Apontamentos de Teoria das Probabilidades
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Var(Sn)
d\u2212\u2192 N(0, 1). (10.1.1)
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tenreiro@
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130 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
O facto de uma tal distribuic¸a\u2dco assinto´tica ser normal, na\u2dco e´, como veremos neste
cap´\u131tulo, uma propriedade exclusiva das varia´veis normais. Ind´\u131cios de tal facto sa\u2dco
ja´ nossos conhecidos (ver, por exemplo, o §3.3). Para algumas distribuic¸o\u2dces de proba-
bilidade ja´ estudadas, apresentamos a seguir, para alguns valores de n, os gra´ficos da
densidade ou da func¸a\u2dco de probabilidade da varia´vel S\u22c6n. A tracejado surge tambe´m o
gra´fico da densidade normal centrada e reduzida.
-4 -2 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
n = 3
n = 9
n = 21
n = 35
Figura 9.1: Distribuic¸a\u2dco de S\u22c6n quando X1, . . . , Xn \u223c B(1/3)
-4 -2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n = 2
n = 3
n = 5
n = 10
n = 20
Figura 9.2: Distribuic¸a\u2dco de S\u22c6n quando X1, . . . , Xn \u223c \u3c721
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10 O teorema do limite central 131
-4 -2 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
n = 2
n = 3
n = 5
n = 10
n = 20
Figura 9.3: Distribuic¸a\u2dco de S\u22c6n quando X1, . . . , Xn \u223c E(1)
No caso das varia´veis independentes X1, . . . ,Xn serem exponenciais de para\u2c6metro
\u3bb > 0, podemos confirmar de forma simples o comportamento sugerido pelos gra´ficos
da Figura 9.3. Para tais varia´veis sabemos que E(Xk) = 1/\u3bb, Var(Xk) = 1/\u3bb
2 e
\u3c6Xk(t) = \u3bb/(\u3bb\u2212 i t), para t \u2208 R. Assim, pela independe\u2c6ncia das varia´veis X1, . . . ,Xn,
\u3c6S\u22c6n(t) = e
\u2212 i t\u221an \u3c6Sn(t\u3bb/
\u221a
n)
= e\u2212 i t
\u221a
n
(
1
1\u2212 i t/\u221an
)n
=
(
1 +
xn(t)
n
)n
,
onde
xn(t) = n
(
e\u2212 i t/
\u221a
n \u2212
(
1\u2212 i t\u221a
n
))
= n
(
1\u2212 i t\u221a
n
\u2212 t
2
2n
+ . . . \u2212
(
1\u2212 i t\u221a
n
))
\u2192 \u2212 t
2
2
.
Conclu´\u131mos assim que
\u3c6S\u22c6n(t)\u2192 e\u2212t
2/2 = \u3c6N(0,1)(t),
para todo o t \u2208 R (note que se xn \u2192 x enta\u2dco (1 + xn/n)n \u2192 ex), o que, pelo teorema
de Le´vy\u2013Bochner, permite concluir que
S\u22c6n
d\u2212\u2192 N(0, 1).
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132 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
Nos pro´ximos para´grafos mostraremos que a converge\u2c6ncia em distribuic¸a\u2dco (10.1.1)
ocorre para uma vasta fam\u131´lia de varia´veis aleato´rias. Um resultado deste tipo e´ conhe-
cido como teorema do limite central ou teorema central do limite, designac¸a\u2dco
esta devida a G. Po´lya (1920)1, onde a palavra \u201ccentral\u201d realc¸a a importa\u2c6ncia que um
tal resultado teve na investigac¸a\u2dco em probabilidades ate´ meados do se´culo XX.
Exerc´\u131cios
1. SejamX1, X2, . . . varia´veis i.i.d. com P(Xi = ±1) = 1/2. Mostre que Sn/
\u221a
n d\u2212\u2192 N(0, 1).
Suponha agora que, partindo dum ponto inicial, uma part´\u131cula se desloca uma unidade
para a esquerda ou para a direita com probabilidade 0.5, em cada segundo. De\u2c6 uma
aproximac¸a\u2dco para a probabilidade de ao fim de uma hora a part´\u131cula se encontrar a uma
dista\u2c6ncia superior a 200 unidades do ponto inicial.
2. Sejam X1, X2, . . . varia´veis aleato´rias independentes com distribuic¸o\u2dces de Poisson de
para\u2c6metro \u3bb > 0. Prove que (Sn \u2212 n\u3bb)/
\u221a
n\u3bb d\u2212\u2192 N(0, 1).
3. Sejam (Yn) uma sucessa\u2dco de v.a.r. e (an) uma sucessa\u2dco de nu´meros reais tais que an(Yn\u2212
µ) d\u2212\u2192 Y , com µ \u2208 R e Y uma v.a.r.. Mostre que bn(Yn \u2212 µ) p\u2212\u2192 0, para toda a sucessa\u2dco
de nu´meros reais (bn) com bn/an \u2192 0.
4. Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de v.a.r. de quadrado integra´vel satisfazendo (10.1.1). Mostre
que se n/
\u221a
Var(Sn)\u2192 +\u221e, enta\u2dco (Xn) obedece a uma lei fraca dos grandes nu´meros
com µn =
\u2211n
i=1 E(Xi)/n.
5. Seja (Xn) uma sucessa\u2dco de v.a.r. i.i.d. de quadrado integra´vel com me´dia µ satisfazendo
(10.1.1). Mostre que bn(Sn/n\u2212µ) p\u2212\u2192 0, para toda a sucessa\u2dco de nu´meros reais (bn) com
bn/n
1/2 \u2192 0 (ver Exerc´\u131cio 6.2.4), mas que n1/2(Sn/n\u2212 µ) p\u2212\u21926 0.
10.2 O teorema do limite central cla´ssico
Neste para´grafo estabelecemos a converge\u2c6ncia em distribuic¸a\u2dco (10.1.1) para varia´veis
aleato´rias independentes e identicamente distribu´\u131das de quadrado integra´vel.
Para que possamos generalizar os argumentos utilizados no para´grafo anterior a
outras distribuic¸o\u2dces, e´ essencial o resultado seguinte que na\u2dco e´ mais do que um desen-
volvimento de Taylor duma func¸a\u2dco caracter´\u131stica em que o resto e´ apresentado numa
forma que nos sera´ u´til.
Lema 10.2.1 Se E|X|n < +\u221e, para algum n \u2208 N, enta\u2dco para todo o t \u2208 R,
\u3c6X(t) =
n\u2211
k=0
( i t)k
k!
E(Xk) + un(t),
1Po´lya, G., Math. Z., 8, 171\u2013180, 1920.
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10 O teorema do limite central 133
onde
|un(t)| \u2264 E
( |tX|n+1
(n + 1)!
\u2227 2|tX|
n
n!
)
.
Dem: Para n \u2265 0 vale a igualdade\u222b x
0
(x\u2212 s)ne i sds = x
n+1
n+ 1
+
i
n+ 1
\u222b x
0
(x\u2212 s)n+1e i sds.
Por induc¸a\u2dco podemos enta\u2dco obter
e ix =
n\u2211
k=0
( i x)k
k!
+
i n+1
n!
\u222b x
0
(x\u2212 s)ne i sds,
para n \u2265 1. Por um lado, a u´ltima parcela do segundo membro da igualdade anterior
e´, em mo´dulo, majorada por
\u222b x
0 |x \u2212 s|nds/n! \u2264 |x|n+1/(n + 1)!. Por outro lado, e
atendendo a` primeira das igualdades anteriores, e´ majorada por | \u222b x0 (x\u2212 s)n\u22121e i sds\u2212
xn/n|/(n\u22121)! \u2264 2|x|n/n!. Assim, integrando ambos os membros da segunda igualdade
depois de tomar x = tX, obtemos o pretendido. \ufffd
Teorema 10.2.2 (do limite central cla´ssico2) Sejam (Xn) varia´veis aleato´rias in-
dependentes e identicamente distribu´\u131das de quadrado integra´vel, com E(X1) = µ e
Var(X1) = \u3c3
2 > 0. Enta\u2dco
Sn \u2212 nµ
\u3c3
\u221a
n
d\u2212\u2192 N(0, 1).
Dem: Basta considerar o caso em que µ = 0 e \u3c3 = 1. Denotemos por \u3c6n a func¸a\u2dco
caracter´\u131stica de Sn/
\u221a
n e por \u3c6 a func¸a\u2dco caracter´\u131stica de X1. Para t \u2208 R, temos
\u3c6n(t) = \u3c6Sn(t/
\u221a
n) = \u3c6n(t/
\u221a
n), onde pelo Lema 10.2.1, \u3c6(t/
\u221a
n) = 1+ i tE(X1)/
\u221a
n+
i 2t2E(X1)
2/(2n) + vn(t) = 1 \u2212 t2/(2n) + vn(t), com n|vn(t)| \u2264 E(|tX1|3/(6n1/2) \u2227
|tX1|2)\u2192 0 (porque\u2c6?). Assim, \u3c6n(t) = (1+(\u2212t2/2+nvn(t))/n)n \u2192 e\u2212t2/2 = \u3c6N(0,1)(t),
o que permite concluir. \ufffd
Reescrevendo a varia´vel aleato´ria (Sn\u2212nµ)/
\u221a
n na forma
\u221a
n (Sn/n\u2212µ), o teorema
anterior estabelece que
\u221a
n (Sn/n \u2212 µ) d\u2212\u2192 N(0, \u3c32). Em particular Sn/n p\u2212\u2192 µ (cf.
Exerc´\u131cio 10.2.5), isto e´, o teorema do limite central cla´ssico implica a lei fraca dos
grandes nu´meros. Ale´m disso, estabelecendo a forma da distribuic¸a\u2dco assinto´tica de Sn,
o teorema do limite central da´-nos uma informac¸a\u2dco mais precisa sobre o comportamento
assinto´tico de Sn do que a lei fraca dos grandes nu´meros.
2Laplace, P.S., Me´m. Acad. Sci. Paris, 10, 353\u2013415 e 559\u2013565, 1810 (reproduzidos em Oeuvres de
Laplace, 12, 301\u2013345 e 349\u2013353).
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134 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
Exerc´\u131cios
1. (Converge\u2c6ncia da binomial para a normal3) Para n \u2208 N, Seja Yn uma v.a. binomial
de para\u2c6metros (n, p) com 0 < p < 1. Mostre que
Yn \u2212 np\u221a
np(1\u2212 p)
d\u2212\u2192 N(0, 1).
Determine K \u2208 N, de modo que a probabilidade de em 1000 lanc¸amentos duma moeda
equilibrada obter entre 500\u2212K e 500+K caras, seja aproximadamente 0.99. Se em 1000
lanc¸amento duma moeda forem observadas 455 caras, poderemos considerar essa moeda
equilibrada?
2. Retome os Exerc´\u131cios 1.8.4 e 2.1.6. Mostre que
\u221a
n (Sn/n+ 1/37)
d\u2212\u2192 N(0, \u3c32),
onde \u3c32 = (372 \u2212 1)/372. Obtenha uma aproximac¸a\u2dco para P(Sn \u2265 0), quando n =
200, 1000 e 2000. Compare os resultados com os obtidos nos exerc´\u131cios referidos.
3. (Converge\u2c6ncia do \u3c72 para a normal) Se Yn e´ uma varia´vel com uma distribuic¸a\u2dco do
qui-quadrado com n graus de liberdade, mostre que (Yn \u2212 n)/
\u221a
2n d\u2212\u2192 N(0, 1).
4. Sejam (Xn) uma sucessa\u2dco de v.a.r. i.i.d. com momentos finitos de quarta ordem, µ =
E(X1), \u3c3
2 = Var(X1) e \u3c4 = E(X1 \u2212 µ)4.
(a) Mostre que
\u221a
n( 1n
\u2211n
i=1(Xi \u2212 µ)2 \u2212 \u3c32) d\u2212\u2192 N(0, \u3c4 \u2212 \u3c34).
(b) Conclua que
\u221a
n(\u3c3\u3022n \u2212 \u3c32) d\u2212\u2192 N(0, \u3c4 \u2212 \u3c34), onde \u3c3\u3022n e´ a varia\u2c6ncia emp´\u131rica das
varia´veis X1, . . . , Xn (ver Exerc´\u131cio 6.5.2).
5. Utilizando a te´cnica das func¸o\u2dces caracter´\u131sticas demonstre