Lista 6 - Prob e Est

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL – UFRGS
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Lista 6 – TESTE DE HIPÓTESES
Prof: Danilo Marcondes Filho
TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA MÉDIA 
1) O número de peças produzidas por operários de uma fábrica é normalmente distribuído com média de 259 peças e desvio padrão de 85 peças. Com o objetivo de aumentar a produção, um método de estímulo está sendo estudado. Uma amostra de 25 operários é selecionada aleatoriamente e, após ser aplicado o estímulo, é verificado que o número médio de peças produzidas nesta amostra é de 290 peças. A orientação do dono da fábrica é de que o método de estímulo deve ser implementado na fábrica se a média de peças produzidas for maior que a atual com significância de 5%. Aplique o teste de hipótese adequado.
2) A tensão de ruptura dos cabos produzidos tem distribuição normal com média de 1800 Kg e desvio padrão de 100 Kg. Na busca de um aumento da resistência desses cabos, um novo processo produtivo foi testado. Para tanto, 16 cabos testados apresentaram tensão média de ruptura de 1850 Kg. Aplique o teste adequado e conclua se há evidência de melhorias a 1%.
3) O salário médio dos empregados das indústrias siderúrgicas é de 2,5 salários mínimos, com desvio padrão de 0,5 salários. Se uma firma particular emprega 49 empregados com um salário médio de 2,3 salários mínimos, podemos afirmar que essa indústria paga salários inferiores, ao nível de 5% de significância?
4) Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica apresenta-se abaixo de 23 mg por cigarro. Um laboratório realiza 6 análises desse índice, obtendo: 27, 24, 21, 25, 26 e 22. Sabe-se que o índice de nicotina se distribui normalmente, com desvio padrão igual a 2,21 mg. Pode-se aceitar, no nível de 10%, a afirmação do fabricante?
5) Uma escola possui cadeiras da marca A em suas salas de aula. A escola sabe que o tempo médio de duração destas cadeiras é de 5 anos. Um representante de cadeiras da marca B oferece seu produto para a escola afirmando que suas cadeiras possuem tempo médio de duração superior ao da marca A, e que ele vende suas cadeiras pelo mesmo preço da marca A. A escola diz que troca de fornecedor se puder acreditar na afirmação do representante da marca B com 5% de significância. Em uma amostra de 100 cadeiras da marca B é verificado um tempo médio de 5,5 anos com desvio padrão de 1,2 anos. Faça o teste adequado e conclua a respeito. 
6) Faça o teste adequado para verificar se o conteúdo médio de leite em caixa de uma determinada marca é realmente de 1 litro, com base em uma amostra de 60 caixas de leite desta marca que apresentou uma média de 0,96 litros com desvio padrão de 0,04 litros.
7) Uma amostra aleatória de 100 componentes apresentou uma média de 71,8 dias de duração com um desvio padrão de 8,9 dias. Pode-se dizer a 1% que a vida média desses componentes é superior a 70 dias?
8) Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, selecionaremos uma amostra de 100 moradores da ilha, determinaremos a altura média deles, e se esse valor for superior a 176, diremos que são descendentes de B, caso contrário, de A. Sabe-se que XA~N(175, 10) e XB~N(177, 10). Admita que Ho é ser descendente de A.
	
	a) Qual a probabilidade do erro tipo I? E do erro tipo II?
	b) Qual deve ser a regra de decisão se quisermos fixar a probabilidade de erro do tipo I em 5%? Qual a probabilidade do erro tipo II, neste caso?
	c) Se σA=5, como ficariam as respostas de (b)?
	d) Quais as probabilidades de erro tipo II, nas condições da questão (b), se a média μB=178? E μB=180? E μB=181? Coloque num gráfico os pares (μB, β(μB)).
	e) Para os mesmos valores de μB da questão (d), coloque no gráfico os valores de π(μB).
	
9) Suponha que queiramos testar H0: μ=50 contra H1: μ>50, onde μ é a média de uma normal N(μ,30). Extraída uma amostra de n=36 elementos da população, obtemos média igual a 52. Calcule a probabilidade de significância ( do teste.
10) Estamos desconfiados de que a média das receitas municipais per capita das cidades pequenas é maior do que a da receita do estado, que é de 1229 unidades. Para comprovar ou não essa hipótese, sorteamos dez cidades pequenas e obtivemos os seguintes resultados: 1230, 582, 576, 2093, 2621, 1045, 1439, 717, 1838 e 1539. Sabendo que a soma das observações é 13500 e que a soma dos quadrados das observações é 22335650, faça o teste adequado a 5% e conclua a respeito.
TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA PROPORÇÃO
11) Um fabricante afirma que pelo menos 95% das peças que fornece estão dentro das especificações. Uma amostra de 200 peças revelou 15 fora das especificações. Faça o teste adequado a 5% e conclua a respeito.
12) Uma estação de televisão afirma que 60% dos telespectadores estavam ligados no seu programa especial da última segunda-feira. Uma rede competidora deseja contestar essa a firmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste (onde 104 declararam ter assistido o programa). Faça o teste adequado usando (=1% e conclua a respeito.
13) Os produtores de um programa de TV pretendem modificá-lo se for assistido regularmente por menos de um quarto dos possuidores de televisores. Uma pesquisa encomendada a uma empresa especializada mostrou que, de 400 famílias entrevistadas, 80 assistem ao programa regularmente. Com base nos dados, qual deve ser a decisão dos produtores?
14) Uma pesquisa revelou que no ano passado apenas 20% dos empregados de uma indústria aprovaram a qualidade das refeições servidas em seu refeitório. Após uma série de medidas corretivas realiza-se uma nova pesquisa para verificar se a taxa de aprovação foi alterada. Uma amostra de 36 empregados foi selecionada aleatoriamente e verificado que dentre eles, 9 aprovam as refeições. Realize o teste adequado utilizando (=1%. 
15) Um psiquiatra afirma acredita que mais da metade dos usuários de soporíferos dormem melhor devido a efeito psicológico do que efeito do remédio. Para comprovar sua hipótese, selecionou uma amostra aleatória de 40 pessoas que sofrem de insônia e deu a cada uma delas uma caixa de pílulas. Essas pílulas, embora com o mesmo formato das de soporífero eram de substâncias inócuas (sem efeito químico). Nesta amostra, 30 pessoas disseram ter dormido melhor depois de terem tomado as pílulas. Usando (=1%, poderíamos dizer que a opinião do psiquiatra é razoável? 
16) Acredita-se que a probabilidade de um alimento acondicionado pelo método “a” durar mais do que 3 meses é de no máximo 20%. Uma amostra de 40 unidades foi analisada e 9 estragaram após 3 meses. Faça o teste adequado a 5% e conclua a respeito. 
TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA VARIÂNCIA
17) Observou-se a produção mensal de uma indústria durante vários anos, verificando-se que ela obedecia uma distribuição normal, com variância 300. Foi adotada uma nova técnica de produção e, durante 24 meses, observou-se a produção mensal. Após esse período, constatou-se que 
= 10000 e s2= 400. Há razões para acreditar que a variância mudou, ao nível de 20%?
18) Numa linha de produção, é muito importante que o tempo gasto para uma determinada operação não varie muito de empregado para empregado. É desejado que a variância seja inferior a 120. Se 11 empregados apresentam os tempos abaixo para realizar essa operação, use (=5% e conclua a respeito.
	 x: 125, 125, 135, 145, 115, 125, 120, 140, 150, 130 e 130.
TESTE DE HIPÓTESES PARA A RAZÃO DE DUAS VARIÂNCIAS
19) Deseja-se comparar a qualidade de um produto produzido por duas fábricas. Essa qualidade será definida pela uniformidade com que o produto é produzido em cada fábrica. Tomaram-se duas amostras, uma de cada fábrica, medindo-se o comprimento dos produtos. A qualidade das duas fábricas é a mesma? Caso a resposta seja negativa, dê um intervalo de confiança para indicar a intensidadedesta desigualdade.
		
		
	Estatísticas
	Fábrica A
	Fábrica B
	Amostra
	21
	17
	Média
	21,15
	21,12
	Variância
	0,0412
	0,1734
TESTE DE HIPÓTESES PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS
	(Amostras Independentes)
20) Uma amostra de durabilidade de 20 peças do fabricante A acusou média de 100 horas e desvio padrão de 10 horas. Já a amostra de 15 peças do fabricante B acusou média de 59 horas e desvio padrão de 9 horas. Faça o teste adequado a 5% e conclua.
 
21) Os dados abaixo referem-se ao grau de umidade em tijolos sorteados de dois lotes, estocados segundo procedimentos diferentes. Verifique a 1% se os sistemas de estocagem diferem entre si quanto à retenção de umidade.
	
 Sistema A: 5 1 3 4 2 
	Sistema B:	 5 8 9 7 6
22) Numa mesma semana (de 5 dias) o rendimento de duas máquinas foi verificado. A máquina A produziu em média 100 peças por dia com desvio padrão de 11 peças. Já a máquina B produziu em média 110 peças com desvio de 9 peças. O que se pode concluir? 
23) Duas amostras de 12 corpos de prova (cada uma com um tipo de resina: isoftálica e ortoftálica) foram analisadas e a resistência à compressão e a absorção de água foram medidas. A partir dos resultados mostrados na tabela abaixo, o que se pode concluir a 5%?
	Resistência
	média
	dp
	iso
	86,4
	9,68
	orto
	85,27
	9,00
	% de água
	média
	dp
	iso
	0,17
	0,11
	orto
	0,25
	0,125
24) Num estudo comparativo do tempo médio de adaptação, uma amostra aleatória, de 50 homens e 50 mulheres de um complexo industrial, produziu os seguintes resultados:
		
	Estatísticas
	Fábrica A
	Fábrica B
	Médias
	3,2 anos
	3,7 anos
	DPs
	0,8 anos
	0,9 anos
	Que conclusões poderiam ser tiradas para a população de homens e mulheres dessa indústria? Use (=5%.
25) Diversas políticas em relação às filiais de uma rede de supermercados estão associadas ao gasto médio dos clientes em cada compra. Deseja-se comparar esse parâmetro para duas novas filiais, por meio de amostras de 40 clientes cada. As médias obtidas foram 62 e 71, e os desvios de 16 e 25, respectivamente. É possível afirmar que o gasto médio nas duas filiais seja o mesmo? Use (=5%.
26) Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recém-formados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de liberais em geral e outro de formados em Administração de Empresas. Com os resultados abaixo, expressos em salários mínimos, quais seriam as conclusões? Use (=1%.
	Liberais
	6,6
	10,3
	10,8
	12,9
	9,2
	12,3
	7,0
	10,0
	Adminis
	8,1
	9,8
	8,7
	10,0
	10,2
	8,2
	8,7
	10,1
TESTE DE HIPÓTESES PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS
(Amostas dependentes ou pareadas)
27) Uma empresa deseja estudar o efeito de uma pausa de dez minutos para um cafezinho sobre a produtividade dos seus trabalhadores. Para isso, sorteou seis operários, e contou o número de peças produzidas durante uma semana á sem intervalo e uma semana com intervalo. Os resultados sugerem que há ou não melhora na produtividade? Caso haja melhora, qual deve ser o acréscimo médio de produção para todos os trabalhadores da fábrica? Use (=5%. 
	sem
	23
	24
	26
	24
	22
	24
	com
	26
	28
	32
	29
	27
	27
28) Deseja-se estudar o efeito de uma dieta alimentar sobre o aumento do peso corporal em cobaias adultas. Para tanto, foram amostrados 9 cobaias e seus pesos antes e três meses depois da administração da dieta foram determinados. Com os dados abaixo compare os resultados a 5%.
	Antes: 54 61 50 74 79 58 55 49 63
	Depois: 57 66 53 73 82 58 56 53 63
29) Um método de acondicionamento de peixes está sendo testado. Deseja-se verificar se entre dois momentos existe alteração no ph dos peixes. Uma amostra de 10 embalados foi verificada e o ph foi obtido no final da primeira semana e no final da segunda semana. Conclua a 1%.
Semana 1: 3 2 3 4 2 2,5 3 4 2 3,5 
Semana 2: 1 2 2 3 2 2,3 3 3 2 3,1 
30) Deseja-se verificar o efeito de um remédio para redução de pressão arterial. Para tanto, 10 hipertensos foram verificados antes e após tomarem, durante uma semana o medicamento. Conclua a 1%.
Antes: 21 18 20 19 23 17 20 21 16 18 
Depois: 19 16 15 16 15 13 16 20 19 14 
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