Lista II - Teste de Hipótese

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2a Lista de Exercı´cios - EST002 Estatı´stica II.
Prof. Vinı´cius D. Mayrink - Estatı´stica/ICEx/UFMG
(1) Foram sorteadas 15 famı´lias com filhos num certo bairro e observado o nu´mero de crianc¸as, de cada famı´lia,
matriculadas na escola. Os dados foram: 1, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 0, 0 e 2. Obtenha as estimativas correspondentes
aos seguintes estimadores da me´dia por famı´lia de crianc¸as na escola nesse bairro:
µˆ1 = (mı´nimo+ma´ximo)/2 µˆ2 = (X1 +X2)/2 µˆ3 = X¯
Qual deles e´ o melhor estimador? Justifique sua resposta.
(2) Para se estudar a variabilidade em um teste de ingleˆs (notas de 0 a 5), foram sorteados 16 alunos de uma escola e
suas notas anotadas: 0, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 5, 1, 3, 2 e 3. Para estimar a variaˆncia foram propostos os estimadores:
�ˆ21 =
1
n
nX
i=1
(Xi � X¯)2 �ˆ22 =
(ma´ximo)2 � (mı´nimo)2
2
�ˆ23 =
1
n� 1
nX
i=1
(Xi � X¯)2.
Obtenha as estimativas e discuta qual estimador e´ melhor.
(3) O nu´mero de divo´rcios, por indivı´duo adulto casado, em certa comunidade foi modelado pela varia´vel aleato´riaD,
cuja func¸a˜o de probabilidade e´ dada por: P (D = 0) = 0.5, P (D = 1) = 0.4, P (D = 2) = 0.05 e P (D = 3) = 0.05.
Uma amostra aleato´ria de dois desses indivı´duos, representada por (D1, D2), foi obtida e os seguintes estimadores,
para me´dia de divo´rcios, foram considerados: µˆ1 =
p
D1D2 e µˆ2 = (ma´ximo � mı´nimo). Para cada estimador,
obtenha sua distribuic¸a˜o de probabilidade e verifique se e´ viciado.
(4) Coleta-se uma amostra de 10 observac¸o˜es independentes de uma N(2, 2). Determine a probabilidade de a me´dia
amostral:
(a) Ser inferior a 1.
(b) Ser superior a 2.5.
(c) Estar entre 0 e 2.
(5) Supo˜e-se que o consumo mensal de a´gua por resideˆncia em um certo bairro paulistano tem distribuic¸a˜o Normal
com me´dia 10 e desvio padra˜o 2 (em m3). Para uma amostra de 25 dessas resideˆncias, qual e´ a probabilidade de a
me´dia amostral na˜o se afastar da verdadeira me´dia por mais de 1m3?
(6) Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza em 80% dos casos. Uma amostra de 25 indivı´duos
que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar a imunizac¸a˜o ou na˜o desses indivı´duos. Se o
fabricante estiver correto, qual e´ a probabilidade da proporc¸a˜o de imunizados na amostra ser inferior a 0.75? E superior
a 0.85?
(7) A resisteˆncia de vigas de madeira utilizadas na construc¸a˜o esta´ sendo estudada. O fornecedor atesta que cada viga
resiste a 3 toneladas com desvio padra˜o de aproximadamente 2 toneladas. Vinte dessas vigas sera˜o sorteadas para
serem utilizadas numa obra. Considerando que e´ verdadeira a informac¸a˜o do fornecedor e supondo que o modelo
Normal e´ adequado, responda:
(a) Qual e´ a probabilidade de as 20 vigas suportarem, em me´dia, pelo menos 2.5 toneladas?
(b) Calcule a probabilidade indicada em (a), considerando agora 40 vigas e sem fazer a suposic¸a˜o de normalidade
para os dados.
(8) Para uma N(5, 10) coletou-se uma amostra de tamanho 25. Calcule:
(a) P (X¯  4.8)
(b) P (4.5  X¯  5.3)
(c) P (X¯  4.7 [ X¯ � 5.1)
(9) Trinta observac¸o˜es de uma Normal com me´dia µ e variaˆncia 36 sa˜o coletadas. Determine:
(a) P (|X¯ � µ|  3)
(b) O valor de a tal que P (|X¯ � µ| � a) ⇡ 0.9.
(10) Uma ma´quina enche pacotes de cafe´ com um peso que se comporta como uma varia´vel aleato´ria Normal de
me´dia 200 gramas e desvio padra˜o 10 gramas. Uma amostra de 25 pacotes e´ sorteada e pergunta-se: qual e´ o nu´mero
esperado de pacotes da amostra com peso inferior a 205 gramas?
(11) Desejamos coletar uma amostra de uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o Normal de me´dia desconhecida e
variaˆncia 30. Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com probabilidade 0.92, a me´dia amostral na˜o difira da
me´dia populacional por mais de 3 unidades?
(12) O calor liberado, em calorias/grama, de uma mistura de cimento tem distribuic¸a˜o aproximadamente Normal.
Pensa-se que a me´dia seja 100 e o desvio-padra˜o seja 2. Desejamos testar H0 : µ = 100 versus H1 : µ 6= 100, com
uma amostra de tamanho n = 9 espe´cimes. Se a regia˜o de aceitac¸a˜o for definida como 98.5  x¯  101.5, encontre a
probabilidade ↵ do erro tipo I.
(13) Um teste da temperatura de fusa˜o de n = 10 amostras de um material quı´mico resultou em x¯ = 154.2oF .
Considere que o ponto de fusa˜o seja Normalmente distribuı´do, com � = 1.5oF .
(a) Teste H0 : µ = 155 versus H1 : µ 6= 155 usando ↵ = 0.01.
(b) Qual e´ o valor-p para esse teste?
(14)Determinou-se o teor de so´dio em 20 caixas de 300 gramas de flocos de milho orgaˆnico. Os dados (emmiligramas)
sa˜o: 131.15, 130.69, 130.91, 129.54, 129.64, 128.77, 130.72, 128.33, 128.24, 129.65, 130.14, 129.29, 128.71, 129.00,
129.39, 130.42, 129.53, 130.12, 129.78, 130.92. Assuma a distribuic¸a˜o Normal para estes dados. Voceˆ pode sustentar
a afirmac¸a˜o de que o teor me´dio de so´dio dessa marca de flocos de milho difere de 130 miligramas? Use ↵ = 0.05.
Encontre o valor-p.
(15) Considere o teste de H0 : �2 = 7 versus H1 : �2 6= 7. Quais sa˜o os valores crı´ticos para a estatı´stica de teste X20
para os seguintes nı´veis de significaˆncia e tamanhos de amostra?
(a) ↵ = 0.01 e n = 20.
(b) ↵ = 0.05 e n = 12.
(c) ↵ = 0.10 e n = 15.
(16) Considere o teste de hipo´teses H0 : �2 = 10 versus H1 : �2 > 10. Aproxime o valor-p para cada uma das
seguintes estatı´sticas de teste.
(a) x20 = 25.2 e n = 20.
(b) x20 = 15.2 e n = 12.
(c) x20 = 4.2 e n = 15.
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