unidade3  sequancia limite e continuidade
32 pág.

unidade3 sequancia limite e continuidade


DisciplinaMatemática76.729 materiais1.339.831 seguidores
Pré-visualização5 páginas
1,00001
f (x) = 3x + 2 8 7,25 6,5 5,75 5,30 5,03 5,003 5,00003
Observamos, em ambas os quadros, que enquanto x se aproxima 
cada vez mais de 1, a função f (x) se aproxima cada vez mais de 5. 
Em outras palavras, é possível obter o valor de f (x) tão próximo de 5 
quando desejarmos, desde que tomemos x \ufffdVXÀFLHQWHPHQWH\ufffdSUy[LPR\ufffdGH\ufffd
\ufffd\ufffd\ufffd([DPLQH\ufffdR\ufffdJUiÀFR\ufffdGH\ufffd f (x) , a seguir:
y
x0 1\u22121 2
1
2
3
5
4
Figura 4.1
Curso de Graduação em Administração a Distância
172
Para x cada vez mais próximo de 1, f (x) aproxima-se de 5 e es-
creve-se a seguinte expressão:
lim
xA1
f (x) \ufffd lim
xA1
(3 x 
 2) \ufffd 5.
Lê-se:
O limite da função f (x) , quando x aproxima-se de 1, é 5, 
ou ainda, o limite de f (x) , quando x tende a 1, é 5. Isto 
VLJQLÀFD\ufffdGL]HU\ufffdTXH\ufffdR\ufffdYDORU\ufffdGD\ufffdH[SUHVVmR\ufffd 3x 
 2 , cada vez 
mais aproxima-se de 5, à medida que os valores de x estão 
aproximando-se de 1. Quando xA 1 , f (x)A 5.
Consideremos agora a função f , definida pela expressão
f (x) \ufffd 3x 
1
x <1
, parax & 1.
Queremos saber o que ocorre com a função f (x) quando x tende 
para 1, através de valores de x \ufffd 1 e o que ocorre com a função f (x) ,
quando x tende para 1, através de valores dex \ufffd 1. Vejamos o que acontece 
com f (x) , no quadro abaixo, quando x tende para 1, através de valores 
dex \ufffd 1.
x > 1 3 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 ...
f (x) \ufffd 3x 
1
x <1
5 7 11 19 43 403 4003 40003 ...
Observamos que, quando x tende para 1, através de valores de 
x \ufffd 1 ou pela direita de 1, a função f (x) \ufffdFUHVFH\ufffdLQGHÀQLGDPHQWH\ufffd\ufffdRX\ufffd\ufffdD\ufffd
função f \ufffdWHQGH\ufffdSDUD\ufffd\ufffd\ufffd’\ufffdH, pode-se dizer que o limite de f (x) quando 
x \ufffdWHQGH\ufffdD\ufffd\ufffd\ufffdSHOD\ufffdGLUHLWD\ufffdp\ufffd\ufffd\ufffd’\ufffd\ufffd\ufffdxA 1
 , f (x) A 
' e anota-se por
lim
xA1
f (x) \ufffd lim
xA1
3 x 
1
x <1
\ufffd 
'.
Vejamos o que acontece com f (x) , no quadro abaixo, quando x
tende para 1, através de valores dex \ufffd 1 .
Módulo 2
173
x < 1 -1 0 0,9 0,99 0,999 0,9999 ...
f (x) \ufffd 3x 
1
x <1
1 -1 -37 -397 -3997 -39997 ...
Observamos que quando x tende a 1, através de valores de x \ufffd 1
ou pela esquerda de 1, os valores absolutos da função f (x) crescem e são 
negativos ou a função f tende para <' , e pode-se dizer que o limite de 
f (x) quando x tende a 1 pela esquerda é<' , xA 1- , f (x)A <' , e
anota-se por
lim
xA 1<
f (x) \ufffd lim
xA1<
3 x 
1
x <1
\ufffd <' .
$SUHVHQWDUHPRV\ufffdDJRUD\ufffdD\ufffdGHÀQLomR\ufffdIRUPDO\ufffdGH\ufffdOLPLWH\ufffdGH\ufffdXPD\ufffdIXQomR\ufffd
Seja I um intervalo qualquer, a D I e f (x) uma função 
GHÀQLGD\ufffdQR\ufffdLQWHUYDOR\ufffd,\ufffd\ufffd\ufffdH[FHWR\ufffdHYHQWXDOPHQWH\ufffdHP\ufffdD\ufffd\ufffd\ufffd'L]\ufffdVH\ufffd
que o limite de f (x) quando x tende a a éL , e escreve-se 
lim
xAa
f (x) \ufffd L, se para todo ¡ (epslon), ¡ \ufffd 0 , existe um b
(delta), b \ufffd 0 , tal que 
f (x) < L \ufffd ¡ sempre que0 \ufffd x < a \ufffd b .
Teoremas sobre limites de funções
Teorema 4.1 Unicidade do limite:
Se lim
xAa
f (x) \ufffd L e lim
xAa
f (x) \ufffdM entãoL \ufffdM .
Teorema 4.2 Se f (x) \ufffd k para todo x real, então 
para qualquer número real a , tem-se 
lim
xAa
f (x) \ufffd lim
xAa
k \ufffd k .
$\ufffdSDUWLU\ufffdGH\ufffdDJRUD\ufffdYRFr\ufffd
YDL\ufffdFRQKHFHU\ufffd\ufffdVHP\ufffd
demonstração, os teoremas 
sobre limites de funções e 
suas aplicações na resolução 
de problemas. Estes 
WHRUHPDV\ufffdGHVHPSHQKDUmR\ufffd
um papel importante em 
todo o nosso curso. 
Curso de Graduação em Administração a Distância
174
Exemplo 4.17 Considere f (x) \ufffd 4 e a \ufffd 2 então lim
xA2
f (x) \ufffd lim
xA2
4 \ufffd 4.
Ou seja, o limite de uma constante é a própria constante.
Teorema 4.3 Se lim
xAa
f (x) \ufffd L e lim
xAa
g(x) \ufffdM , então,
a) lim
xAa
f (x) ( g(x)\ufffd 	 \ufffd lim
xAa
f (x) ( lim
xAa
g(x) \ufffd L ( M .
b) Para qualquer número real k , tem-se 
lim
xAa
k = f (x)\ufffd 	 \ufffd k = lim
xAa
f (x) \ufffd k = L .
c) lim
xAa
f (x) = g(x)\ufffd 	 \ufffd lim
xAa
f (x) = lim
xAa
g(x) \ufffd L =M .
d) lim
xAa
f (x)
g(x)
\ufffd
lim
xAa
f (x)
lim
xAa
g(x)
\ufffd L
M
se M & 0.
e) lim
xAa
f (x)\ufffd 	n \ufffd lim
xAa
f (x)\ufffd 	n \ufffd Ln .
Teorema 4.4 Se lim
xAa
f (x) \ufffd b e lim
yAb
g(y) \ufffd L , comL \ufffd g(b) , então 
lim
xAa
g f (x)\ufffd 	 \ufffd g lim
xAa
f (x)\ufffd 	 .
Observação Pelo Teorema 4.3(e) podemos concluir
lim
xAa
xn \ufffd lim
xAa
x\ufffd 	n \ufffd an .
Por exemplo, 
lim
xA2
x3 \ufffd lim
xA2
x\ufffd 	3 \ufffd 23 \ufffd 8 .
Teorema 4.5 Sejamb D°, b & 1, b \ufffd 0 e n D\u2022 . Se lim
xAa
f (x) \ufffd L ,
então
a) lim
xAa
b f (x ) \ufffd b
lim
xAa
f (x )
\ufffd bL .
b) lim
xAa
logb f (x)\ufffd 	 \ufffd logb limxAa f (x)\ufffd 	 \ufffd logb L, para L > 0 .
c) lim
xAa
f (x)n \ufffd lim
xAa
f (x)n \ufffd Ln , para todo n se L * 0 e só 
para n ímpar se L \ufffd 0
Módulo 2
175
Observação Seja p(x) \ufffd bn xn 
 bn-1 xn-1 
 ...
 b1 x 
 b0 , um polinômio 
qualquer, pelo teorema 4.3(a) e (b) e pela observação 4.1, temos
 
lim
xAa
p(x) \ufffd lim
xAa
bnx
n 
 bn-1x
n-1 
 ...
 b
1
x 
 b
0\ufffd 	
\ufffd lim
xAa
bnx
n 
 lim
xAa
bn-1x
n-1 
 ...
 lim
xAa
b
1
x 
 lim
xAa
b
0
= bn limxAa
xn 
 bn<1 limxAa x
n<1 
 ...
 b
1
lim
xAa
x 
 lim
xAa
b
0
= p(a).
Logo, 
lim
xAa
p(x) \ufffd p(a) .
Por exemplo,
(i) 
lim
xA2
2x2 < 7x 
 4\ufffd 	 \ufffd 2 = 22 < 7 = 2 
 4 \ufffd 2 = 4 < 7 = 2 
 4 \ufffd 8 <14 
 4 \ufffd 18.
(ii)
lim
xA1
x5 < 3x4 
 2 x3 
 2\ufffd 	 \ufffd 15 < 3=14 
 2 =13 
 2 \ufffd 1< 3
 2 
 2 \ufffd 2.
Vejamos agora alguns exemplos resolvidos.
Exemplo 4.18 Calcular 
lim
xA1
x2 
 7x < 2
3x < 5
.
Resolução: Aplicando o Teorema 4.3(a), (b) e (d), obtemos
lim
xA1
x2 
 7x < 2
3x < 5
\ufffd
lim
xA1
x2 
 7x < 2\ufffd 	
lim
xA1
3x < 5\ufffd 	
\ufffd
lim
xA1
x2 
 lim
xA1
7x < lim2
xA1
lim
xA1
3x < lim
xA1
5
\ufffd
lim
xA1
x2 
 lim
xA1
7 = lim
xA1
x < lim
xA1
2
lim
xA1
3= lim
xA1
x < lim
xA1
5
Curso de Graduação em Administração a Distância
176
\ufffd 1
2 
 7 =1< 2
3=1< 5
\ufffd 6
<2
\ufffd <3 .
Portanto, 
lim
xA1
x2 
 7x < 2
3x < 5
\ufffd <3 .
Exemplo 4.19 Calcular 
lim
xA0
(x <1)10 = (x 
 5)•– —˜ .
Resolução:\ufffd,QLFLDOPHQWH\ufffdYRFr\ufffdDSOLFD\ufffdR\ufffd7HRUHPD\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffdF\ufffd\ufffdR\ufffd7HRUHPD\ufffd
4.3(e), vem 
lim
xA0
(x <1)10 = (x 
 5)•– —˜ \ufffd limxA0(x <1)
10 = lim
xA0
(x 
 5)
\ufffd lim
xA0
(x <1)\ufffd 	10 = limxA0(x 
 5)
= 0 <1\ufffd 	10 = 0 
 5\ufffd 	 \ufffd <1\ufffd 	10 = 5 \ufffd 1= 5 \ufffd 5 .
Portanto, 
lim
xA0
(x <1)10 = (x 
 5)•– —˜= 5.
9DPRV\ufffdYHULÀFDU\ufffdDJRUD\ufffdVH\ufffdYRFr\ufffd
compreendeu os teoremas 
VREUH\ufffdOLPLWHV\ufffd\ufffd3DUD\ufffdXPD\ufffdPHOKRU\ufffd
compreensão, resolva os 
H[HUFtFLRV\ufffdD\ufffdVHJXLU\ufffd\ufffd&DVR\ufffdWHQKD\ufffd
dúvidas procure auxílio junto 
DR\ufffd6LVWHPD\ufffdGH\ufffd$FRPSQKDPHQWR\ufffd
Módulo 2
177
Exercícios propostos \u2013 2
%\ufffd Calcular os seguintes limites:
1) lim
xA27
x3 <1
x < 2
.
2) lim
xA2
2x3 <10x2 
 8x 
1
x2 < 5x < 6
.
3) lim
xA<1
3(x
3 
3 x 
 2)
.
4) lim
xA
1
2
2x < 3
6x 
 5
.
5 lim
xA1
2x
<3x 
 5
.
Limites laterais
Na subseção anterior analisamos o comportamento de uma função 
f (x) , quando x se aproxima de um número real a e quando x assume 
valores (positivos ou negativos) de valor absoluto muito grande. O nosso 
objetivo agora é estudar os casos quando x tende para a pela direita, 
xA a e x \ufffd a ou quando x tende para a pela esquerda, xA a e x \ufffd a
H\ufffdFRP\ufffdLVWR\ufffdLGHQWLÀFDU\ufffdD\ufffdH[LVWrQFLD\ufffdGH\ufffdOLPLWH\ufffdGH\ufffdXPD\ufffdIXQomR\ufffdDWUDYpV\ufffdGRV\ufffd
OLPLWHV\ufffdODWHUDLV\ufffd\ufffdH\ufffdHVERoDU\ufffdR\ufffdJUiÀFR\ufffdGH\ufffdXPD\ufffdIXQomR\ufffdXVDQGR\ufffdOLPLWHV\ufffdODWHUDLV\ufffd\ufffd
3DUD\ufffdLVWR\ufffdYHMDPRV\ufffdDV\ufffdVHJXLQWHV\ufffdGHÀQLo}HV\ufffd
Os resultados desta seção serão 
LPSRUWDQWHV\ufffdSDUD\ufffdWRGD\ufffdD\ufffdVHTrQFLD\ufffd
de nosso curso. Por isso, só passe 
para a próxima seção quando 
tiver resolvido os exercícios 
SURSRVWRV\ufffdDFLPD\ufffd\ufffd6H\ufffdYRFr\ufffdDLQGD\ufffd
tem alguma dúvida, releia a seção 
e depois retorne aos exercícios. 
Este procedimento pode ser 
bastante útil.
Curso de Graduação em Administração a Distância
178
Limite à esquerda
Se f (x) tende para L
1
 quando x tende para a através de 
valores menores que a diz-se que L
1
 é o limite de f (x)
quando x tende para a pela esquerda e indica-se por
lim
xAa<
f (x) \ufffd L
1
.
Limite à direita
Se f (x) tende para L
2
 quando x tende para a através 
de valores maiores que a diz-se que L
2
 é o limite de f (x)
quando x tende para a pela direita e indica-se por
lim
xAa
f (x) \ufffd L
2
.
9DPRV\ufffdYHU\ufffdDJRUD\ufffdDOJXQV\ufffdH[HPSORV\ufffd\ufffdDSOLFDQGR\ufffdDV\ufffdGHÀQLo}HV\ufffdDFLPD\ufffd
Exemplo 4.20 6HMD\ufffdD\ufffdIXQomR\ufffdI\ufffdGHÀQLGD\ufffdSRU\ufffd
f (x) \ufffd
x2 
1, se x \ufffd 1
4, se x \ufffd 1
4 < x, se x \ufffd 1
¨
©
«
ª
«
.
Determinar: 
a) lim
xA1<
f (x) ;
b) b) lim
xA1
f (x) ;
c) (VERFH\ufffdR\ufffdJUiÀFR\ufffdGH f (x) .
Resolução:\ufffd3HOD\ufffdGHÀQLomR\ufffdGH\ufffdOLPLWH\ufffdj\ufffdHVTXHUGD\ufffd\ufffdYRFr\ufffdUHVSRQGH\ufffdD\ufffdOHWUD\ufffda).
Observe que a função f (x)HVWi\ufffdGHÀQLGD\ufffdSRU\ufffd f (x) \ufffd x2 
1 se x \ufffd 1.
Logo,
lim
xA1<
f (x)