Apontamentos de Teoria das Probabilidades
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todo o \u1eb > 0, existe M > 0 tal que
PXn(]\u2212M,M ]) = FXn ]\u2212M,M ] > 1\u2212 \u1eb, \u2200n \u2208 N.
Notemos mais uma vez a analogia com o caso das sucesso\u2dces de nu´meros reais:
uma sucessa\u2dco (xn) e´ limitada sse toda a sua subsucessa\u2dco admite uma subsucessa\u2dco
convergente. Reparemos tambe´m que impor que uma sucessa\u2dco de vectores aleato´rios
seja limitada em probabilidade quando estudamos a sua converge\u2c6ncia em distribuic¸a\u2dco
na\u2dco e´ demasiadamente restritivo, uma vez que (Xn) e´ limitada em probabilidade sempre
que Xn
d\u2212\u2192 X, para algum vector aleato´rio X. No entanto, o facto de (Xn) ser limitada
em probabilidade na\u2dco implica so´ por si a converge\u2c6ncia em distribuic¸a\u2dco da sucessa\u2dco para
algum vector aleato´rio. Um exemplo disso e´ o da sucessa\u2dco Xn = X, se n e´ par, e
Xn = Y , se n e´ \u131´mpar, com X 6\u223c Y .
O teorema da selecc¸a\u2dco de Helly que estabelecemos a seguir e´ de importa\u2c6ncia fun-
damental na demonstrac¸a\u2dco do teorema de Prohorov. A notac¸a\u2dco que usamos sobre a
func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco dum vector aleato´rio foi introduzida no Exemplo 1.4.3.
Lema 9.4.3 Sejam D1, . . . ,Dd subconjuntos numera´veis e densos em R e (Xn) uma
sucessa\u2dco de vectores aleato´rios tais que limFXn(y) existe para todo o y \u2208
\u220fd
i=1Di.
Enta\u2dco existe uma func¸a\u2dco F\u221e na\u2dco-decrescente, cont´\u131nua a` direita, com 0 \u2264 F\u221e \u2264 1, tal
que limFXn(x) = F\u221e(x), para todo o x \u2208 C(F\u221e).
Dem: Para x \u2208 D = \u220fdi=1Di, definamos F\u221e(x) = limFXn(x). Claramente, 0 \u2264
F\u221e(x) \u2264 1, para todo o x \u2208 D. Para x \u2208 Rd \D, definamos F\u221e(x) = infy>x,y\u2208D F\u221e(y).
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9 Converge\u2c6ncia em distribuic¸a\u2dco 123
Como {F\u221e(y) : y > x, y \u2208 D} e´ limitado em R, o \u131´nfimo anterior e´ um elemento do
intervalo [0, 1]. Assim, 0 \u2264 F\u221e \u2264 1, e F\u221e(x1) \u2264 F\u221e(x2), se x1 \u2264 x2. i) Verifiquemos
que F\u221e e´ cont´\u131nua a` direita em todo o ponto x \u2208 Rd. Dado \u1eb > 0, tomemos x\u2032 > x com
x\u2032 \u2208 D tal que F\u221e(x) + \u1eb \u2265 F\u221e(x\u2032). Dado agora y \u2208 ]x, x\u2032] temos F\u221e(y) \u2264 F\u221e(x\u2032),
e portanto F\u221e(x) + \u1eb \u2265 F\u221e(y) \u2265 infy>x F\u221e(y). Fazendo tender \u1eb para zero, obte-
mos F\u221e \u2265 infy>x F\u221e(y), ou ainda, F\u221e = infy>x F\u221e(y). ii) Verifiquemos que F\u221e e´
na\u2dco-decrescente. Se a, b \u2208 D sa\u2dco tais que a < b, e sendo V o conjunto dos ve´rtices
de ]a, b], temos 0 \u2264 FXn ]a, b] =
\u2211
x\u2208V sgn(x)FXn(x)\u2192
\u2211
x\u2208V sgn(x)F\u221e(x) = F\u221e]a, b].
Dados agora a, b \u2208 Rd com a < b, tomemos an \u2265 a e bn \u2265 b, com an, bn \u2208 D,
an \u2192 a e bn \u2192 b. Denotando por Vn o conjunto dos ve´rtices de ]an, bn], temos
0 \u2264 F\u221e]an, bn] =
\u2211
xn\u2208Vn sgn(xn)F\u221e(xn) \u2192
\u2211
xn\u2208V sgn(x)F\u221e(x) = F\u221e]a, b]. iii) Veri-
fiquemos finalmente que limFXn(x) = F\u221e(x), para todo o x \u2208 C(F\u221e). Sejam enta\u2dco x \u2208
C(F\u221e) e (ai) e (bi) em D tais que ai \u2191 x e bi \u2193 x. Assim, FXn(ai) \u2264 FXn(x) \u2264 FXn(bi)
e F\u221e(ai) = lim inf FXn(ai) \u2264 lim inf FXn(x) \u2264 lim supFXn(x) \u2264 lim supFXn(bi) =
F\u221e(bi). Tomando agora limite em i quando i tende para +\u221e e tendo em conta que
x \u2208 C(F\u221e), obtemos F\u221e(x) \u2264 lim inf FXn(x) \u2264 lim supFXn(x) \u2264 F\u221e(x), o que prova
o pretendido. \ufffd
Teorema 9.4.4 (da selecc¸a\u2dco de Helly2) Se (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de vectores aleato´-
rios em Rd, enta\u2dco existem uma subsucessa\u2dco (Xnk) de (Xn) e uma func¸a\u2dco F\u221e : R
d\u2192R
cont´\u131nua a` direita, na\u2dco-decrescente com 0 \u2264 F\u221e \u2264 1, tais que
limFXnk (x) = F\u221e(x), \u2200x \u2208 C(F\u221e).
Dem: Tendo em conta o Teorema 9.4.3, e sendo D = Qd = {ai : i \u2208 N}, basta mos-
trar que existe uma subsucessa\u2dco (Xnk) para a qual existe o limite limFXnk (ai), para
todo o i \u2208 N. Sendo (FXn(a1)) limitada, comecemos por tomar uma sua subsucessa\u2dco
(FXn(1,k)(a1)) convergente. De forma ana´loga seja (FXn(2,k)(a2)) uma subsucessa\u2dco con-
vergente da sucessa\u2dco limitada (FXn(1,k)(a2)). As sucesso\u2dces (FXn(2,k)(a1)) e (FXn(2,k)(a2))
sa\u2dco ambas convergentes. Repetindo este processo, determinamos (FXn(i,k)(ai)) conver-
gente tal que as sucesso\u2dces (FXn(i,k)(a1)),...,(FXn(i,k) (ai\u22121)) sa\u2dco convergentes. Tomemos
enta\u2dco a sucessa\u2dco diagonal (FXn(k,k)). Para cada i \u2208 N, (FXn(k,k)(ai)) e´ convergente, pois
{FXn(k,k)(ai) : k \u2265 i} \u2282 {FXn(i,k)(ai) : k \u2265 i}, e (FXn(i,k)(ai)) e´ convergente. Basta
enta\u2dco tomar nk = n(k, k). \ufffd
Sendo a func¸a\u2dco F\u221e, cuja existe\u2c6ncia e´ estabelecida no resultado anterior, na\u2dco-
decrescente e cont´\u131nua a` direita, e´ poss´\u131vel associar-lhe uma e uma so´ medida µ\u221e
2Helly, E., Sitzungsber. Nat. Kais. Akad. Wiss., 121, 265\u2013297, 1912.
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124 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
sobre (Rd,B(Rd)) tal que
µ\u221e(]a, b]) = F\u221e]a, b] =
\u2211
x\u2208V
sgn(x)F\u221e(x),
para todo o a, b \u2208 Rd, onde V e´ o conjunto dos ve´rtices de ]a, b] (cf. Billingsley, 1986, pg.
177\u2013180). Sempre que µ\u221e(Rd) = 1, µ\u221e e´ uma probabilidade, e nesse caso Xn d\u2212\u2192 X,
onde X e´ um qualquer vector aleato´rio que tenha µ\u221e como distribuic¸a\u2dco de probabili-
dade. Caso contra´rio, temos µ\u221e(Rd) < 1 na\u2dco existindo por isso o limite em distribuic¸a\u2dco
da sucessa\u2dco (Xn) (ver Exerc´\u131cio 9.4.6). Dizemos neste caso que ocorre uma \u201cperda de
probabilidade no infinito\u201d. Um exemplo simples de tal situac¸a\u2dco e´ o da sucessa\u2dco Xn = n.
Teorema 9.4.5 (de Prohorov3) Seja (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de vectores aleato´rios em
Rd. (Xn) e´ limitada em probabilidade sse toda a subsucessa\u2dco de (Xn) possui uma
subsucessa\u2dco convergente em distribuic¸a\u2dco.
Dem: Suponhamos que (Xn) e´ limitada em probabilidade,e provemos que toda a sua
subsucessa\u2dco possui uma subsucessa\u2dco convergente em distribuic¸a\u2dco. Como qualquer
subsucessa\u2dco duma sucessa\u2dco limitada em probabilidade e´ ainda limitada em probabi-
lidade, basta que mostremos que (Xn) possui uma subsucessa\u2dco convergente em dis-
tribuic¸a\u2dco. Pelo teorema da selecc¸a\u2dco de Helly, existe uma subsucessa\u2dco (Xnk) de (Xn)
e uma func¸a\u2dco F\u221e : Rd \u2192 R cont´\u131nua a` direita, na\u2dco-decrescente com 0 \u2264 F\u221e \u2264 1,
tais que limFXnk (x) = F\u221e(x), \u2200x \u2208 C(F\u221e). Para concluir basta provar que a me-
dida finita µ\u221e associada a F\u221e e´ uma probabilidade. Para \u1eb > 0, existe M > 0
tal que PXnk (] \u2212 M,M ]) > 1 \u2212 \u1eb, \u2200 k \u2208 N. Tomando agora a < \u2212M e b > M
tais que V \u2282 C(F\u221e) onde V e´ o conjunto dos ve´rtices do recta\u2c6ngulo ]a, b], temos
µ\u221e(]a, b]) =
\u2211
x\u2208V sgn(x)F\u221e(x) = limk
\u2211
x\u2208V sgn(x)FXnk (x) = limk PXnk (]a, b]) \u2265
limk PXnk (] \u2212M,M ]) \u2265 1 \u2212 \u1eb. Sendo \u1eb > 0 qualquer conclu´\u131mos que µ\u221e(Rd) = 1.
Reciprocamente, suponhamos por absurdo que (Xn) na\u2dco e´ limitada em probabili-
dade. Tendo em conta o Exerc´\u131cio 9.4.4, existem \u1eb > 0 e uma sucessa\u2dco (nk) de
nu´meros naturais estritamente crescente tais que PXnk (] \u2212K,K]) \u2264 1 \u2212 \u1eb, para todo
o k \u2208 N, onde K = (k, . . . , k). Por hipo´tese, existe (Xnk\u2032 ) subsucessa\u2dco de (Xnk) tal
que Xnk\u2032
d\u2212\u2192 X, para algum vector aleato´rio X em Rd. Para quaisquer a, b \u2208 Rd
tais que V \u2282 C(FX), onde V e´ o conjunto dos ve´rtices do recta\u2c6ngulo ]a, b], temos
PX(]a, b]) =
\u2211
x\u2208V sgn(x)FX (x) = lim
\u2211
x\u2208V sgn(x)FXnk\u2032 (x) = limPXnk\u2032 (]a, b]) \u2264 1\u2212\u1eb,
o que e´ falso quando fazemos maxi ai \u2192 \u2212\u221e e mini bi \u2192 +\u221e. \ufffd
Exerc´\u131cios
1. Se Xn = \u3b1n, com \u3b1n \u2208 R, mostre que (Xn) e´ limitada em probabilidade sse (\u3b1n) e´
limitada.
3Prohorov, Yu.V., Theory Probab. Appl., 1, 157\u2013214, 1956.
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9 Converge\u2c6ncia em distribuic¸a\u2dco 125
2. Mostre que se Xn
d\u2212\u2192 X enta\u2dco (Xn) e´ limitada em probabilidade.
3. Prove que (Xn) e´ limitada em probabilidade sse cada uma das sucesso\u2dces coordenadas de
(Xn) e´ limitada em probabilidade.
4. Prove que (Xn) e´ limitada em probabilidade sse limk\u2192+\u221e lim supn PXn(]\u2212K,K]c) = 0,
com K = (k, . . . , k).
5. Mostre que se (Xn) e (Yn) sa\u2dco limitadas em probabilidade, enta\u2dco (XnYn) e´ limitada em
probabilidade.
6. Sejam (Xn) e´ uma sucessa\u2dco de vectores aleato´rios em R
d, F\u221e a func¸a\u2dco cuja existe\u2c6ncia e´
assegurada pelo Teorema 9.4.4 e µ\u221e a medida sobre (Rd,B(Rd)) que lhe esta´ associada.
Para i = 1, . . . , d, consideremos as func¸o\u2dces coordenada
F\u221e,i(xi) = lim
xj\u2192+\u221e
j 6=i
F\u221e(x1, . . . , xi\u22121, xi, xi+1, . . . , xd).
(a) Conclua que o conjunto Ei dos pontos de descontinuidade de F\u221e,i e´ quando muito
numera´vel.
(b) Mostre