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```\ufffd lim
xA1<
(x2
1) \ufffd 12
1\ufffd 2.
Módulo 2
179
Assim,
lim
xA1<
f (x) \ufffd 2 .
\$JRUD\ufffd\ufffdSHOD\ufffdGHÀQLomR\ufffdGH\ufffdOLPLWH\ufffdj\ufffdGLUHLWD\ufffdYRFr\ufffdUHVSRQGH\ufffdD\ufffdOHWUD\ufffdb). Ob-
serve que a função f (x) \ufffdHVWi\ufffdGHÀQLGD\ufffdSRU f (x) \ufffd 4 < x se x \ufffd 1.
Logo,
lim
xA1
f (x) \ufffd lim
xA1
(4 < x) \ufffd 4 <1\ufffd 3.
Assim,
lim
xA1
f (x) \ufffd 3.
c) Note que f (1) \ufffd 4 . Com estas informações, de que f (1) \ufffd 4 ,
lim
xA1<
f (x) \ufffd 2 e lim
xA1
f (x) \ufffd 3\ufffd\ufffdYRFr\ufffdFRQVHJXH\ufffdSHUFHEHU\ufffdFRPR\ufffd f (x)
se comporta quando x HVWi\ufffdSUy[LPR\ufffdGH\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd3DUD\ufffdHVERoDU\ufffdR\ufffdJUiÀFR\ufffd
de f (x) \ufffd\ufffdGr\ufffdYDORUHV\ufffdSDUDx , x \ufffd 1 e calcule os valores de f (x)
correspondentes através da expressãox2
1\ufffd\ufffdGr\ufffdYDORUHV\ufffdSDUD\ufffdx \ufffd 1
e calcule os valores de f (x) correspondentes através da expressão
4 < x \ufffdH\ufffdYHMD\ufffdR\ufffdJUiÀFR\ufffdGH\ufffd f (x) , abaixo.
y
x0 1 4
2
3
4
Figura 4.2
Exemplo 4.21 Considere a função
f (x) \ufffd x
2 <1, se x ) <2
2x
7, se x \ufffd <2
¨
ª«
.
Determine:
a) lim
xA<2<
f (x) ;
b) lim
xA<2
f (x) ;
180
F\ufffd\ufffd (VERoDU\ufffdR\ufffdJUiÀFR\ufffdGH f (x) .
Resolução:\ufffd3HOD\ufffdGHÀQLomR\ufffdGH\ufffdOLPLWH\ufffdj\ufffdHVTXHUGD\ufffd\ufffdYDPRV\ufffdUHVROYHU\ufffdOHWUD\ufffd
a\ufffd\ufffd\ufffd2EVHUYH\ufffdFRPR\ufffdHVWi\ufffdGHÀQLGD\ufffdD\ufffdIXQomR\ufffdDFLPD\ufffdSDUD\ufffdYDORUHV\ufffdGH\ufffdx
à esquerda de<2 , ou seja, parax ) <2 .
Assim,
f (x) \ufffd x2 <1 se x ) <2
e
lim
xA<2<
f (x) \ufffd lim
xA<2<
(x2 <1) \ufffd (<2)2 <1\ufffd 4 <1\ufffd 3
Logo,
lim
xA<2<
f (x) \ufffd 3.
3HOD\ufffdGHÀQLomR\ufffdGH\ufffdOLPLWH\ufffdj\ufffdGLUHLWD\ufffd\ufffdYDPRV\ufffdUHVROYHU\ufffdD\ufffdOHWUD\ufffdb). Para
valores de x à direita de<2 , a função f (x) \ufffd HVWi\ufffd GHÀQLGD\ufffd SRU\ufffd
f (x) \ufffd 2x
7 se x \ufffd <2 e
lim
xA<2
f (x) \ufffd lim
xA<2
(2 x
7) \ufffd 2 = (<2)
7 \ufffd 3.
Logo,
lim
xA<2
f (x) \ufffd 3 .
Portanto,
lim
xA<2<
f (x) \ufffd lim
xA<2
f (x) \ufffd 3 .
c) Note que f (<2) \ufffd (<2)2 <1\ufffd 4 <1\ufffd 3 . Como f (<2) \ufffd 3 e
lim
xA<2<
f (x) \ufffd lim
xA<2
f (x) \ufffd 3 \ufffd\ufffd SDUD\ufffd HVERoDU\ufffdR\ufffdJUiÀFR\ufffdGH f (x) \ufffd\ufffd Gr\ufffd
valores parax , x ) <2 e calcule os valores de f (x) corresponden-
tes, através da expressãox2 <1\ufffd\ufffdGr\ufffdYDORUHV\ufffdSDUD\ufffd x \ufffd <2 e calcule os
valores de f (x) correspondentes, através da expressão 2x
7 e veja
R\ufffdJUiÀFR\ufffdGH\ufffd f (x) , abaixo:
Módulo 2
181
y
x0\u22122
3
Figura 4.3
Teorema de existência do limite
Sejam I um intervalo aberto, a um ponto deste intervalo e
\ufffdf : I <{a}A ° . Então existe
lim
xAa
f (x) \ufffd L lim
xAa
f (x) \ufffd lim
xAa<
f (x) \ufffd L .
Vejamos agora, alguns exemplos de aplicação do teorema de exis-
WrQFLD\ufffdGR\ufffdOLPLWH\ufffd
Exemplo 4.22 Considere a função
f (x) \ufffd
x2
1, se x \ufffd 2
1, se x \ufffd 2
x
3, se x \ufffd 2
¨
«
ª
«
.
Determine o lim
xA2
f (x) , VH\ufffdH[LVWLU\ufffd\ufffdH\ufffdHVERoH\ufffdR\ufffdJUiÀFR\ufffdGH f (x) .
Resolução: Para determinar o lim
xA2
f (x) , vamos calcular os limites
laterais de f (x) , ou seja, calcular lim
xA2<
f (x) e lim
xA2
f (x) . Para cal-
cular lim
xA2<
f (x) ,observe na função dada que f (x) \ufffdHVWi\ufffdGHÀQLGD\ufffd
por f (x) \ufffd x2
1 para valores de x menores que 2.
182
Assim,
lim
xA2<
f (x) \ufffd lim
xA2<
(x2
1) \ufffd 22
1\ufffd 5.
Para calcular lim
xA2
f (x) ,observe na função dada que f (x) está
GHÀQLGD\ufffdSRU\ufffd f (x) \ufffd x
3 para valores de x maiores que 2.
Assim,
lim
xA2
f (x) \ufffd lim
xA2
(x
3) \ufffd 2
3 \ufffd 5.
Como lim
xA2<
f (x) \ufffd 5 e lim
xA2
f (x) \ufffd 5 , pelo teorema acima temos
lim
xA2
f (x) \ufffd 5.
3DUD\ufffdHVERoDU\ufffdR\ufffdJUiÀFR\ufffdGD\ufffdIXQomR\ufffd f (x) \ufffdYRFr\ufffdXWLOL]D\ufffdR\ufffdPHVPR\ufffdSUR-
cedimento do exemplo anterior, conforme vemos abaixo:
y
x0 2
1
5
Figura 4.4
9DPRV\ufffdFRQIHULU\ufffdVH\ufffdYRFr\ufffd
HVWi\ufffdDFRPSDQKDQGR\ufffdWXGR\ufffd
até aqui? E para isto tente
resolver os exercícios
propostos a seguir. Caso
WHQKD\ufffdG~YLGDV\ufffd\ufffdEXVTXH\ufffd
esclarece-las antes de seguir
Módulo 2
183
Exercícios propostos \u2013 3
1) Seja f (x) \ufffd 7x < 2, se x * 2
x2 < 2x
1, se x \ufffd 2
¨
ª«
.
Calcular: lim
xA2
f (x) , lim
xA2<
f (x) e lim
xA2
f (x) .
2) Seja f (x) \ufffd
x
1, se x \ufffd 0
2, se x \ufffd 0
x
5, se x \ufffd 0
¨
«
ª
«
Calcular: lim
xA0
f (x) , lim
xA0<
f (x) e lim
xA0
f (x) .
3) Seja f (x) \ufffd x
1, se x \ufffd 2
x3
1, se x * 2
¨
«
ª«
Calcular: lim
xA2
f (x) , lim
xA2<
f (x) e lim
xA2
f (x) .
4) Seja f (x) \ufffdXPD\ufffdIXQomR\ufffdGHÀQLGD\ufffdSDUD\ufffdWRGR\ufffdQ~PHUR\ufffdUHDO\ufffdSRU\ufffd
f (x) \ufffd x
2 < 4x, se x ) <2
4 < k, se x \ufffd <2
¨
ª«
Determinar o valor da constante k para que exista lim
xA<2
f (x) .
5) Seja f (x) \ufffd x
2 < 6x
8, se x \ufffd 4
4 < x, se x ) 4
¨
ª«
Calcular: lim
xA4<
f (x) , lim
xA4
f (x) e lim
xA4
f (x) .
Da noção de limite lateral, de-
penderá, fundamentalmente, o entendi-
mento de continuidade de uma função,
2V\ufffdH[HUFtFLRV\ufffdGHVWD\ufffdVHomR\ufffdWrP\ufffdSRU\ufffdREMHWLYR\ufffd
FRQFHLWR\ufffdGD\ufffdH[LVWrQFLD\ufffdGR\ufffdOLPLWH\ufffdGH\ufffdXPD\ufffd
função. Para isto, é importante que
YRFr\ufffdWHQKD\ufffdUHVROYLGR\ufffdD\ufffdPDLRULD\ufffdGHOHV\ufffd\ufffd6H\ufffd
YRFr\ufffdVHQWLX\ufffdDOJXPD\ufffdGLÀFXOGDGH\ufffd\ufffdUHYHMD\ufffd
RV\ufffdH[HPSORV\ufffd\ufffdSRLV\ufffdHOHV\ufffdOKH\ufffdGDUmR\ufffdRV\ufffd
subsídios necessários para a resolução dos
problemas propostos.
184
Indeterminações
1D\ufffdVXEVHomR\ufffdDQWHULRU\ufffd\ufffdYRFr\ufffdHVWXGRX\ufffd/LPLWHV\ufffd/DWHUDLV\ufffd\ufffd1HVWD\ufffdVHomR\ufffd\ufffd
YDPRV\ufffdHQWHQGHU\ufffdPHOKRU\ufffdR\ufffdTXH\ufffdYHP\ufffdD\ufffdVHU\ufffd,QGHWHUPLQDomR\ufffd\ufffd1RVVR\ufffdREMHWLYR\ufffd
aqui é \u201clevantar\u201d uma indeterminação que é uma expressão sem sentido
que se obtém ao tentar calcular um limite. Por exemplo, usando erro-
neamente a letra d) do Teorema 4.3 para calcular lim
xAa
f (x)
g(x)
VH\ufffdFKHJD\ufffd
à expressão 0
0
TXH\ufffdQmR\ufffdSRVVXL\ufffdVLJQLÀFDGR\ufffd\ufffd1HVWH\ufffdSURFHVVR\ufffdXWLOL]DUHPRV\ufffd
alguns artifícios algébricos.
Até agora calculamos limites do quociente entre duas fun-
ções, aplicando o Teorema 4.3 letra d). Veja o exemplo 4.18 resolvido
( lim
xA1
x2
7x < 2
3x < 5
\ufffd <3 ). UWLOL]DQGR\ufffd HVWH\ufffd WHRUHPD\ufffd\ufffd YRFr\ufffd QRWRX\ufffd TXH\ufffd QmR\ufffd
KRXYH\ufffdQHQKXPD\ufffdGLÀFXOGDde para encontrar o valor do referido limite,
PDV\ufffdSRGHP\ufffdRFRUUHU\ufffdVLWXDo}HV\ufffdHP\ufffdTXH\ufffdYRFr\ufffdXVDQGR\ufffdHUURQHDPHQWH\ufffdD\ufffdOHWUD\ufffd
d) do Teorema 4.3, encontre 0
0
. Cuidado quando isto ocorrer. O limite
nunca é 0
0
, pois 0
0
não é número algum. Neste caso, o que fazer? É o
que veremos a seguir:
Consideremos f (x) e g(x) funções tais que lim
xA0
f (x) \ufffd 0 e
lim
xA0
g(x) \ufffd 0 . Em pr incípio, nada se pode af i rmar sobre o
lim
xA0
f (x)
g(x)
\ufffd
lim
xA0
f (x)
lim
xA0
g(x)
\ufffd 0
0
(com a aplicação indevida do Teorema 4.3
letra d).
Dependendo das funções f e g , o limite pode assumir qualquer
valor real ou não existir.
Diz-se que 0
0
é uma indeterminação, ou um símbolo de
indeterminação.
Módulo 2
185
3DUD\ufffdXP\ufffdPHOKRU\ufffdHQWHQGLPHQWR\ufffd\ufffdYHMDPRV\ufffdRV\ufffdH[HPSORV\ufffdDEDL[R\ufffd
Exemplo 4.23 Sejam f (x) \ufffd x4 e g(x) \ufffd x3. Calcular lim
xA0
f (x)
g(x)
.
Resolução: Tem-se
lim
xA0
f (x) \ufffd lim
xA0
x4 \ufffd 04 \ufffd 0
e
lim
xA0
g(x) \ufffd lim
xA0
x3 \ufffd 03 = 0
Mas,
lim
xA0
f (x)
g(x)
\ufffd lim
xA0
x4
x3
\ufffd lim
xA0
x \ufffd 0 .
Exemplo 4.24 Sejam f (x) \ufffd x3 e g(x) \ufffd 4x3. Calcular lim
xA0
f (x)
g(x)
.
Resolução:\ufffd9RFr\ufffdWHP\ufffd
lim
xA0
f (x) \ufffd lim
xA0
x3 \ufffd 03 \ufffd 0 e lim
xA0
g(x) \ufffd lim
xA0
4x3 \ufffd 4 = 03 \ufffd 0.
Neste caso,
lim
xA0
f (x)
g(x)
\ufffd lim
xA0
x3
4 x3
\ufffd lim
xA0
1
4
\ufffd 1
4
.
Exemplo 4.25 Calcular lim
xA1
x <1
x2 < 4x
3
.
Resolução: Quando x \ufffd 1temos a determinação 0
0
£
¤²
¥
¦´
. Neste caso,
x <1
x2 < 4x
3
\ufffd x <1
( x <1)(x < 3)
\ufffd 1
x < 3
.
Portanto,
lim
xA1
x <1
x2 < 4x
3
\ufffd lim
xA1
1
x < 3
\ufffd <2
Tentando calcular limites de funções aplicando os teoremas vistos,
YRFr\ufffdSRGH\ufffdFKHJDU\ufffdD\ufffdRXWUDV\ufffdH[SUHVV}HV\ufffd\ufffdFXMR\ufffdVLJQLÀFDGR\ufffdRX\ufffdYDORU\ufffd\ufffdQmR\ufffdp\ufffd
determinado. Ao todo são sete tipos de indeterminações:
186
Os tipos de indeterminações:
0
0
,
'
'
, 0.', ' < ', 00 , 1' e '0 .
Sempre que no cálculo de um limite você chegar a um des-
tes símbolos, deve buscar alguma alternativa para obter o
valor do limite usando artifícios algébricos. A este trabalho
dá-se o nome de levantamento de uma indeterminação. Este
processo também pode ser resolvido no capítulo Aplicações
de Derivada usando regra de L\u2019Hospital, que também trata
de limites funções com indeterminações. Recomendamos a
você uma releitura da seção 6.3, que trata dos limites.
Limites infinitos
&RQVLGHUHPRV\ufffdD\ufffdIXQomR\ufffdGHÀQLGD\ufffdSRU f (x) \ufffd 2
(x < 3)2
, para x & 3.
Queremos determinar os valores da função f (x) quando x está próximo
de 3. Para x se aproximando```