Apontamentos de Teoria das Probabilidades
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k = 1, . . . , n. Enta\u2dco, para todo o \u1eb > 0,
P
(
max
1\u2264k\u2264n
|Sk| \u2265 \u1eb
)
\u2265 1\u2212 (\u1eb+ \u3b3)
2\u2211n
k=1 E(X
2
k)
.
Dem: Sejam Ek, para 1 \u2264 k \u2264 n, os acontecimentos definidos na demonstrac¸a\u2dco da
desigualdade maximal de Kolmogorov, e Dk, para 0 \u2264 k \u2264 n, os acontecimentos
D0 = \u2126 e Dk = {|S1| < \u1eb, . . . , |Sk\u22121| < \u1eb, |Sk| < \u1eb}, para 1 \u2264 k \u2264 n. Claramente
{max1\u2264k\u2264n |Sk| \u2265 \u1eb} =
\u2211n
k=1Ek = D
c
n. Para k \u2265 1, Dk e Ek sa\u2dco disjuntos e Dk+Ek =
Dk\u22121, o que permite escrever Sk\u221211IDk\u22121 + Xk1IDk\u22121 = Sk1IDk\u22121 = Sk1IDk + Sk1IEk ,
onde S0 = 0. Usando a independe\u2c6ncia entre Sk\u221211IDk\u22121 e Xk e entre 1IDk\u22121 e Xk
temos E(S2k\u221211IDk\u22121) + E(X
2
k)P(Dk\u22121) = E(S
2
k1IDk) + E(S
2
k1IEk). Ale´m disso, como
P(Dk\u22121) \u2265 P(Dn) e |Sk1IEk\u22121 | \u2264 (\u1eb+ \u3b3)1IEk , obtemos E(S2k\u221211IDk\u22121) + E(X2k)P(Dn) \u2264
E(S2k1IDk)+(\u1eb+\u3b3)
2P(Ek). Finalmente, somando todas as inequac¸o\u2dces anteriores obtemos\u2211n
k=1 E(X
2
k )P(Dn) \u2264 E(S2n1IDn)+ (\u1eb+ \u3b3)2P(Dcn) \u2264 (\u1eb+ \u3b3)2, o que permite concluir. \ufffd
Estabelecemos em primeiro lugar a rec´\u131proca do crite´rio de Kolmogorov para varia´-
veis uniformemente limitadas.
Teorema 6.6.2 Sejam (Xn) varia´veis aleato´rias reais independentes tais que supk\u2208N
|Xk| \u2264 \u3b3 q.c., para alguma constante \u3b3 > 0, e E(Xk) = 0 para todo o k \u2208 N. Enta\u2dco\u2211\u221e
n=1Xn converge quase certamente sse a se´rie
\u2211\u221e
n=1Var(Xn) e´ convergente.
Dem: Tendo em conta o Teorema 6.4.3, basta mostrar que
\u2211\u221e
n=1Var(Xn) e´ conver-
gente quando
\u2211\u221e
n=1Xn converge quase certamente. Neste caso, para todo o \u1eb > 0
P(supj\u22651 |Sn+j\u2212Sn| \u2265 \u1eb)\u2192 0 (cf. Teorema 5.2.5). Ora, pelo Lema 6.6.1, P(supj\u22651 |Sn+j
\u2212Sn| \u2265 \u1eb) = limN\u2192+\u221e P(max1\u2264j\u2264N |Sn+j \u2212Sn| \u2265 \u1eb) \u2265 1\u2212 (\u1eb+2\u3b3)2/
\u2211\u221e
k=n+1Var(Xk),
obtendo-se uma contradic¸a\u2dco se
\u2211\u221e
n=1Var(Xn) = +\u221e. \ufffd
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6 Leis dos grandes nu´meros e se´ries de v.a. independentes 95
Passemos agora ao estudo da se´rie na\u2dco centrada no caso das varia´veis da sucessa\u2dco
serem uniformemente limitadas.
Teorema 6.6.3 Sejam (Xn) varia´veis aleato´rias reais independentes tais que supk\u2208N
|Xk| \u2264 \u3b3 q.c., para alguma constante \u3b3 > 0. Enta\u2dco a se´rie
\u2211\u221e
n=1Xn converge quase
certamente sse as se´ries
\u2211\u221e
n=1 E(Xn) e
\u2211\u221e
n=1Var(Xn) sa\u2dco convergentes.
Dem: Pelo Teorema 6.4.3 basta mostrar que a converge\u2c6ncia quase certa da se´rie
\u2211
Xn
implica a converge\u2c6ncia das se´ries
\u2211
E(Xn) e
\u2211
Var(Xn). Sabemos do Exerc´\u131cio 3.2.6
que existem varia´veis aleato´rias reais independentes Y1, Z1, Y2, Z2, . . . definidas num
mesmo espac¸o de probabilidade com Xn \u223c Yn \u223c Zn, para todo o n \u2208 N. Ale´m
disso, se
\u2211
Xn e´ quase certamente convergente, tambe´m o sa\u2dco as se´ries
\u2211
Yn e
\u2211
Zn
(cf. Exerc´\u131cio 6.6.2). Consideremos agora as varia´veis Un = Yn \u2212 Zn, para n \u2208 N
(notemos que Un \u223c \u2212Un, pelo que esta te´cnica e´ conhecida por simetrizac¸a\u2dco). Tais
varia´veis sa\u2dco independentes, com E(Un) = 0, |Un| \u2264 2\u3b3, q.c. e ale´m disso
\u2211
Un e´ quase
certamente convergente. Pelo Teorema 6.6.2 conclu´\u131mos que
\u2211
Var(Un) < +\u221e, ou
ainda
\u2211
Var(Xn) < +\u221e, uma vez que Var(Un) = Var(Yn) + Var(Zn) = 2Var(Xn).
Novamente pelo Teorema 6.6.2,
\u2211
(Xn \u2212 E(Xn)) converge quase certamente, o que
implica a converge\u2c6ncia da se´rie
\u2211
E(Xn), pois E(Xn) = Xn \u2212 (Xn \u2212 E(Xn)), para
n \u2208 N. \ufffd
Finalmente, no caso geral das varia´veis na\u2dco serem uniformemente limitadas e´ va´lido
o seguinte resultado.
Teorema 6.6.4 (das tre\u2c6s se´ries12) Se (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias
reais independentes enta\u2dco
\u2211\u221e
n=1Xn converge quase certamente sse para algum c > 0
as tre\u2c6s se´ries seguintes sa\u2dco convergentes:
a)
\u221e\u2211
n=1
P(|Xn| > c); b)
\u221e\u2211
n=1
E(Xn1I|Xn|\u2264c); c)
\u221e\u2211
n=1
Var(Xn1I|Xn|\u2264c).
Dem: Comec¸amos por notar que a converge\u2c6ncia da se´rie a) e´, pela lei zero-um de Borel,
equivalente a` condic¸a\u2dco P(|Xn| > c i.o.) = 0, ou ainda a P(Xn 6= Xn1I|Xn|\u2264c i.o.) = 0.
Assim, a menos dum conjunto de pontos \u3c9 com probabilidade nula as sucesso\u2dces (Xn(\u3c9))
e (Xn(\u3c9)1I{|Xn|\u2264c}(\u3c9)) coincidem para n suficientemente grande, o que implica que a
converge\u2c6ncia quase certa de
\u2211
Xn e´ equivalente a` converge\u2c6ncia quase certa da se´rie\u2211
Xn1I{|Xn|\u2264c}. Por outro lado, a converge\u2c6ncia das se´ries b) e c) e´, pelo Teorema
6.6.3, equivalente a` converge\u2c6ncia quase certa de
\u2211
Xn1I{|Xn|\u2264c}. Conclu´\u131mos assim
que a converge\u2c6ncia das se´ries a), b) e c) implica a converge\u2c6ncia quase certa de
\u2211
Xn.
12Kolmogorov, A.N., Math. Ann., 99, p. 309\u2013319, 1928.
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96 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
Reciprocamente, se
\u2211
Xn converge quase certamente, enta\u2dco como {|Xn| > c i.o.} \u2282
{lim supXn 6= 0}, para c > 0 qualquer, conclu´\u131mos que P(|Xn| > c i.o.) = 0, o que,
como ja´ referimos e´ equivalente a` converge\u2c6ncia da se´rie a). Repetindo o racioc´\u131nio ante-
rior, conclu´\u131mos que a converge\u2c6ncia quase certa de
\u2211
Xn e´ equivalente a` converge\u2c6ncia
quase certa da se´rie
\u2211
Xn1I{|Xn|\u2264c}, o que, por sua vez, e´ equivalente a`s converge\u2c6ncia
das se´ries b) e c). \ufffd
Terminamos este para´grafo mostrando que as condic¸o\u2dces necessa´rias e suficientes
anteriores para a converge\u2c6ncia quase certa da se´rie
\u2211\u221e
n=1Xn, sa\u2dco tambe´m necessa´rias
e suficientes para a sua converge\u2c6ncia em probabilidade.
Lema 6.6.5 (Desigualdade de Le´vy) Sejam X1, . . . ,Xn varia´veis aleato´rias reais e
independentes, Sk = X1 + . . .+Xk, para k = 1, . . . , n, e \u1eb, \u3b4 > 0. Se
max
1\u2264i\u2264n
P(|Xi + . . .+Xn| \u2265 \u1eb/2) \u2264 \u3b4,
enta\u2dco
P
(
max
1\u2264k\u2264n
|Sk| \u2265 \u1eb
)
\u2264 \u3b4
1\u2212 \u3b4 .
Dem: Sejam Ek, k \u2265 1, os conjuntos definidos na demonstrac¸a\u2dco da desigualdade
maximal de Kolmogorov. Pela independe\u2c6ncia dos acontecimentos Ek e |Sn\u2212Sk| \u2265 \u1eb/2
temos P(max1\u2264k\u2264n |Sk| \u2265 \u1eb, |Sn| \u2264 \u1eb/2) =
\u2211n
k=1 P(Ek, |Sn| \u2264 \u1eb/2) \u2264
\u2211n
k=1P(Ek, |Sn\u2212
Sk| \u2264 \u1eb/2) =
\u2211n
k=1 P(Ek)P(|Sn\u2212Sk| \u2264 \u1eb/2) \u2264 \u3b4P(max1\u2264k\u2264n |Sk| \u2265 \u1eb). Por outro lado,
P(max1\u2264k\u2264n |Sk| \u2265 \u1eb, |Sn| > \u1eb/2) \u2264 P(|Sn| > \u1eb/2) \u2264 \u3b4, o que permite concluir. \ufffd
Teorema 6.6.6 (de Le´vy13) Se (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de varia´veis aleato´rias reais e
independentes enta\u2dco Sn =
\u2211n
k=1Xk converge quase certamente sse converge em proba-
bilidade.
Dem: Conseque\u2c6ncia imediata do Teorema 5.2.5 e da desigualdade de Le´vy. \ufffd
Exerc´\u131cios
1. Recorde a natureza das se´ries
\u2211
1/n e
\u2211
(\u22121)n/n. Considere uma sucessa\u2dco (Xn) de v.a.r.
i.i.d. com P (Xn = \u22121) = P (Xn = 1) = 1/2. Estude a converge\u2c6ncia da se´rie
\u2211
Xn/n.
2. Sendo (Xn) uma qualquer sucessa\u2dco de v.a.r., mostre que se
\u2211\u221e
n=1 E(|Xn|) < \u221e, enta\u2dco\u2211\u221e
n=1Xn converge quase certamente.
3. Sejam . . . , Y1, Y0, Y\u22121, . . . uma sucessa\u2dco de v.a.r. i.i.d. com E(Yn) = 0 e \u3b10, \u3b11, . . . uma
sucessa\u2dco de nu´meros reais com
\u2211 |\u3b1n| <\u221e.
(a) Para n \u2208 N, mostre que \u2211\u221ej=0 \u3b1jYn\u2212j converge quase certamente.
(b) Definindo Xn =
\u2211\u221e
j=0 \u3b1jYn\u2212j , para n \u2208 N, mostre que Xn = \u3b1Xn\u22121 + Yn.
13Le´vy, P., The´orie de l\u2019Addition des Variables Ale´atoires, Paris, 1937.
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6 Leis dos grandes nu´meros e se´ries de v.a. independentes 97
6.7 Bibliografia
Chow, Y.S., Teicher, H. (1997). Probability Theory: Independence, Interchangeability,
Martingales, Springer.
Chung, K.L. (1974). A Course in Probability Theory, Academic Press.
Durrett, R. (1996). Probability: Theory and Examples, Duxbury Press.
Kallenberg, O. (1997). Foundations of Modern Probability, Springer.
Kolmogorov, A.N. (1950). Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing
Company.
Loe`ve, M. (1977). Probability Theory I, Springer.
Resnick, S.I. (1999). A Probability Path, Birkha¨user.
Re´ve´sz, P. (1968). The Laws of Large Numbers, Academic Press.
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Parte III
Teorema do limite central
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Cap´\u131tulo 7
Func¸a\u2dco caracter´\u131stica
Integrac¸a\u2dco de varia´veis aleato´rias complexas. Func¸a\u2dco caracter´\u131stica