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MAT034 - A´lgebra - A - Problemas 1
Bhalchandra D. Thatte
Departamento de Matema´tica, UFMG
bhalchandra@mat.ufmg.br
August 30, 2013
Divisibilidade
1. Seja p um nu´mero primo. Prove que
√
p e´ irracional.
2. Prove que
√
6 e´ irracional.
3. Prove que para cada a ∈ Z, a2 e´ da forma 3k ou 3k + 1.
4. Prove que para cada a ∈ Z, a3 e´ da forma 9k ou 9k + 1 ou 9k + 8.
5. Prove que para cada a ∈ Z, a4 e´ da forma 5k ou 5k + 1.
6. Prove que 3a2−1 nunca e´ um inteiro quadrado. (Na˜o existe a, b ∈ Z tais que 3a2−1 = b2).
7. Seja n ≥ 1. Prove que n(n + 1)(2n + 1)/6 e´ inteiro. Nesta afirmac¸a˜o, n ≥ 1 e´ necessa´rio?
8. Prove que o cubo de qualquer inteiro e´ da forma 7k ou 7k + 1 ou 7k − 1.
9. Sejam a, b ∈ Z e b 6= 0. Usando o algoritmo de divisa˜o, mostre que existe inteiros u´nicos q
e r tais que a = bq + r, onde −|b|/2 < r ≤ |b|/2.
10. Prove que na˜o existe inteiro quadrado que e´ da forma 11, 111, 1111, . . ..
Ma´ximo Divisor Comum
1. Construa um exemplo de nu´meros a, b, c ∈ N tal que a 6= b 6= c, mdc(a, b) 6= mdc(b, c) 6=
mdc(a, c), e mdc(a, b, c) = 6.
2. Construa um exemplo de nu´meros a, b ∈ N que precisa 6 diviso˜es no algoritmo de Euclid
para computar mdc(a, b).
3. Sejam a, b ∈ Z, a 6= 0 ou b 6= 0. Mostre as afirmac¸o˜es seguintes.
(a) Existem x, y ∈ Z tais que mdc(a, b) = ax + by.
(b) S := {ax + by | x, y ∈ Z} e´ o conjunto de todos mu´ltiplos de mdc(a, b), e o nu´mero
mı´nimo positivo no conjunto S e´ mdc(a, b).
1
(c) Se (a | c) e (b | c) e (mdc(a, b) = 1), enta˜o ab | c.
4. Prove que para cada n ∈ Z, mdc(2n+ 1, 9n+ 4) = mdc(5n+ 2, 7n+ 3) = 1, e quando n na˜o
e´ par, mdc(2n + 3, 4n + 5) = 1.
5. Prove que 12 e´ um divisor de a2 + (a + 2)2 + (a + 4)2 + 1 para cada a que na˜o e´ par.
6. Prove que para cada n ≥ 0, (3n)!/(3!)n e´ inteiro.
7. Prove que para cada k ∈ Z, k(k + 1)(k + 2) e´ divis´ıvel por 6, k(k + 1)(k + 2)(k + 3) e´
divis´ıvel por 24, e k(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) e´ divis´ıvel por 120.
8. Prove que se d | n, enta˜o 2d − 1 | 2n − 1. Enta˜o prove que 31 | 235 − 1 e 127 | 235 − 1.
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