Apontamentos de Teoria das Probabilidades
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A e B te\u2c6m cada um 12 moedas e jogam com tre\u2c6s
dados. Se saem 11 pontos, A da´ uma moeda a B, e se saem 14 pontos, B da´ uma moeda
a A. Ganha aquele que primeiro ficar com todas as moedas. Qual e´ a probabilidade de
A ganhar?
(Sugesta\u2dco: Para m \u2208 {\u221212, . . . , 12}, denote por pm a probabilidade de A ganhar quando
possui 12 +m moedas, e verifique que pm satisfaz uma relac¸a\u2dco de recorre\u2c6ncia linear.)
5. Uma caixa conte´m b bolas brancas e p bolas pretas. Uma bola e´ extra´\u131da ao acaso da
caixa, e sem ser nela reposta, uma segunda bola e´ extra´\u131da ao acaso. Qual o espac¸o de
probabilidade que associa a` experie\u2c6ncia descrita? Qual e´ a probabilidade: De ambas as
bolas serem brancas? Da primeira bola ser branca e da segunda ser preta? Da segunda
ser preta? Da segunda ser preta, sabendo que a primeira bola e´ branca?
1.4 Algumas construc¸o\u2dces de espac¸os de probabilidade
Recordamos neste para´grafo construc¸o\u2dces de espac¸os de probabilidade ja´ nossas co-
nhecidas da disciplina de Medida e Integrac¸a\u2dco. Alguns dos exemplos apresentados nos
para´grafos anteriores sa\u2dco casos particulares das construc¸o\u2dces seguintes.
Exemplo 1.4.1 Se \u2126 = {\u3c9i : i \u2208 I}, com I finito ou numera´vel, e pi, i \u2208 I, sa\u2dco
nu´meros reais na\u2dco-negativos com
\u2211
i\u2208I pi = 1, enta\u2dco
P(A) =
\u2211
i:\u3c9i\u2208A
pi, para A \u2208 P(\u2126),
e´ uma probabilidade em (\u2126,P(\u2126)). As probabilidades consideradas nos Exemplos 1.1.2,
1.3.1 e 1.3.2, sa\u2dco casos particulares desta. No caso em que I = {1, 2, . . . , n} e pi = 1/n,
para todo o i \u2208 I, obtemos a definic¸a\u2dco cla´ssica de probabilidade.
Exemplo 1.4.2 Se F : R\u2192R e´ uma func¸a\u2dco na\u2dco-decrescente, cont´\u131nua a` direita com
F (x)\u2192 0 ou 1, se x\u2192\u2212\u221e ou x\u2192+\u221e, respectivamente, enta\u2dco existe uma e uma so´
probabilidade P sobre (R,B(R)) tal que
P(]\u2212\u221e, x]) = F (x), para todo o x \u2208 R.
troca de corresponde\u2c6ncia no vera\u2dco de 1654. A resoluc¸a\u2dco do problema por Pascal e´ publicada em Traite´
du Triangle Arithme´tique, 1665. Este problema era ja´ na altura cla´ssico, sendo referido por Luca
Paccioli em Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, 1494.
7Este problema e o anterior sa\u2dco dois dos problemas resolvidos por Christian Huygens em De ratioci-
niis in aleae ludo (Sobre a lo´gica do jogo de dados), 1657. O problema da ru´\u131na do jogador foi colocado
por Pascal a Fermat, tendo chegado posteriormente ao conhecimento de Huygens.
tenreiro@
m
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1 Espac¸os de probabilidade 15
F diz-se func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco de P (ver AMI, §2.9). A probabilidade definida no
Exemplo 1.1.3 e´ um caso particular desta, em que F (x) = (x\u2212a)/(b\u2212a), se a \u2264 x \u2264 b,
F (x) = 0, se x < 0, e F (x) = 1, se x > b.
Exemplo 1.4.3 O exemplo anterior pode ser generalizado ao caso multidimensional.
Para x = (x1, . . . , xd) e y = (y1, . . . , yd) em R
d, escrevemos x \u2264 y (resp. x < y) se
xi \u2264 yi (resp. xi < yi) para todo o i = 1, . . . , d. Tal com em R, os conjuntos dos pontos
x tais que a < x \u2264 b ou dos pontos x tais que x \u2264 b, sera\u2dco denotados por ]a, b] ou
]\u2212\u221e, b], respectivamente. Dado um recta\u2c6ngulo semi-aberto a` esquerda ]a, b], denotamos
por V o conjunto dos seus ve´rtices, isto e´, o conjunto dos pontos da forma (x1, . . . , xd)
com xi = ai ou xi = bi, para i = 1, . . . , d. Se x \u2208 V , designamos por sgn(x) o sinal de
x, que e´ definido por sgn(x) = (\u22121)\u266f{i:xi=ai}. Dada uma func¸a\u2dco F : Rd\u2192R, tal que: i)
F e´ na\u2dco-decrescente, isto e´, F ]a, b] =
\u2211
x\u2208V sgn(x)F (x) \u2265 0, se a < b; ii) F e´ cont´\u131nua
a` direita, isto e´, lim
x\u2192y, y\u2264x
F (x) = F (y), para todo o y \u2208 Rd; iii) F (x) \u2192 0 ou 1, se
mini=1,...,d xi\u2192\u2212\u221e ou +\u221e, respectivamente; enta\u2dco existe uma e uma so´ probabilidade
P sobre (Rd,B(Rd)) tal que
P(]\u2212\u221e, x]) = F (x), para todo o x \u2208 Rd.
F diz-se func¸a\u2dco de distribuic¸a\u2dco de P. A demonstrac¸a\u2dco da existe\u2c6ncia de P pode ser
encontrada em Billingsley, 1986, pg. 177\u2013180. A unicidade e´ conseque\u2c6ncia imediata do
lema da igualdade de medidas (cf. AMI, §2.6).
Exemplo 1.4.4 Se µ e´ uma medida em (\u2126,A) e f e´ uma aplicac¸a\u2dco B(R)-mensura´vel
definida em (\u2126,A), na\u2dco-negativa com \u222b fdµ = 1, enta\u2dco
P(A) =
\u222b
A
fdµ, para A \u2208 A,
e´ uma probabilidade. P diz-se probabilidade com densidade f relativamente a µ, e f
diz-se densidade de probabilidade de P relativamente a µ (ver AMI, §7.1).
Note que a construc¸a\u2dco descrita no Exemplo 1.4.1 e´ um caso particular desta se
tomarmos f =
\u2211
i\u2208I pi1I{\u3c9i} e µ a medida contagem em \u2126. Verifique que o mesmo
acontece com as construc¸o\u2dces consideradas nos Exemplos 1.1.3, 1.3.4 e 1.3.5. No caso
da extracc¸a\u2dco ao acaso dum ponto do intervalo [a, b], P tem densidade f relativamente
a` medida de Lebesgue em R, onde
f(x) =
{
1
b\u2212 a, se a \u2264 x \u2264 b
0, sena\u2dco
(1.4.5)
A densidade assim definida diz-se densidade uniforme sobre o intervalo [a, b].
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16 Apontamentos de Teoria das Probabilidades
Exemplo 1.4.6 Se Q e´ uma probabilidade num espac¸o mensura´vel (E,B), e f e´ uma
aplicac¸a\u2dco mensura´vel de (E,B) em (\u2126,A), enta\u2dco P definida por
P(A) = Q(f\u22121(A)), para A \u2208 A,
e´ uma probabilidade, dita probabilidade imagem de Q por f (ver AMI, §7.1). Este
e´, em particular, o caso da probabilidade definida no Exerc´\u131cio 1.1.5 (porque\u2c6?).
Exemplo 1.4.7 Se Pi e´ uma probabilidade sobre (\u2126i,Ai), para i = 1, . . . , d, po-
demos definir sobre o espac¸o produto (\u2126,A) = (\u220fdi=1 \u2126i,\u2297di=1Ai) a probabilidade
P =
\u2297d
i=1 Pi, dita probabilidade produto das probabilidade P1, . . . ,Pd (ver AMI,
§§6.1, 6.2). Sabemos que P e´ a u´nica probabilidade sobre (\u2126,A) que satisfaz
P(A1 × . . .×Ad) =
d\u220f
i=1
Pi(Ai),
para todo o Ai \u2208 Ai, i = 1, . . . , d. A probabilidade constru´\u131da no Exemplo 1.3.2 e´ um
caso particular desta bastando tomar, para i = 1, . . . , n, (\u2126i,Ai) = ({0, 1},P({0, 1}))
e Pi({1}) = p = 1 \u2212 Pi({0}). O mesmo acontece com a probabilidade definida no
Exemplo 1.3.5 quando \u3c1 = 0.
1.5 Produto de espac¸os de probabilidade
No Exemplo 1.3.6, deixa´mos em aberto a questa\u2dco da existe\u2c6ncia de uma probabilidade
definida num produto infinito de espac¸os de probabilidade verificando propriedades
semelhantes a`s da probabilidade produto definida num produto finito de espac¸os de
probabilidade (cf. Exemplo 1.4.7). Respondemos neste para´grafo a essa questa\u2dco.
No que se segue, (\u2126t,At,Pt), t \u2208 T , e´ uma qualquer fam\u131´lia de espac¸os de proba-
bilidade, e vamos denotar por
\u220f
t\u2208T \u2126t, o produto cartesiano dos espac¸os anteriores,
isto e´, o conjunto de todos os elementos da forma (\u3c9t, t \u2208 T ), onde \u3c9t \u2208 \u2126t, para
t \u2208 T . Quando T = {1, . . . , n} ou T = N escrevemos habitualmente \u21261 × . . . × \u2126n ou
\u21261 × \u21262 × . . ., respectivamente. Se \u2126t = \u2126, para todo o t \u2208 T , usamos a notac¸a\u2dco \u2126T ,
\u2126n ou \u2126\u221e, respectivamente.
Sendo S \u2282 T , e \u3c0S a aplicac¸a\u2dco projecc¸a\u2dco de
\u220f
t\u2208T \u2126t em
\u220f
t\u2208S \u2126t definida por
\u3c0S(\u3c9t, t \u2208 T ) = (\u3c9t, t \u2208 S), todo o subconjunto de
\u220f
t\u2208T \u2126t da forma \u3c0
\u22121
S (A), com
A \u2282 \u220ft\u2208S \u2126t, diz-se cilindro de base A. Um tal cilindro diz-se de dimensa\u2dco finita
se S e´ finito.
Definic¸a\u2dco 1.5.1 Chamamos \u3c3-a´lgebra produto das \u3c3-a´lgebras At, t \u2208 T , a` \u3c3-a´lgebra\u2297
t\u2208T At, gerada pelos cilindros de dimensa\u2dco finita cujas bases sa\u2dco recta\u2c6ngulos men-
tenreiro@
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1 Espac¸os de probabilidade 17
sura´veis. Por outras palavras, se
S =
{
\u3c0\u22121S (A) : S \u2282 T, \u266fS <\u221e, A =
\u220f
t\u2208S
At com At \u2208 At, para t \u2208 S
}
=
{\u220f
t\u2208S
At : At \u2208 At e At = \u2126t excepto para um nu´mero finito de \u131´ndices
}
=
\u22c3
S\u2282T, \u266fS<\u221e
\u3c0\u22121S
(\u220f
t\u2208S
At
)
,
enta\u2dco \u2297
t\u2208T
At = \u3c3(S).
O espac¸o mensura´vel (
\u220f
t\u2208T \u2126t,
\u2297
t\u2208T At) diz-se produto dos espac¸os mensura´veis
(\u2126t,At), t \u2208 T . Como anteriormente, denotamos a \u3c3-a´lgebra anterior porA1
\u2297
. . .
\u2297An
ou A1
\u2297A2\u2297 . . ., quando T = {1, . . . , n} ou T = N. Se At = A, para todo o t \u2208 T ,
usaremos as notac¸o\u2dces AT , An ou A\u221e.
Proposic¸a\u2dco 1.5.2 A \u3c3-a´lgebra