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MAT034 - A´lgebra - A - Problemas 1
Bhalchandra D. Thatte
Departamento de Matema´tica, UFMG
bhalchandra@mat.ufmg.br
August 23, 2013
Conjuntos e lo´gica
Sejam A e B conjuntos tais que |A| = n, |B| = m, m,n ∈ N.
1. Calcule |∅|.
2. Calcule |∅ × ∅|.
3. Calcule P(∅) := 2∅, onde no´s usamos a notac¸a˜o P(S) ou 2S para o conjunto dos subcon-
juntos de S ou conjunto das partes de S (powerset em ingleˆs)).
4. Calcule |2∅|, |2A|.
5. Calcule {f : ∅ → ∅}.
6. Calcule {f : ∅ → ∅ | f e´ bijec¸a˜o}.
7. Calcule |{f : A→ B}|.
8. Qual e´ o valor de 0!?
9. Qual e´ o valor de 00?
10. Qual e´ o conjunto D0 de permutac¸o˜es cao´ticas de ∅?
11. Qual e´ a cardinalidade de D0?
12. Qual e´ o conjunto de partic¸o˜es de ∅?
13. Qual e´ o valor de B0? (Usamos a notac¸a˜o Bn, n ∈ N para o nu´mero de Bell, isso e´, o
nu´mero de partic¸o˜es de um conjunto de cardinalidade n.)
14. Sejam I = ∅ e U o conjunto universo. Prove que ∪i∈IAi = ∅ e ∩i∈IAi = U . Quais sa˜o os
valores de
∑
i∈I ai,
∏
i∈I ai, e 2
(
∑
i∈I ai)?
1
15. Fac¸a a negac¸a˜o de
(∀� ∈ R, � > 0) (∃δ ∈ R, δ > 0) (∀n ∈ N, n > δ) (|an − a| < �).
Fac¸a a negac¸a˜o de a negac¸a˜o. Escreva a afirmac¸a˜o acima e a sua negac¸a˜o em portugueˆs.
Construa um exemplo de sequencia an tal que a afirmac¸a˜o acima e´ verdadeira e deˆ um
exemplo de sequencia an tal que a afirmac¸a˜o acima na˜o e´ verdadeira.
16. Sejam an, n = 1, 2, . . . uma sequencia em R e a ∈ R. Justifique se as proposic¸o˜es seguintes
sa˜o verdadeiras ou falsas em geral:
(∀� ∈ R, � > 0) (∃δ ∈ R, δ > 0) (∀n ∈ N, n > δ) (|an − a| < �)
=⇒ (∃δ ∈ R, δ > 0) (∀� ∈ R, � > 0) (∀n ∈ N, n > δ) (|an − a| < �)
e
(∃δ ∈ R, δ > 0) (∀� ∈ R, � > 0) (∀n ∈ N, n > δ) (|an − a| < �)
=⇒ (∀� ∈ R, � > 0) (∃δ ∈ R, δ > 0) (∀n ∈ N, n > δ) (|an − a| < �)
17. Fac¸a converso, negac¸a˜o e contrapositivo da afirmac¸a˜o: Para cada inteiro positivo n, se
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n−1 e´ primo enta˜o n e´ primo. Escreva todas essas afirmac¸o˜es em s´ımbolos (e.g., ∀, ∃, N,
e P para o conjunto dos primos) e em portugueˆs.
Coeficiente binomial
1. Prove a identidade de Pascal
(
n+1
k
)
=
(
n
k
)
+
(
n
k−1
)
, 0 ≤ k ≤ n sem usando a formula para
o coeficiente binomial. (Assuma que
(
n
k
)
= 0 quando n < k ou k < 0.)
2. Prove a formula (
n
k
)
=
n!
(n− k)!k! , 0 ≤ k ≤ n
usando a identidade de Pascal e o me´todo de induc¸a˜o na varia´vel n+ k.
3. Qual e´ o nu´mero de soluc¸o˜es da equac¸a˜o x1+x2+· · ·+xk = n, 0 < k ≤ n, tal que ∀i xi > 0.
4. Prove teorema binomial
(a+ b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk, n ≥ 0
usando a identidade de Pascal e o me´todo de induc¸a˜o (e na˜o usando a formula para
coeficiente binomial).
5. Prove que
n∑
k=0
(
n
k
)
= 2n
em duas maneiras: usando o teorema binomial e pela enumerac¸a˜o.
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