Apontamentos de Teoria das Probabilidades
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independentes. A sua demonstrac¸a\u2dco e´ deixada ao cuidado
do aluno.
Teorema 7.6.2 Sejam X1, . . . ,Xn vectores aleato´rios com valores em R
d definidos
num mesmo espac¸o de probabilidade. Se X1, . . . ,Xn sa\u2dco independentes , enta\u2dco
\u3c6\u2211n
j=1 Xj
(t) =
n\u220f
j=1
\u3c6Xj (t),
para todo o t \u2208 Rd.
Usando este resultado, conclu´\u131mos facilmente que qualquer combinac¸a\u2dco linear na\u2dco-
-nula de varia´veis aleato´rias normais independentes X1, . . . ,Xn, com Xj \u223c N(mj , \u3c32j ),
e´ ainda uma varia´vel aleato´ria normal, uma vez que, para t \u2208 R, e a1, . . . , an \u2208 R,
\u3c6\u2211n
j=1 ajXj
(t) = e i t
\u2211n
j=1 ajmje\u2212
\u2211n
j=1 \u3c3
2
j a
2
j t
2/2,
que na\u2dco e´ mais do que a func¸a\u2dco caracter´\u131stica duma varia´vel aleato´ria normal de me´dia\u2211n
j=1 ajmj e varia\u2c6ncia
\u2211n
j=1 \u3c3
2
j a
2
j , sempre que pelo menos um dos aj seja diferente de
zero.
Exerc´\u131cios
1. Verifique que o rec´\u131proco do Teorema 7.6.2 e´ falso, considerando X1 = . . . = Xn = X ,
com X uma varia´vel de Cauchy de para\u2c6metros 0 e 1.
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7 Func¸a\u2dco caracter´\u131stica 109
2. Use o Teorema 7.6.2 para calcular a func¸a\u2dco caracter´\u131stica duma v.a. binomial de para\u2c6metros
n e p.
3. SeX1, . . . , Xn sa\u2dco v.a. independentes com distribuic¸o\u2dces de Poisson de para\u2c6metros \u3bb1, . . . , \u3bbn,
mostre que
\u2211n
j=1Xj e´ ainda uma v.a. de Poisson de para\u2c6metro
\u2211n
j=1 \u3bbj .
4. Dizemos que uma v.a. real X tem uma distribuic¸a\u2dco Gama de para\u2c6metros \u3b1 > 0 e
\u3b2 > 0, e escrevemos X \u223c Gama(\u3b1, \u3b2), se admite uma densidade de probabilidade da
forma
f(x) =
{
\u3b2\u3b1
\u393(\u3b1) x
\u3b1\u22121e\u2212x\u3b2, se x \u2265 0
0, se x < 0,
onde \u393 e´ a func¸a\u2dco Gama (ver Exerc´\u131cio 3.3.4).
(a) Sabendo que uma v.a. X com uma distribuic¸a\u2dco Gama de para\u2c6metros \u3b1 > 0 e \u3b2 > 0,
tem por func¸a\u2dco caracter´\u131stica
\u3c6X(t) =
\u3b2\u3b1
(\u3b2 \u2212 i t)\u3b1 ,
mostre que se X1, . . . , Xn sa\u2dco v.a.r. i.i.d. com Xj \u223c Gama(\u3b1j , \u3b2), enta\u2dco
\u2211n
j=1Xj \u223c
Gama(
\u2211n
j=1 \u3b1j , \u3b2).
(b) Verifique que as distribuic¸o\u2dces exponencial e do qui-quadrado sa\u2dco casos particula-
res da distribuic¸a\u2dco Gama. Mais precisamente \u3c72n = Gama(n/2, 1/2) e E(\u3bb) =
Gama(1, \u3bb).
7.7 Bibliografia
Jacod, J., Protter, P. (2000). Probability Essentials, Springer.
Kallenberg, O. (1997). Foundations of Modern Probability, Springer.
Lukacs, E. (1964). Fonctions Caracte´ristiques, Dunod, Paris.
Me´tivier, M. (1972). Notions Fondamentales de la The´orie des Probabilite´s, Dunod.
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Cap´\u131tulo 8
Vectores aleato´rios normais
Definic¸a\u2dco de vector aleato´rio normal. Func¸a\u2dco caracter´\u131stica e independe\u2c6ncia das mar-
gens. Continuidade absoluta.
8.1 Definic¸a\u2dco e existe\u2c6ncia
Como sabemos, uma varia´vel aleato´ria real diz-se normal centrada e reduzida,
se e´ absolutamente cont´\u131nua relativamente a` medida de Lebesgue sobre R e admite uma
versa\u2dco da densidade de probabilidade da forma
f(x) =
1\u221a
2\u3c0
exp
(
\u2212x
2
2
)
, x \u2208 R.
A noc¸a\u2dco de varia´vel aleato´ria normal que a seguir introduzimos, e´, como veremos,
mais geral do que a que considera´mos nos cap´\u131tulos anteriores.
Definic¸a\u2dco 8.1.1 Dizemos que uma varia´vel aleato´ria real X e´ normal, se
X \u223c \u3c3U +m,
para algum \u3c3,m \u2208 R, onde U e´ uma varia´vel aleato´ria normal centrada e reduzida.
Claramente E(X) = m e Var(X) = \u3c32. Se \u3c3 6= 0, a noc¸a\u2dco de varia´vel normal agora
introduzida e´ precisamente a noc¸a\u2dco anteriormente considerada, uma vez que neste caso
X possui uma densidade de probabilidade dada por
f(x) =
1\u221a
2\u3c0\u3c32
exp
(
\u2212(x\u2212m)
2
2\u3c32
)
, x \u2208 R.
Se \u3c3 = 0, X e´ degenerada. Estamos assim a incluir na fam\u131´lia das varia´vel aleato´ria
normais as varia´veis degeneradas. Tal como atra´s, indicaremos X \u223c N(m,\u3c32), e facil-
mente se deduz que a func¸a\u2dco caracter´\u131stica de X e´ dada por
\u3c6X(t) = exp( i tm) exp(\u2212t2\u3c32/2), t \u2208 R.
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112 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
Definic¸a\u2dco 8.1.2 Um vector aleato´rio X em Rd diz-se normal, ou que possui uma
distribuic¸a\u2dco normal, se \u3008a,X\u3009 = \u2211di=1 aiXi e´ uma varia´vel aleato´ria normal, para
todo o a \u2208 Rd.
Por outras palavras, um vector aleato´rio diz-se normal se qualquer combinac¸a\u2dco
linear das suas margens for uma varia´vel aleato´ria normal. Se X1, . . . ,Xd sa\u2dco varia´veis
aleato´rias normais independentes e na\u2dco-degeneradas, sabemos do cap´\u131tulo anterior que
qualquer combinac¸a\u2dco linear delas ainda uma varia´vel aleato´ria normal. Nesse caso
(X1, . . . ,Xd) e´ um vector aleato´rio normal. Como podemos concluir do Exerc´\u131cio 3
seguinte, um vector aleato´rio com margens normais na\u2dco e´ necessariamente normal.
Exerc´\u131cios
1. Mostre que as margens dum vector aleato´rio normal sa\u2dco normais.
2. Mostre que o vector N\u3c3 com densidade de probabilidade dada por (7.4.1) e´ normal.
3. Considere o vector aleato´rio (U, V ) definido no Exerc´\u131cio 2.2.3. Prove que U + V na\u2dco e´
uma v.a. normal, apesar de U e V o serem.
4. Sejam X um vector aleato´rio normal em Rp, A uma matriz real de tipo d× p, e m \u2208 Rd.
Prove que AX +m e´ um vector aleato´rio normal em Rd.
8.2 Func¸a\u2dco caracter´\u131stica e independe\u2c6ncia das margens
Se X e´ um vector aleato´rio de quadrado integra´vel com margens independentes,
sabemos ja´ que a sua matriz de covaria\u2c6ncia CX e´ diagonal. Mostramos a seguir que no
caso dos vectores aleato´rios normais, a condic¸a\u2dco rec´\u131proca e´ tambe´m verdadeira.
Comecemos por determinar a func¸a\u2dco caracter´\u131stica dum vector aleato´rio normal.
Teorema 8.2.1 Se X e´ um vector aleato´rio normal em Rd, a sua func¸a\u2dco caracter´\u131stica
e´ dada por
\u3c6X(t) = exp( i \u3008t,E(X)\u3009) exp(\u2212\u3008t,CXt\u3009/2), t \u2208 Rd.
Dem: Sendo X normal, \u3008t,X\u3009 e´ uma varia´vel normal para t \u2208 Rd. Assim, \u3c6X(t) =
\u3c6\u3008t,X\u3009(1) = exp( i E(\u3008t,X\u3009)) exp(\u2212Var(\u3008t,X\u3009)/2). Para concluir basta agora notar que
E(\u3008t,X\u3009) = \u3008t,E(X)\u3009 e Var(\u3008t,X\u3009) = \u3008t,CXt\u3009. \ufffd
Conclu´\u131mos do resultado anterior que, analogamente ao caso real, a distribuic¸a\u2dco
dum vector aleato´rio normal e´ caracterizada pela sua esperanc¸a matema´tica e pela sua
matriz de covaria\u2c6ncia. A notac¸a\u2dco X \u223c N(m,\u3a3), indica assim que X e´ um vector
aleato´rio normal de me´dia m e matriz de covaria\u2c6ncia \u3a3.
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8 Vectores aleato´rios normais 113
Estamos agora em condic¸o\u2dces de estabelecer a caracterizac¸a\u2dco ja´ anunciada da inde-
pende\u2c6ncia das margens dum vector aleato´rio normal.
Teorema 8.2.2 Se X = (X1, . . . ,Xd) e´ um vector aleato´rio normal em R
d, enta\u2dco
X1, . . . ,Xd sa\u2dco varia´veis aleato´rias reais independentes sse Cov(Xi,Xj) = 0 para todo
o i 6= j.
Dem: Sendo X1, . . . ,Xd varia´veis independentes, sabemos ja´ que sa\u2dco duas a duas
na\u2dco correlacionadas. Reciprocamente, se Cov(Xi,Xj) = 0, para i 6= j, enta\u2dco \u3c6X(t) =
exp( i
\u2211d
j=1 E(Xj)tj) exp(\u2212
\u2211d
j=1 t
2
jVar(Xj)/2) =
\u220fd
j=1 exp( i E(Xj)tj) exp(\u2212t2jVar(Xj)
/2) =
\u220fd
j=1 \u3c6Xj (tj), para t \u2208 Rd. O Teorema 7.6.1 permite agora concluir. \ufffd
Exerc´\u131cios
1. Seja (X,Y ) um ve.a. absolutamente cont´\u131nuo de densidade
f(x, y) =
1
2\u3c0
(
(
\u221a
2 e\u2212x
2/2 \u2212 e\u2212x2)e\u2212y2 + (
\u221a
2 e\u2212y
2/2 \u2212 e\u2212y2)e\u2212x2
)
,
para (x, y) \u2208 R2. Prove que:
(a) X e Y sa\u2dco v.a. normais;
(b) Cov(X,Y ) = 0;
(c) X e Y na\u2dco sa\u2dco v.a. independentes.
2. Utilizando o Teorema 8.2.1:
(a) resolva o Exerc´\u131cio 8.1.4;
(b) mostre que (X1, . . . , Xd) e´ normal quando X1, . . . , Xd sa\u2dco v.a.r. normais e indepen-
dentes.
8.3 Continuidade absoluta
Neste para´grafo apresentamos uma caracterizac¸a\u2dco da continuidade absoluta dum
vector aleato´rio normal em termos da sua matriz de covaria\u2c6ncia.
Lema 8.3.1 Sejam X um vector aleato´rio normal sobre Rd na\u2dco-degenerado com me´dia
m e matriz de covaria\u2c6ncia \u3a3, e k = car(\u3a3). Enta\u2dco existe uma matriz A de tipo d × k
com AAT = \u3a3, tal que X \u223c AY +m, onde Y \u223c N(0, Ik).
Dem: Sendo \u3a3 a matriz de covaria\u2c6ncia de X, \u3a3 e´ sime´trica