PC_2015-1_AP02_GABARITO

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AP 02 – 2015-1 – Gabarito Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 2 
Pré-Cálculo 
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Questão 1 [4,0 pontos]: 
(a) [1,2] Sabemos que sendo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , na forma polar 𝑧 = |𝑧| (cos 𝜃 +
i sen 𝜃), onde |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 , cos(𝜃) =
𝑎
|𝑧|
 𝑒 sen(𝜃) =
𝑏
|𝑧|
 . 
Se 𝑧 = −4√3 + 4 𝑖 , determine |𝑧| e o argumento 𝜃 tal que 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. 
(b) [1,3] Resolva a equação cot(𝜃) + tan(𝜃) = −2, 𝜃 ∈ ℝ. 
(c) [1,5] Considere a função ℎ(𝑥) = arcsen(𝑥 − 2) + arccos(3 − 𝑥) . 
Lembra do domínio das funções 𝑦 = arcsen(𝑧) 𝑒 𝑦 = arccos(𝑧)? Então encontre o domínio da 
função ℎ. 
Lembra do intervalo escolhido para inverter as funções seno e cosseno? Então calcule, se possível, 
 ℎ (
5
2
) . Justifique! 
RESOLUÇÃO: 
(a) |𝑧| = √16 ∙ 3 + 16 = √64 = 8. Portanto, |𝑧| = 8. 
cos(𝜃) =
−4√3
8
= −
√3
2
 𝑒 sen(𝜃) =
4
8
=
1
2
. 
Observando os valores de cos(𝜃) e sen(𝜃) no círculo trigonométrico, 
vemos que 𝜃 = 𝜋 −
𝜋
6
=
5𝜋
6
. Portanto 𝜃 =
5𝜋
6
. 
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(b) Uma resolução 
Para resolver cot(𝜃) + tan(𝜃) = −2, podemos usar a relação cot 𝜃 =
1
tan𝜃
, ∀ 𝜃 ≠
𝑘𝜋
2
. 
1
tan(𝜃)
+ tan(𝜃) = 2 
cot𝜃=
1
tan𝜃
⇔ 1 + tan2(𝜃) = −2 tan(𝜃) ⟺ tan2(𝜃) + 2 tan(𝜃) + 1 = 0. 
Observando que a última inequação é o produto notável (tan(𝜃) + 1)2 = 0 ⟺ tan(𝜃) = −1. 
Ou, de outra forma, fazendo a substituição 𝑡 = tan 𝜃 e resolvendo a equação 𝑡2 + 2𝑡 +
1 = 0, 
𝑡 =
−2±√4−4
2
= −
2
2
= −1. Voltando à variável original, tan(𝜃) = −1. 
Mas, sabemos que tan(𝜃) = −1 se e só se 𝜃 =
−𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Portanto, a solução é o conjunto {𝜃 =
−𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
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Outra resolução 
Para resolver cot(𝜃) + tan(𝜃) = −2, podemos usar as relações tan 𝜃 =
sen𝜃
cos𝜃
 e 
cot 𝜃 =
cos𝜃
sen𝜃
, ∀ 𝜃 ≠
𝑘𝜋
2
. 
cos𝜃
sen𝜃
+
sen𝜃
cos𝜃
= −2 ⟺ 
cos2 𝜃 + sen2 𝜃
sen𝜃 cos𝜃
= −2 ⟺ cos2 𝜃 + sen2 𝜃 = −2sen 𝜃 cos 𝜃. 
Sabendo-se que cos2 𝜃 + sen2 𝜃 = 1 e 2 sen 𝜃 cos 𝜃 = sen(2𝜃), obtemos 
−1 = sen(2𝜃) ⟺ sen(2𝜃) = −1. 
Mas, sabemos que sen(2𝜃) = −1 se e só se 2𝜃 = −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Dividindo tudo por 2, obtemos 𝜃 = −
𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Portanto, a solução é o conjunto {𝜃 =
−𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(c) Domínio da função ℎ : 
Como 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑜 está definido no intervalo [−1 , 1] , então é preciso que −1 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 1 e 
como 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 está definido no intervalo [−1 , 1] , então é preciso que, −1 ≤ 3 − 𝑥 ≤ 1. 
Resolvendo: 
−1 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 1 
 +2 
⇔ 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 
e 
−1 ≤ 3 − 𝑥 ≤ 1 
 −3 
⇔ −4 ≤ −𝑥 ≤ −2 
 ×( −1 ) 
⇔ 4 ≥ 𝑥 ≥ 2 ⟺ 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 
 
Portanto, 𝑫𝒐𝒎(𝒉) = [𝟏 , 𝟑] ∩ [𝟐 , 𝟒] = [𝟐 , 𝟑]. 
Observamos que 
5
2
 pertencem ao intervalo [2 , 3] , que é o 𝐷𝑜𝑚(ℎ). 
Calculando: 
𝒉 (
𝟓
𝟐
) = arcsen (
5
2
− 2) + arccos (3 −
5
2
) = arcsen (
1
2
) + arccos (
1
2
) =
𝜋
6
 + 
𝜋
3
 = 
𝜋+2𝜋 
6
=
3𝜋
6
= 
𝜋
2
. 
pois, sen (
𝜋
6
 ) =
1 
2
 𝑒 
𝜋
6
 ∈ [−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
 ] , que é o intervalo de inversão do seno e 
cos (
𝜋
3
 ) =
1 
2
 𝑒 
𝜋
3
 ∈ [0 , 𝜋 ] , que é o intervalo de inversão do cosseno. 
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2ª. Questão: [4,0 pontos] 
(a) [1,0] Considere a função 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐧(𝒙) . Diga qual é o domínio da função 𝑔 e esboce o 
seu gráfico, identificando no gráfico o ponto onde corta o eixo 𝑥. 
(b) [1,1] Considere a função 𝒇(𝒙) = |𝐥𝐧 (𝒙 + 𝟐)|. Encontre o domínio da função 𝑓. Encontre 
os pontos onde o gráfico da função 𝒇 corta os eixos coordenados, se existirem. Justifique! 
(c) [1,4] Esboce o gráfico da função 𝑓. Explique a construção desse gráfico através de 
transformações (translações, etc.) no gráfico da função 𝑔(𝑥) = ln(𝑥). Identifique no gráfico da 
função 𝑓 os pontos onde o gráfico dessa função corta os eixos coordenados. 
(d) [0,5] Resolva a equação ln (𝑥 + 2) = 1 . Assim, você estará encontrando os pontos 
onde a reta 𝑦 = 1 corta o gráfico da função 𝑦 = ln (𝑥 + 2) . 
RESOLUÇÃO: 
(a) A função 𝑔(𝑥) = ln(𝑥) está definida para 𝑥 > 0. Assim 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (0 ,∞). 
Como ln(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 1 , então o gráfico de 𝑔(𝑥) = ln(𝑥) corta o eixo 𝑥 no ponto (1 , 0). 
O gráfico da função 𝑔 é: 
 
 
 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) Seja 𝑓(𝑥) = |ln (𝑥 + 2)| 
Domínio: 
Para que o ln possa ser calculado é preciso que 𝑥 + 2 > 0 , donde 𝑥 > −2 . Portanto, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−2 ,∞). 
Fazendo 𝒚 = 𝟎 , temos que : 
|ln (𝑥 + 2)| = 0 ⟺ ln (𝑥 + 2) = 0 ⟺ 𝑥 + 2 = 1 ⟺ 𝑥 = −1 . 
Portanto, o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑥 no ponto (−1 , 0) . 
Fazendo 𝒙 = 𝟎 , temos que : 
𝑦 = |ln (0 + 2)| = |ln(2)| = ln(2) 
Portanto, o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑦 no ponto (0 , ln (2)) . 
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(c) Uma possível sequência de transformações para a construção do gráfico da função 𝑓 é: 
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𝑦 = ln (𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = ln (𝑥 + 2) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑓(𝑥) = |ln (𝑥 + 2)| 
Gráfico 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
→ 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(d) Resolvendo a equação ln (𝑥 + 2) =1 : 
 ln (𝑥 + 2) = 1 ⟺ 𝑒ln (𝑥+2) = 𝑒1 = 𝑒 ⟺ 𝑥 + 2 = 𝑒 ⟺ 𝑥 = −2 + 𝑒 
E a solução da equação é o conjunto {−2 + 𝑒} . 
 
Questão 3 [2,0 pontos]: 
(a) [0,6] Escreva em ordem crescente a lista de potências em 𝑥, 𝑥
3
5, 𝑥
5
3 , 𝑥−
1
3, 𝑥
2
3 para 
𝑥 > 1. Justifique a resposta. 
(b) [0,6] Escreva em ordem crescente a lista de potências em 𝑥, 𝑥
3
5, 𝑥
5
3 , 𝑥−
1
3, 𝑥
2
3 para 
0 < 𝑥 < 1. Justifique a resposta. 
(c) [1,3] Esboce o gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑥
2
3. 
Esboce também, no mesmo par de eixos, as retas 𝑦 = 𝑥 e 
 𝑦 = −𝑥 e os pontos como no modelo ao lado. 
 
Justifique a construção do gráfico da função 𝑔 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
(a) Lembrandoa propriedade: se 𝑥 > 1 então 𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑥𝑎 < 𝑥𝑏. 
Pela propriedade acima, podemos ordenar os expoentes e seguir a mesma ordenação para a lista 
de potências em 𝑥. 
Ordenando os expoentes em ordem crescente, −
1
3
< 
3
5
<
2
3
<
5
3 
 , concluímos que em ordem 
crescente 𝑥−
1
3 < 𝑥
3
5 < 𝑥
2
3 < 𝑥
5
3 se 𝑥 > 1. 
 
(b) Lembrando a propriedade: se 0 < 𝑥 < 1 então 𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑥𝑎 > 𝑥𝑏. 
Pela propriedade acima, podemos ordenar os expoentes e seguir a ordenação na ordem inversa 
para a lista de potências em 𝑥. 
Como no item anterior já ordenamos os expoentes em ordem crescente, temos nesse caso: 
 𝑥−
1
3 > 𝑥
3
5 > 𝑥
2
3 > 𝑥
5
3. 
Concluímos que em ordem crescente, 𝑥
5
3 < 𝑥
2
3 < 𝑥
3
5 < 𝑥−
1
3 se 0 < 𝑥 < 1. 
 
(c) Como o exponte é positivo, no intervalo [0,∞) do domínio a função é crescente. 
O expoente 
2
3
< 1, logo 
 para 𝑥 > 1, 𝑥
2
3 < 𝑥1, ou seja, no intervalo (1,∞) do domínio, o gráfico está abaixo da reta 
𝑦 = 𝑥. 
 para 0 < 𝑥 < 1, 𝑥
2
3 > 𝑥1, ou seja, no intervalo (0, 1) do domínio, o gráfico está acima da reta 
𝑦 = 𝑥. 
Como o domínio de 𝑔 = (−∞,∞), é simétrico em relação à origem da reta numérica e como 
𝑔(−𝑥) = (−𝑥)
2
3 = 𝑥
2
3, a função 𝑔 é par e o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo 𝑦. 
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