Representação de objetos em Geometria Plana e Espacial

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VISUALIZAÇÃO
“Como habitantes de um mundo tridimensional, temos grande facilidade para lidar com o mundo bidimensional 
da Geometria Plana. Modelos concretos para os objetos com que lidamos na Geometria Plana são fáceis de 
construir e manipular. As superfícies sobre as quais escrevemos ou desenhamos são excelentes modelos 
para o plano da Geometria e permitem representar com fidelidade retas, polígonos, círculos e demais figuras 
planas. Ou seja, podemos facilmente concretizar as noções abstratas da Geometria.
Quando passamos para o mundo tridimensional da Geometria Espacial passamos a enfrentar limitações de 
diversa ordem. Em primeiro lugar, pelo menos com a tecnologia atual, não dispomos de uma forma prática 
para representar com fidelidade objetos tridimensionais. Em geral, recorremos a projeções bidimensionais de 
tais objetos. Mas estas projeções distorcem ângulos, modificam comprimento de segmentos e não permitem 
distinguir pontos que estejam sobre a mesma linha de projeção.”
Paulo Cezar Pinto Carvalho
Representação (bidimensional) de Objetos (tridimensionais)
Quando olhamos para um objeto, temos a sensação de profundidade e relevo: as partes mais próximas de 
nós parecem maiores e as mais distantes parecem ser menores.
As fotografias mostram os objetos do mesmo modo como ele é visto pelo olho humano transmitindo uma idéia 
das três dimensões - largura, altura e profundidade.
Para que os desenhos - nossas representações - possam transmitir essa mesma idéia, é preciso recorrer a 
um modo especial de representação gráfica: a perspectiva, que representa graficamente as três dimensões 
de um objeto em um único plano, de maneira a, usando apenas as duas dimensões possíveis em um plano, 
transmitir, também, a idéia de profundidade.
Adota-se a perspectiva isométrica – isso = mesma; métrica = medida – pelo fato dela manter as mesmas 
proporções de largura, altura e profundidade do objeto representado.
Perspectiva Isométrica
O desenho dessa perspectiva é baseado num sistema de três semi-
retas que têm o mesmo ponto de origem formando entre si três 
ângulos de 120º.
O eixo x indica a profundidade do objeto; o eixo y, sua largura e o eixo 
z, sua altura.
Na representação isométrica, temos o sólido conforme mostra a figura ao 
lado, com o canto de observação localizado entre a frente e a direita do 
objeto.
A vista da frente é representada no eixo y (largura), a vista da direita é 
informada no eixo x (profundidade) e a altura tem sua representação no eixo 
z. 
Frente, direita, esquerda, costas são posições relativas; elas dependem do 
canto de observação, que é definido pelo observador ou previamente 
estabelecido em um exercício.
Um X (ou qualquer outra letra maiúscula) marca o canto a partir do qual a 
figura deve ser observada e desenhada. 
Plano de Cota
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O desenho em planos de cota é baseado em uma grade quadrangular, onde cada quadrado representa uma 
secção - um cubo - do objeto e os números indicam quantos cubos existem naquela secção.
Para a representação de objetos através do plano de cota, usa-se 
a disposição à esquerda: abaixo da figura, teremos a frente do 
objeto e, em seguida, localizamos a direita, a esquerda e as 
costas.
O canto de observação deve ser colocado entre a frente e a 
direita. Da mesma forma, uma vez dado o canto de observação, a 
direita ficará a direita do objeto e à esquerda, ficará a frente do 
objeto.
1. Trace os planos de cota dos objetos abaixo. Admita que não há cubos escondidos.
a) b) c) d)
2. Construa os objetos mostrados nos planos de cota e trace a vista isométrica do objeto a partir do canto 
indicado.
a) b) c) d)
3. Construa o objeto representado no plano de cota e desenhe-o isometricamente a partir dos cantos 
indicados.
4. Represente – no papel pontilhado isométrico – o sólido definido pelos pontos:
A(0, 0, 4); B(4, 0, 4); C(4, 4, 4); D(0, 4, 4); E(0, 0, 0); F(4, 0, 0); G(4, 4, 0); H(0, 4, 0).
Determine que sólido é esse e liste seus vértices, arestas e faces.
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Traçados Ortográficos
O traçado isométrico mostra as três dimensões dos objetos, mas pode “esconder” parte(s) dele. 
A vista ortográfica, ao contrário, nos permite montar as três dimensões do objeto e ter a noção completa 
dele.
Imagine um objeto dentro de um cubo de vidro.
Cada vista ortográfica – frontal, topo e lateral – é obtida projetando as faces do objeto num dos planos do 
cubo.
A vista frontal nos dá a largura e a altura do objeto; a vista superior, largura e profundidade e a vista lateral, 
profundidade e altura.
O traçado ortográfico “envolve” o sólido, tal qual ele está na 
projeção isométrica, por um cubo de vidro. 
Na hora de passar a projeção para o papel quadriculado, 
mantemos sempre a disposição: bem acima colocamos a 
vista de topo, logo abaixo dela, a vista frontal e à direita da 
vista frontal, a vista da lateral direita.
1. Assuma que não existem cubos escondidos e trace as vistas ortográficas e os planos de cota no papel 
quadriculado pontual. 
Atente para as posições indicadas nos desenhos e as convenções que adotamos.
2. Use o papel isométrico para reconstruir os objetos abaixo.
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O que significam as linhas tracejadas?
3. Trace as vistas ortográficas de cada um dos pontos indicados:
4. Analise as duas vistas ortográficas. Construa a vista ortográfica que está faltando e a vista isométrica:
Um pouco mais sobre Perspectiva Isométrica
Linhas Isométricas
Uma vez traçados os eixos, podemos identificar linhas isométricas 
e não isométricas.
Linhas isométricas são linhas paralelas ao eixos cartesianos, como 
as ao lado:
- r e s são paralelas ao eixo y;
- t é paralela ao eixo x;
- u é paralela ao eixo z.
Qualquer outra linha, com orientação diferente da orientação das 
retas dos eixos, é não isométrica, como, por exemplo, a linha v.
 
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Desenhando Policubos
O sólido mais simples que podemos desenhar na perspectiva isométrica é o cubo.
A união de dois ou mais cubos, chamamos de policubos. Com eles, podemos montar sólidos como, por 
exemplo, um prisma retangular reto (paralelepípedo retangular reto).
Quando observamos esse objeto, percebemos que ele pode ser 
representado de maneira a ter suas arestas todas desenhadas 
isometricamente, é só posicioná-lo convenientemente.
Para que a representação seja a mais fiel possível, podemos 
usar um papel isométrico de pontos, de modo a transferir suas 
medidas conservando suas grandezas. 
Acompanhe abaixo, um passo a passo para ajudar no desenho:
Marque os tamanhos nos 
eixos e depois una as 
marcas com linhas 
isométricas.
Comece pelos planos
xoy, xoz e zoy.
Trace as demais 
linhas isométricas 
que determinam o
 contorno do prisma.
Depois, você pode 
dispensar os eixos e 
pontilhar os limites 
que você não vê.
Um pouco mais sobre Traçado Ortográfico 
A projeção ortográfica é uma forma de representar 
graficamente objetos tridimensionais em superfícies planas, 
de modo a transmitir suas características com precisão e 
demonstrar sua verdadeira grandeza.
A projeção ortográfica mostra três diferentes pontos de vista 
do mesmo objeto observado.
Relacionando as três projeções, podemos identificar suas 
grandezas tridimensionais.
Acompanhe o que acontece quando "abrimos" o cubo abaixo:
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Existe correspondência entre as projeções isométrica e ortográfica, acompanhe abaixo:
As vistas superior, frontal e lateral direita nos permitem, a partir de uma representação bidimensional, 
conhecer as verdadeiras grandezas do objeto observado, analisando três planos de projeção.
Cada um desses planos, informa duas diferentes grandezas, por exemplo: o plano da vista superior mostra 
profundidade e largura, o plano da vista frontal informa largura ealtura e o plano lateral direito, profundidade e 
altura.
Dessa forma, a cada duas vistas, conseguimos “deduzir/completar” a 
terceira e o objeto como um todo.
Por exemplo, no traçado ortográfico ao lado, a vista superior nos 
informa que a profundidade do objeto é de 1 unidade e sua largura é 3 
unidades.
A vista frontal mostra a mesma largura de 3 u. e uma altura de 4 
unidades.
A vista lateral confirma a altura 4 u. e a profundidade de 1 unidade do 
objeto.
Observe, a seguir, plano por plano.
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Significados da Linhas (Perspectiva Ortográfica)
As linhas contínuas são usadas para representar arestas e contornos visíveis ao observador.
Observe o objeto à esquerda e admita que não 
existem cubos escondidos.
Sua representação ortográfica será somente de 
linhas contínuas, pois o observador, na posição em 
que está, enxerga todas as arestas e contornos do 
objeto:
As linhas tracejadas são usadas para representar arestas e contornos não visíveis ao observador.
O objeto à direita não possui cubos nem 
buracos escondidos.
A perspectiva isométrica representa a visão do 
observador e indica que ele não vê todas as 
arestas e contornos do sólido.
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Observe a projeção ortográfica desse sólido.
A linha tracejada na vista frontal indica um desnível não 
visível ao observador situado à frente do objeto. Mas nas 
outras vistas é possível identificar onde está situado esse 
desnível.
2. Observe as representações isométrica e ortográfica abaixo e descreva o sólido a partir das indicações dos 
desenhos – cite grandezas (largura, profundidade e altura) e os contornos e arestas visíveis e não visíveis.
3. Faça a representação ortográfica dos objetos abaixo:
	Linhas Isométricas