uma lei dos grandes nu´meros em me´dia quadra´tica sse
Var(Sn)/n
2\u21920. Neste caso µn \u2212 1n
\u2211n
i=1 E(Xi)\u21920.
Dem: Se Var(Sn)/n
2\u21920 enta\u2dco Sn/n\u2212 µn mq\u2212\u2192 0, com µn = E(Sn/n), o que estabelece
a suficie\u2c6ncia da condic¸a\u2dco anterior para a validade duma lei dos grandes nu´meros em
me´dia quadra´tica. A condic¸a\u2dco e´ tambe´m necessa´ria pois Var(Sn/n) \u2264 E(Sn/n \u2212 µn)2
(cf. Exerc´\u131cio 4.2.4). \ufffd
Atendendo ao Teorema 5.3.3, e sob as condic¸o\u2dces do teorema anterior, a condic¸a\u2dco
Var(Sn)/n
2 \u2192 0 e´ tambe´m suficiente para a validade duma lei fraca dos grandes
nu´meros. No entanto, notemos que esta pode ser obtida via desigualdade de Bie-
nayme´-Tchebychev, pois para \u1eb > 0,
P(|Sn/n\u2212 E(Sn/n)| \u2265 \u1eb) = P(|Sn \u2212 E(Sn)| \u2265 n\u1eb)
\u2264 1
n2\u1eb2
Var(Sn).
1Markov, A.A., Izv. Mat. Fiz. Ob. pri Kazanskom Univ., Ser. 2, 15, 135, 1906.
tenreiro@
m
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86 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
No caso particular em que (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias reais de
quadrado integra´vel com E(Xk) = µ, para todo o k \u2208 N, a condic¸a\u2dco Var(Sn)/n2\u2192 0
e´ necessa´ria e suficiente para que Sn/n
mq\u2212\u2192 µ. Ale´m disso, se as varia´veis da su-
cessa\u2dco sa\u2dco duas a duas na\u2dco-correlacionadas, a condic¸a\u2dco Var(Sn)/n
2 \u2192 0 reduz-se a\u2211n
k=1Var(Xk)/n
2\u21920. Estas condic¸o\u2dces sa\u2dco, em particular, satisfeitas por uma sucessa\u2dco
de varia´veis independentes e identicamente distribu´\u131das de quadrado integra´vel.
Terminamos este para´grafo mostrando que sob condic¸o\u2dces mais restritivas que as ate´
aqui consideradas, sa\u2dco tambe´m va´lidas leis fortes dos grandes nu´meros. Comec¸aremos
por admitir que as varia´veis (Xn) sa\u2dco independentes e que possuem momentos de quarta
ordem uniformemente limitados.
Teorema 6.2.2 Se (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias reais independentes
com supk\u2208N E(X4k) < +\u221e, enta\u2dco (Xn) obedece a uma lei forte dos grandes nu´meros
com µn \u2212 1n
\u2211n
i=1 E(Xi)\u21920.
Dem: Basta demonstrar o resultado para E(Xn) = 0, para todo o n \u2208 N. Pela in-
depende\u2c6ncia das varia´veis (Xn) e da desigualdade de Ho¨lder temos E(S
4
n) \u2264 n(3n \u2212
2) supk\u2208N E(X4k). Usando agora a desigualdade de Tchebychev-Markov obtemos\u2211\u221e
n=1 P(|Sn/n| \u2265 \u1eb) \u2264 E(S4n)/(\u1eb4n4) < +\u221e, o que, pelo Exerc´\u131cio 5.1.3, permite
concluir. \ufffd
No resultado seguinte, utilizando uma te´cnica de demonstrac¸a\u2dco conhecida porme´to-
do das subsucesso\u2dces, estabelecemos uma lei forte dos grandes sob condic¸o\u2dces menos
restritivas que as anteriores. Admitiremos que as varia´veis (Xn) sa\u2dco duas a duas na\u2dco-
-correlacionadas e que possuem momentos de segunda ordem uniformemente limitados.
Teorema 6.2.3 Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias reais de quadrado in-
tegra´vel duas a duas na\u2dco-correlacionadas com supk\u2208N E(X2k) < +\u221e. Enta\u2dco (Xn) obe-
dece a uma lei forte dos grandes nu´meros com µn \u2212 1n
\u2211n
i=1 E(Xi)\u21920.
Dem: Sem perda de generalidade suponhamos que E(Xn) = 0, para todo o n \u2208 N.
Denotando Yn = Sn/n, comec¸aremos por estabelecer o resultado para a subsucessa\u2dco
de (Ynn) de (Yn), Numa segunda fase extendemo-lo a toda a sucessa\u2dco. temos E(Y
2
n ) =
E(S2n)/n
2 =
\u2211n
k=1 E(X
2
k)/n
2 \u2264 \u3b3/n, onde \u3b3 = supk\u2208N E(X2k). Assim,
\u2211\u221e
n=1 E(Y
2
n2) \u2264\u2211\u221e
n=1 \u3b3/n
2 < +\u221e, ou ainda, E(\u2211\u221en=1 Y 2n2) < +\u221e, e consequentemente \u2211\u221en=1 Y 2n2 <
+\u221e, quase certamente. Conclu´\u131mos assim que limYn2 = 0, q.c.. Para demonstrar que
lim Yn = 0, q.c., consideremos, para n \u2208 N, p(n) \u2208 N tal que p(n)2 < n \u2264 (p(n) + 1)2.
Assim, E(Yn \u2212 p(n)
2
n Yp(n)2)
2 = E( 1n
\u2211n
k=p(n)2+1Xk) \u2264 (n \u2212 p(n)2)\u3b3/n2 \u2264 (2p(n) +
1)\u3b3/n2 \u2264 (2\u221an+1)\u3b3/n2 \u2264 3\u3b3/n3/2, e tal como atra´s E(\u2211\u221en=1(Yn\u2212p(n)2n Yp(n)2)2) < +\u221e,
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6 Leis dos grandes nu´meros e se´ries de v.a. independentes 87
o que implica que lim(Yn\u2212 p(n)
2
n Yp(n)2) = 0, q.c. Como lim Yp(n)2 = 0, q.c. e p(n)
2/n \u2264 1,
conclu´\u131mos finalmente que limYn = 0, q.c. \ufffd
No caso particular em que (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias reais de qua-
drado integra´vel duas a duas na\u2dco-correlacionadas com E(Xk) = µ, para todo o k \u2208 N,
conclu´\u131mos que a condic¸a\u2dco supk\u2208N E(X2k ) < +\u221e e´ suficiente para que Sn/n qc\u2212\u2192 µ.
Estas condic¸o\u2dces sa\u2dco, em particular, satisfeitas por uma sucessa\u2dco de varia´veis indepen-
dentes e identicamente distribu´\u131das de quadrado integra´vel.
Exerc´\u131cios
1. Estabelec¸a leis fracas e fortes dos grandes nu´meros para cada uma das seguintes sucesso\u2dces
de varia´veis aleato´rias:
(a) (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de varia´veis de Bernoulli de para\u2c6metro p duas a duas na\u2dco-
correlacionadas.2
(b) (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de v.a.r. duas a duas na\u2dco-correlacionadas com Xn uma varia´vel
de Bernoulli de para\u2c6metro pn.
3
(c) (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de v.a.r. de quadrado integra´vel, duas a duas na\u2dco-correlacionadas
com Var(Xn) \u2264 \u3b3.4
2. Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de v.a.r. com |Xn| \u2264 M , para todo o n \u2208 N. Mostre que
a condic¸a\u2dco Var(Sn)/n
2 \u2192 0 e´ necessa´ria para a validade duma lei fraca dos grandes
nu´meros.
3. Sejam (Xn) uma qualquer sucessa\u2dco de v.a.r. e p \u2265 1. Mostre que:
(a) Xn
qc\u2212\u2192 0\u21d2 Sn/n qc\u2212\u2192 0;
(b) Xn
Lp\u2212\u2192 0\u21d2 Sn/n L
p\u2212\u2192 0.
(c) Verifique que Xn
p\u2212\u2192 0 ; Sn/n p\u2212\u2192 0, considerando (Xn) com P(Xn = 2n) = 1/n
e P(Xn = 0) = 1\u2212 1/n.
4. (Velocidade de converge\u2c6ncia em probabilidade) Sejam (Xn) uma sucessa\u2dco de v.a.r.
i.i.d. de quadrado integra´vel e µ = E(X1).
(a) Mostre que bn(Sn/n\u2212µ) p\u2212\u2192 0 (resp. mq\u2212\u2192), para toda a sucessa\u2dco (bn) satisfazendo
bn/n
1/2\u21920.
(b) Tomando Xn \u223c N(0, 1), conclua que o resultado