resumo de conceitos da mecanica quantica
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resumo de conceitos da mecanica quantica


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essa energia, em virtude do efeito Compton. Como
conseqüência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao contrário do que afirmaria a mecânica
clássica.
Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que ao se medir a velocidade com precisão,
alterar-se-ia a posição de modo não totalmente previsível.
Princípio da incerteza de Heisenberg 78
Resumidamente, pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais precisamente se medir uma grandeza,
forçosamente mais será imprecisa a medida da grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada
Algumas pessoas consideram mais fácil o entendimento através da analogia. Para se descobrir a posição de uma bola
de plástico dentro de um quarto escuro, podemos emitir algum tipo de radiação e deduzir a posição da bola através
das ondas que "batem" na bola e voltam. Se quisermos calcular a velocidade de um automóvel, podemos fazer com
que ele atravesse dois feixes de luz, e calcular o tempo que ele levou entre um feixe e outro. Nem radiação nem a luz
conseguem interferir de modo significativo na posição da bola, nem alterar a velocidade do automóvel. Mas podem
interferir muito tanto na posição quanto na velocidade de um elétron, pois aí a diferença de tamanho entre o fóton de
luz e o elétron é pequena. Seria, mais ou menos, como fazer o automóvel ter de atravessar dois troncos de árvores (o
que certamente alteraria sua velocidade), ou jogar água dentro do quarto escuro, para deduzir a localização da bola
através das pequenas ondas que baterão no objeto e voltarão; mas a água pode empurrar a bola mais para a frente,
alterando sua posição. Desta forma torna-se impossivel determinar a localização real desta bola pois a própria
determinação mudará a sua posição. Apesar disto, a sua nova posição pode ser ainda deduzida, calculando o quanto a
bola seria empurrada sabendo a força das ondas obtendo-se uma posição provável da bola e sendo provável que a
bola esteja localizada dentro daquela área.
Natureza da medida em mecânica quântica
Como se pode depreender da argumentação acima exposta, a natureza de uma medida sofre sérias reformulações no
contexto da mecânica quântica. De fato, na mecânica quântica uma propriedade leva o nome de observável, pois não
existem propriedades inobserváveis nesse contexto. Para a determinação de um observável, é necessário que se tenha
uma preparação conveniente do aparato de medida, a fim de que se possa obter uma coleção de valores do ensemble
de entes do sistema. Se não puder montar, ao menos teoricamente (em um Gedankenexperiment) uma preparação que
possa medir tal grandeza (observável), então é impossível determiná-la naquelas condições do experimento.
Uma comparação tornará mais clara essa noção. No experimento de difração da dupla fenda, um feixe de elétrons
atravessando uma fenda colimadora atinge mais adiante duas outras fendas paralelas traçadas numa parede opaca.
Do lado oposto da parede opaca, a luz, atravessando as fendas simultaneamente, atinge um anteparo. Se se puser
sobre este um filme fotográfico, obtém-se pela revelação do filme um padrão de interferência de zonas claras e
escuras. Esse resultado indica uma natureza ondulatória dos elétrons, resultado esse que motivou o
desenvolvimento da mecânica quântica.
Entretanto, pode-se objetar e afirmar-se que a natureza dos elétrons seja corpuscular, ou seja, composta de fótons.
Pode-se então perguntar por qual fenda o elétron atravessou para alcançar o anteparo. Para determinar isso, pode-se
pôr, junto de cada fenda, uma pequena fonte luminosa que, ao menos em princípio, pode indicar a passagem dos
elétrons por tal ou qual fenda. Entretanto, ao fazê-lo, o resultado do experimento é radicalmente mudado. A figura
de interferência, antes presente, agora dá lugar a uma distribuição gaussiana bimodal de somente duas zonas claras
em meio a uma zona escura, e cujos máximos se situam em frente às fendas.
Isso acontece porque as naturezas ondulatória e corpuscular do elétron não podem ser simultaneamente
determinadas. A tentativa de determinar uma inviabiliza a determinação da outra. Essa constatação da dupla natureza
da matéria (e da luz) leva o nome de princípio da complementaridade.
Essa analogia serve para mostrar como o mundo microfísico tem aspectos que diferem significativamente do que
indica o senso comum.
Para se entender perfeitamente o alcance e o real significado do princípio da incerteza, é necessário que se distingam
três tipos reconhecidos de propriedades dinâmicas em mecânica quântica:
1. Propriedades compatíveis: são aquelas para as quais a medida simultânea e arbitrariamente precisa de seus
valores não sofre nenhum tipo de restrição básica. Exemplo: a medição simultânea das coordenadas x, y e z de
uma partícula. A medição simultânea dos momentos px,py e pz de uma partícula.
Princípio da incerteza de Heisenberg 79
2. Propriedades mutuamente excludentes: são aquelas para as quais a medida simultânea é simplesmente
impossível. Exemplo: se um elétron está numa posição xi, não pode estar simultaneamente na posição diferente xj.
3. Propriedades incompatíveis: são aquelas correspondentes a grandezas canonicamente conjugadas, ou seja,
aquelas cujas medidas não podem ser simultaneamente medidas com precisão arbitrária. Em outras palavras, são
grandezas cujas medidas simultâneas não podem ser levadas a cabo em um conjunto de subsistemas
identicamente preparados (ensemble) para este fim, porque tal preparo não pode ser realizado. Exemplos: as
coordenadas x,y e z e seus correspondentes momentos px,py e pz, respectivamente. As coordenadas angulares \u3b8i e
os correspondentes momentos angulares Ji.
Observáveis e operadores
No formalismo matemático da mecânica quântica, os observáveis são representados por operadores matemáticos
sobre um espaço de Hilbert.
Esses operadores podem ser construídos a partir de seus equivalentes clássicos.
Na formulação de Heisenberg, as relações da incerteza podem ser dados na forma de um operador comutador, que
opera sobre dois outros operadores quaisquer:
onde A e B são operadores quaisquer.
No caso das relações de incerteza:
Dirac notou a semelhança formal entre o comutador e os parênteses de Poisson. Sabedor da equivalência usada por
Schrödinger quando este postulou a forma da equação de onda, Dirac postulou as seguintes equivalências, que valem
como receita para se acharem os operadores quânticos correspondentes a grandezas clássicas:
A descrição ondulatória dos objetos microscópicos tem consequências teóricas importantes, como o principio da
incerteza de Heisenberg. O fato de os objetos microscópicos, em muitas situações, terem uma localização no espaço
mesmo que aproximada, implica que não podem ser descritos por uma onda com um só comprimento de onda (onda
plana), pois esta ocuparia todo o espaço. É necessária uma superposição de comprimentos de ondas diferentes para
se obter um "pacote" de ondas mais bem localizado e que represente o objeto microscópico.
O papel do princípio da incerteza nas formulações modernas da mecânica
quântica
Hoje em dia, o princípio da incerteza é importante principalmente por dois motivos: um histórico e outro didático.
Ambos são análogos: o princípio da incerteza mostra de maneira clara que concepções clássicas a respeito da medida
devem ser abandonadas.
No entanto, o princípio da incerteza *não* é um bom princípio (ou postulado) da mecânica quântica, já que é inexato
e pouco geral. A mecânica quântica não-relativística é totalmente descrita com alguns postulados, dos quais as
relações de incerteza de Heisemberg surgem de forma pouco natural. Mas o espírito do princípio da incerteza é
mantido: não se pode ter um sistema que, ao ser medido, tenha a probabilidade 1 de se encontrar tanto uma ou outra
grandeza, se essas grandezas corresponderem a operadores que não comutam. Iremos explicar isto melhor