Apontamentos de Teoria das Probabilidades

anterior na\u2dco e´, em geral, va´lido
para bn = n
1/2.
2Lei fraca de Bernoulli, J., Ars Conjectandi, Basel, 1713.
2Lei forte de Borel, E., Rend. Circ. Mat. Palermo, 27, 247\u2013271, 1909.
3Lei fraca de Poisson, S.D., Recherches sur la Probabilite´ des Judgements, Paris, 1837.
4Lei fraca de Tchebychev, P.L., J. Math. Pures et Appl., Se´r. 2, 12, 177\u2013184, 1867 (reproduzido em
Oeuvres de P.L. Tchebychev, Vol. 1, 28, 687\u2013694).
tenreiro@
m
at.uc.pt
88 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
6.3 Leis fracas dos grandes nu´meros
Neste para´grafo discutimos a converge\u2c6ncia em probabilidade de Sn/n sob condic¸o\u2dces
parcialmente mais fracas que as consideradas no para´grafo anterior. Em particular,
verificaremos que e´ poss´\u131vel obter leis fracas dos grandes nu´meros sob condic¸o\u2dces menos
restritivas sobre os momentos das varia´veis em questa\u2dco. No que se segue limitar-nos-
-emos a estabelecer condic¸o\u2dces suficientes para a validade duma lei fraca dos grandes
nu´meros. No caso de existirem condic¸o\u2dces necessa´rias e suficientes indica´-las-emos.
Teorema 6.3.1 (Lei fraca de Kolmogorov5) Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de varia´veis
aleato´rias reais independentes satisfazendo as condic¸o\u2dces seguintes para alguma sucessa\u2dco
(an) de nu´meros reais:
a)
\u2211n
k=1 P(|Xk \u2212 ak| > n)\u21920;
b) 1
n2
\u2211n
k=1 E((Xk \u2212 ak)21I|Xk\u2212ak|\u2264n)\u21920.
Enta\u2dco, (Xn) obedece a uma lei fraca dos grandes nu´meros com µn =
1
n
\u2211n
k=1{E((Xk\u2212
ak)1I|Xk\u2212ak |\u2264n)\u2212 ak}.
Dem: Basta considerar o caso ak = 0, para todo o k. Para k e n naturais, consideremos
as varia´veis aleato´rias X \u2032n,k = Xk1I|Xk|\u2264n e S
\u2032
n =
\u2211n
k=1X
\u2032
n,k. Para \u1eb > 0, temos por a),
P(|S\u2032n\u2212Sn| \u2265 \u1eb) \u2264
\u2211n
k=1 P(X
\u2032
n,k 6= Xk) =
\u2211n
k=1 P(|Xk| > n)\u2192 0. Como Sn/n\u2212µn =
(Sn \u2212 S\u2032n)/n + (S\u2032n \u2212 E(S\u2032n))/n, basta agora mostrar que (S\u2032n \u2212 E(S\u2032n))/n p\u2212\u2192 0. Tal
facto e´ conseque\u2c6ncia de b) pois para \u1eb > 0, P(|S\u2032n \u2212E(S\u2032n)|/n \u2265 \u1eb) \u2264 Var(S\u2032n)/(\u1eb2n2) =
\u1eb\u22122n\u22122
\u2211n
j=1 E(X
2
j 1I|Xj |\u2264n)\u2192 0. \ufffd
Kolmogorov mostra ainda que as condic¸o\u2dces anteriores ale´m de suficientes sa\u2dco tambe´m
necessa´rias para a validade duma lei fraca dos grandes nu´meros quando a sucessa\u2dco (an)
e´ substitu´\u131da por uma sucessa\u2dco (mn) de medianas de (Xn), isto e´, mn e´ um nu´mero
real para o qual P(Xn < mn) \u2264 1/2 e P(Xn \u2264 mn) \u2265 1/2.
Teorema 6.3.2 6 Seja (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias reais independentes
e identicamente distribu´\u131das. (Xn) obedece a uma lei fraca dos grandes nu´meros sse
nP(|X1| > n)\u2192 0. Neste caso podemos tomar µn = E(X11I|X1|\u2264n).
Dem: Para estabelecer a suficie\u2c6ncia da condic¸a\u2dco nP(|X1| > n)\u2192 0, vamos mostrar que
se verifica a condic¸a\u2dco b) do teorema anterior para an = 0. Com efeito E(X
2
11I{|X1|\u2264n}) \u2264\u2211n
k=1 k
2P(k \u2212 1 < |X1| \u2264 k) \u2264 2
\u2211n
i=1 iP(i\u2212 1 < |X1| \u2264 n) \u2264 2
\u2211n
i=1 iP(|X1| > i\u2212 1),
o que permite concluir. Reciprocamente, se (Xn) obedece a uma lei fraca dos grandes
5Kolmogorov, A.N., Math. Ann., 99, 309\u2013319, 1928.
6Kolmogorov, A.N., Math. Ann., 102, 484\u2013488, 1929.
tenreiro@
m
at.uc.pt
6 Leis dos grandes nu´meros e se´ries de v.a. independentes 89
nu´meros sabemos da observac¸a\u2dco anterior que nP(|X1 \u2212 m| > n)\u2192 0, onde m e´ uma
mediana de X1. Sendo esta condic¸a\u2dco equivalente a nP(|X1| > n)\u2192 0, fica conclu´\u131da a
demonstrac¸a\u2dco. \ufffd
Notemos que as condic¸o\u2dces impostas no resultado anterior, na\u2dco implicam a inte-
grabilidade das varia´veis aleato´rias (Xn) (ver Exerc´\u131cio 6.3.2). No caso destas serem
integra´veis vale o resultado seguinte.
Teorema 6.3.3 (Lei fraca de Khintchine7) Se (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de varia´veis
aleato´rias reais independentes, identicamente distribu´\u131das e integra´veis, enta\u2dco Sn/n
p\u2212\u2192
µ, onde µ = E(X1).
Dem: Sendo X1 integra´vel, as hipo´teses do Teorema 6.3.2 sa\u2dco trivialmente verificadas
(ver Exerc´\u131cio 5.3.7). \ufffd
Exerc´\u131cios
1. Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de v.a.r. independentes com
\u2211n
k=1 E|Xk|1+\u3b4/n1+\u3b4 \u2192 0, para
algum 0 < \u3b4 \u2264 1. Mostre que (Xn) obedece a uma lei fraca dos grandes nu´meros com
µn =
\u2211n
k=1 E(Xk)/n.
2. Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de v.a.r. i.i.d. com P(X1 = k) = P(X1 = \u2212k) = ck2 ln k , para
k = 2, 3, . . ., onde c = 12
(\u2211\u221e
k=2
1
k2 ln k
)\u22121
.
(a) Verifique que nP(|X1| > n)\u21920 e E|X1| = +\u221e.
(b) Mostre que Sn/n
p\u2212\u2192 0.
3. Sendo X uma varia´vel aleato´ria real, mostre que:
(a) Para p > 0 vale a igualdade E|X |p = \u222b
]0,+\u221e[ p y
p\u22121P(|X | > y)d\u3bb(y).
(Sugesta\u2dco: Utilize o teorema de Fubini.)
(b) A condic¸a\u2dco nP(|X | > n)\u21920 implica que E|X |p < +\u221e, para todo o 0 < p < 1.
4. Se (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de v.a.r. i.i.d. com distribuic¸o\u2dces de Cauchy de para\u2c6metros 0 e 1,
mostre que (Xn) na\u2dco obedece a uma lei fraca dos grandes nu´meros.
6.4 Leis fortes e se´ries de varia´veis independentes
Contrariamente ao caso da lei fraca dos grandes nu´meros, na\u2dco e´ conhecida uma
condic¸a\u2dco necessa´ria e suficiente para a validade duma lei forte dos grandes nu´meros
para varia´veis independentes mas na\u2dco necessariamente identicamente distribu´\u131das.
7Khintchine, A., C. R. Acad. Sci. Paris, 188, 477\u2013479, 1929.
tenreiro@
m
at.uc.pt
90 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
No para´grafo 6.2 estabelecemos uma primeira lei forte para sucesso\u2dces de varia´veis
aleato´rias duas a duas na\u2dco-correlacionadas com momentos de segunda ordem uniforme-
mente limitados. Neste para´grafo vamos obter uma lei forte para sucesso\u2dces de varia´veis
aleato´rias independentes sob condic¸o\u2dces menos restritivas que as consideradas no Teo-
rema 6.2.2. Para tal vamos utilizar a relac¸a\u2dco entre a converge\u2c6ncia quase certa da me´dia
emp´\u131rica Sn/n e a converge\u2c6ncia da se´rie
\u2211\u221e
k=1Xk/k que estabelecemos no resultado
seguinte.
Lema 6.4.1 (de Kronecker) Se (xn) e´ uma sucessa\u2dco de nu´meros reais tal que\u2211\u221e
k=1 xk/k converge, enta\u2dco
\u2211n
k=1 xk/n\u21920.
Dem: Dado \u1eb > 0, existe por hipo´tese n0 \u2208 N tal que para n \u2265 n0, |rn| < \u1eb, onde
rn =
\u2211\u221e
k=n+1 xk/k. Assim, como
\u2211n
k=1 xk =
\u2211n
k=1(rk\u22121 \u2212 rk)k =
\u2211n\u22121
k=1 rk + r0 \u2212 nrn,
obtemos para n \u2265 n0, |
\u2211n
k=1 xk/n| \u2264
\u2211n0\u22121
k=1 |rk|/n + |r0|/n + |rn| +
\u2211n
k=n0
|rk|/n <
\u1eb(3 + (n\u2212 n0 + 1)/n) < 4\u1eb. \ufffd
O resultado que a seguir estabelecemos permite obter condic¸o\u2dces suficientes para a
converge\u2c6ncia quase certa duma se´rie de varia´veis aleato´rias independentes e, por maioria
de raza\u2dco, via lema de Kronecker, condic¸o\u2dces suficientes para uma lei forte dos grandes
nu´meros. Para tal necessitamos duma generalizac¸a\u2dco da desigualdade
P
(
|Sn| \u2265 \u1eb
)
\u2264 1
\u1eb2
n\u2211
k=1
E(X2k),
que podemos obter como aplicac¸a\u2dco directa da desigualdade Bienayme´-Tchebychev (ver
Exerc´\u131cio 4.2.7).
Lema 6.4.2 (Desigualdade maximal de Kolmogorov8) Sejam X1, . . . ,Xn sa\u2dco va-
ria´veis aleato´rias reais independentes com me´dia zero e Sk = X1 + . . . + Xk, para
k = 1, . . . , n. Enta\u2dco, para todo o \u1eb > 0,
P
(
max
1\u2264k\u2264n
|Sk| \u2265 \u1eb
)
\u2264 1
\u1eb2
n\u2211
k=1
E(X2k).
Dem: Para \u1eb > 0, definamos os acontecimentos disjuntos E1 = {|S1| \u2265 \u1eb} e Ek =
{|S1| < \u1eb, . . . , |Sk\u22121| < \u1eb, |Sk| \u2265 \u1eb}, para 2 \u2264 k \u2264 n, que satisfazem
\u22c3n
k=1Ek =
{max1\u2264k\u2264n |Sk| \u2265 \u1eb}. Pela desigualdade de Markov temos P(Ek) \u2264 \u1eb\u22122E(Sk1IEk)2.
Usando agora a independe\u2c6ncia entre Sk1IEk e Sn\u2212Sk, podemos ainda escrever E(S2k1IEk)
\u2264 E(S2k1IEk + (Sn \u2212 Sk)21IEk) = E(S2k1IEk + 2Sk(Sn \u2212 Sk)1IEk + (Sn \u2212 Sk)21IEk) =
E(Sn1IEk)
2. Finalmente, P(max1\u2264k\u2264n |Sk| \u2265 \u1eb) =
\u2211n
k=1 P(Ek) \u2264
\u2211n
k=1 \u1eb
\u22122E(Sn1IEk)
2
\u2264 \u1eb\u22122E(S2n). \ufffd
8Kolmogorov, A.N., Math. Ann., 99, p. 309\u2013319, 1928.
tenreiro@
m
at.uc.pt
6 Leis dos grandes nu´meros e se´ries de v.a. independentes 91
Teorema 6.4.3 (Crite´rio de Kolmogorov) Sejam (Xn) varia´veis aleato´rias reais
independentes de quadrado integra´vel com E(Xn) = 0, para todo o n \u2208 N. Se a se´rie\u2211\u221e
n=1Var(Xn) e´ convergente, enta\u2dco a se´rie
\u2211\u221e
n=1Xn converge quase certamente.
Dem: Atendendo ao Teorema 5.2.5,